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1、文科数学 高三天津卷 文科数学 考试时间：_分钟 题型 单选题 填空题 简答题 总分 得分 单选题（本大题共 8 小题，每小题_分，共_分。）1.设集合，则()A.B.C.D.2.设，则“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取 2支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.B.C.D.4.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为 19，则输出的值为()A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知双曲线的左焦点为，点在双
2、曲线的渐近线上，是边长为 2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为()A.B.C.D.6.已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为()A.B.C.D.7.设函数，其中.若且的最小正周期大于，则()A.B.C.D.8.已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是()A.B.C.D.填空题（本大题共 6 小题，每小题_分，共_分。）9.已知，i 为虚数单位，若为实数，则a的值为 _.10.已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 _.11.已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_.12.设抛物线的焦点为F，准线为l.
3、已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点 A.若，则圆的方程为 _.13.若a，则的最小值为 _.14.在ABC中，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为 _.简答题（综合题）（本大题共 6 小题，每小题_分，共_分。）15.（本小题满分 13 分）在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.16.（本小题满分 13 分）某电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分
4、钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍.分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？17.（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥中，平面，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（III）求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分 13 分）已知为等差数列，前n项和为，是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，.（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和.19.（本小题满分 14 分）设，.已知函数，.（）求的单调区间；（
5、）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于 0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.20.（本小题满分 14 分）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.（I）求椭圆的离心率；（II）设点在线段上，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.（i）求直线的斜率；（ii）求椭圆的方程.答案 单选题 1.B 2.B 3.C 4.C 5.D 6.C 7.A 8.A 填空题 9.10.11.12.13.14.简答题 15.(1)(2)16.(1)见解析（2）电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3
6、 次时才能使总收视人次最多.17.(1)(2)见解析(3)18.（1）.（2）.19.（1）递增区间为，递减区间为.（2）（）在处的导数等于 0.（）的取值范围是.20.（1）（2）（）（）解析 单选题 1.由题意可得：，所以选 B 2.，则，则，据此可知：“”是“”的必要二不充分条件.本题选择 B 选项.3.选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，由古典概型公式，满足题意的概率值为，本题选则 C 选项 4.阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为，第一次循环：，不满足；第二次循环：，不满足；第三次循环：，满足；此时跳出循环体，输出.本题选择 C 选项.5.由题意结合双曲线的
7、渐近线方程可得：，解得 双曲线方程为，本题选择 D 选项 6.由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.本题选择 C 选项.7.由题意，其中，所以，又，所以，所以，由得，故选 A 8.满足题意时的图象恒不在函数下方，当时，函数图象如图所示，排除 C,D 选项；当时，函数图象如图所示，排除 B 选项，本题选择 A 选项.填空题 9.为实数，则.10.，切点为，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为.学 科.网 11.设正方体边长为，则，外接球直径为.12.设圆心的坐标为,则,焦点，由于圆 C 与 y 轴的正半轴相切，则取，所求圆的圆心为，半径为 1，所求圆的方程为 13.，当
8、且仅当时取等号.14.,则.简答题 15.（I）由，及，得 由，及余弦定理，得 由（I）知，A 为钝角，所以，于是，故.16.（）解：由已知，满足的数学关系式为即 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分：(II)解：设总收入人次为万，则目标函数为 考虑，将它变形为，这时斜率为，随变化的一族平行直线，为直线 y 轴上的截距，当取得最大值时，z 的值最大，又因为满足约束条件，所以可知，当直线经过可行域上的点 M 时，Z最大。解方程组，得点 M 的坐标为（6，3）所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多.17.（I）如图，由已知 AD/BC，故或
9、其补角即为意面直线 AP 与 BC 所成的角，因为 AD 垂直平面 PDC,所以,在中，由已知，得，所以异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为（II）证明：因为 D 垂直平面 PDC，直线平面，所以，又因为 BC/AD，所以,所以平面 （）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD/BC，DF/AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BCBF=2.又ADDC，故BCDC，在 RtDCF中，可得.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为
10、.18.（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由已知，得，而，所以，又因为，解得，所以，由此可得.所以，的通项公式为，的通项公式为 由，可得，由，由，可得，联立（1）（2），解得（）设数列的前项和为，上述两式相减，得.得.所以，数列的前项和为.19.（I）由，可得 令，解得，或，由，得 当变化时，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间为，单调递增区间为（II）(i)因为，由题意知 所以，解得 所以，在处的导数等于 0（ii）因为，由，可得.又因为，故为的极大值点，由（I）知.另一方面，由于，故，由（I）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.由，得，。令，所以，
11、令，解得（舍去），或.因为，故的值域为.所以，的取值范围是.20.（I）设椭圆的离心率为 e,由已知，可得，又由，可得 即，又因，解得，所以，椭圆的离心率为（II）（i）依题意，设直线的方程为，则直线 FP 的斜率为 由（I）知，可得直线 AE 的方程为，即，与直线 FP 的方程联立，可解 得，即点Q的坐标为.由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直线 FP 的斜率为.由，可得，故椭圆方程可以表示为 由（i）得直线 FP 的方程为，与椭圆方程联立，消去 y,整理得，解得（舍去），或，因此可得点 P,进而可得,所以,由已知,线段 PQ 的长即为 PM 与这两条平行直线间的距离，故直线和都垂直于直线.因为，所以，所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得.所以，椭圆的方程为.