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1、*第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，设 ,1)x(f)x(f )x(f 0)x(f 0)x(f 00000 （）是否为极值点不能断定的极值点不是的极小值点是的极大值点是0000 x)D()x(fx)C()x(fx)B()x(fx)A(2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x(f xx )x(fy 00（）0)x(f)B(0)x(f)A(00 或不存在且 0)x(f)D(0)x(f 0)x(f)C(000 3、的凸区间是 xeyx（）),2(D),(2 (C)2),(B)2),(A)4、在区间-1，1 上满足罗尔定理条件的函数是（）(A)x xsin)x(
2、f (B)2)1x()x(f (C)3 2x)x(f (D)1x)x(f2 5、设 f(x)和 g(x)都在 x=a 处取得极大值，F(x)=f(x)g(x)，则 F(x)在 x=a 处（）(A)必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x1(x y 322（）(A)-1,1 (B)0,1 (C)-2,2 (D)5 4,5 3 7、x 2 e xy的凹区间是（）(A)2,(B)2,(C)1(，(D)1(，8、函数)x(f在0 xx 处连续，若0 x为)x(f的极值点，则必有（）(A)0)(0 xf (B)0)(0 xf (C
3、)0)(0 xf或)(0 xf 不存在 (D)(0 xf 不存在 9、当 a=()时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinxf(x)（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x1(x )x(f 322（）5 4,5 3)D(2,2)C(1,1)B(1,0)A(11、，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若)x(fy )x(fx 00（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，必为曲线的拐点，)x(f x )D()x(f x )C()x(fx()B()x(fx()A(000000 二、填空题 1、_ey82x 的凸区间是曲线 2、_ 2 xy x
4、的极小值点是函数 3、的凸区间为曲线 x3 e y x _ *4、函数 f（x）xx3在0,3上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点 5、设曲线 ya23bxx 以点（1，3）为拐点，则数组（a，b）6、函数1x3xy3在区间 2,0 上的最大值为 ，最小值为 7、函数 xsinlny 在 6 5 ,6 上的罗尔中值点=8、1 x y在区间 1，3 的拉格朗日中值点=_ 9、_ 2 xy x的极小值点是函数 10、_ 2xy x的极小值点是函数。11、yx x1 ，51x 的最小值为 12、xxy 的单调减区间是 13、x arctanxy 在且仅在区间_上单调増 14、函数 f(x
5、)x2cosx 在区间 0,2 上的最大值为 15、函数 y3x4xx223 的单调减少区间是 16、已知点（1，3）是曲线 23bxaxy 的拐点，则a=，b=17、的单调递减区间为 ee 2)x(fxx .三、计算题 1、的极值和单调区间求函数 4x9x6xy 23。2、求极限)1x x xln 1(lim1x 3、求函数 y23x4xx23的单调区间、凹凸区间、拐点 4、设常数0k，试判别函数()lnxf xxke在0,内零点的个数 5、求函数 10 x6x23xy23 的单调区间和极值。6)1 -e 1 x 1(limx0 x 7上的最大值与最小值在求函数 1 ,1 x45 y 8求曲
6、线xxyln的单调区间和凹凸区间.9.求曲线34223xxxy的单调区间和凹凸区间.10求函数 xxey 图形的凹凸区间及拐点 11、的拐点求曲线 3 32ttytx.12、求函数 4x9x6x y23 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点 13、上的最大值、最小值，在求函数 41 27x18x6x2y 23 14、的单调性和凹凸性讨论函数 )x(1ln f(x)2 15、讨论函数x xln)x(f 的单调性和凹凸性 *16、求曲线)1ln(2xy的凹凸区间和拐点 17.求函数2824xxy在区间 3,1上的最大值与最小值 18.求函数 133xxy 在区间-2，0上的最大值和最小值 19.试确定
7、常数 a、b、c 的值，使曲线 cbxaxxy23 在 x=2 处取到极值，且与直线 3x3y 相切于点（1，0）四.综合题(第 1-2 题每题 6 分，第 3 题 8 分，总计 20 分)1证明：当 x)2,0(时，(sin)(cos)xxx 2、x1 )x1 x(lnx1 0 x 22时，当 3、证明：2cotarctanxarcx 4、设)x(在 0,1 上可导，f(x)(x1)x(，求证：存在 x0(0，1)，使)0()x(f0 5、试用拉格朗日中值定理证明：当 0ba 时，bbabalnaba 6、证明：当0 x时，xxx1arctan)1ln(7、x)x1ln(x 1 x ,0 x
8、时证明：当 8、证明：当 x0 时，有 1+x1 x 2 1 9、证明当xsin6x x 0 x 3时，10、证明：若 0 x，则x 1 x )x 1 (n l 11、)1ln(2 1 2xxxx 时，证明：当 12、证明：多项式13)(3xxxf在 0，1 内不可能有两个零点 13、证明当 x 13 x 2 1x 时，.14、xcosxsinx 2x0 时证明：当 答案：一、选择 1、A 2、D 3、A 4、D 5、D 6、B 7、A 8、C 9、B 10、A 11、A 二、填空 1、2,2 2、1ln2x *3、,33,2 4、2 5、3 9,2 2 6、2,1 7、2 8、312 9、1
9、ln2 10、1ln2 11、56 12、1x 4 13、-14 14、36 15、）上单调递减，在（321 16、29,23 17、)2ln21，（三、计算题 1、解：令231293(3)(1)0,yxxxx 可得驻点：121,3xx 2 分 列表可得 函数的单调递增区间为(,1)(3,)，单调递减区间为(1,3)5 分 极大值为1|0,xy极小值3|4xy 7 分 2、解：原式 1111lnlnln1limlimlim1(1)lnln12ln1xxxxxxxxxxxxxxx 6 分 3、解：令26242(32)(1)0,yxxxx 可得驻点：1221,3xx 2 分 列表可得 函数的单调递
10、增区间为2(,1)(,)3，单调递减区间为2(1,)3 4 分 又令1220yx 得316x .5 分*所以凸区间为1(,)6,凹区间为1(,)6.拐点为119(,3)627.7 分 4、解：11()fxxe 1 分 当(0,)xe时,()0fx,所以()f x在0,e上单调增加;2 分 又()0f ek,x充分接近于 0 时,()0f e,3 分 故()f x在(0,)e内有且仅有一个零点.4 分 同理,()f x在(,)e 内也有且仅有一个零点.6 分 5、解：解23363(2)(1)0,yxxxx 可得驻点：121,2xx 2 分 列表可得 函数的单调递增区间为(,1)(2,)，单调递减
11、区间为(1,2)5 分 极大值为127|,2xy极小值2|0 xy 7 分 6、解：原式01limxxxexxex 2 分 01lim1xxxxexee 4 分 01lim22xxxxexee 6 分 7、解：当x单调增加时，函数()54g xx单调减少，所以函数()54y xx也是单调减少。2 分 在区间 1,1函数()54y xx是单调的减函数。所以当1x 时，函数取得最大值max3yy；4 分 所以当1x 时，函数取得最小值min1yy。6 分*8、解：21 ln,xyx令0y，于是xe。当0 xe时，0y，函数单调增加；当ex时，0y，函数单调减少。2 分 所以函数的单调增区间为：(0
12、,)e；函数的单调减区间为：(,)e。4 分 而 32ln3,xyx令0y，于是32xe。5 分 函数的凸区间为：32(0,)e；函数的凹区间为：32(,)e。6 分 9、解：因为 26242(1)(32)yxxxx，所以令0,y 得到1221,3xx。2 分 函数的单调增区间为：2(,1),(,)3；函数的单调减区间为：2(1,)3。4 分 又由于 122yx，于是函数的凸区间为：1(,);6 函数的凹区间为：1(,)6。6 分 10、解：因为：,(2)xxxyexeyxe，2分 令0,0yy，得到：121,2yy。所以函数的单调增区间为：(,1)，函数的单调减区间为：(1,)。4 分*函数
13、的凸区间为：(,2)，函数的凹区间为：(2,)。函数的拐点为：2(2,2)e。6 分 11、解：322224)1(3 ,233ttdxydttdxdy 3 分 令04)1(3 3222ttdxyd得 1,121tt 从而得曲线的可能拐点为)4 ,1()2 ,1(和，又二阶导数在该两点左右异号。所以 )4 ,1()2 ,1(和 为曲线的 拐点 6 分 12、解：令.3,1 x ,0)3)(1(39123212xxxxxy得 令.2 ,0126 3xxy得 3 分 列表如下 x)1,(x=1(1,2)x=2(2,3)x=3),3(y+0-0+y-0+y=f(x)单调增，凹 极大值 f(1)=0 单
14、调减，凹 拐点（2，-2）单调减，凸 极小值 f(3)=-4 单调增，凸 7 分 13、解：令 3 4,1 10)3)(1(618126212xxxxxxy（舍去），得驻点 3 分 比较函数在端点和驻点处的函数值，得 上的最大值、最小值，在函数 41 271862 23xxxy为 32,27maxminyy 6 分 14、解：令0)1()1(2)(,012)(2222xxxfxxxf，得1,0,1321xxx，.3 分*列表如下 x)1,(-1(-1,0)0(0,1)1),1()(xf-0+)(xf-0+0-)(xfy 单调递减 凹区间 拐点 单调递减 凸区间 极小值点 单调递增 凸区间 拐点
15、 单调递增 凹区间 7 分 15、解：32312,0ln3)(,0ln1)(exxxxfexxxxf得得 x(0,e)ex ),(3ee 3ex ),(3e)(xf+0-)(xf-0+)(xfy 单调递增，凹函数 极大值 单调递减，凹函数 拐点)3,(33ee 单调递减，凸函数.6分 16、解：2222)1()1(2,12xxyxxy，拐点为 )2ln,1(),2ln,1(4 分 凹区间为),1()1,(和 凸区间为（-1，1）6 分 17、解：由于)2)(2(41643xxxxxy 2 分 所以，函数在-1，3上的驻点为2,0 xx。3 分 当 x=0 时，y=2,x=2 时，y=-14 5
16、 分 而 x=-1 时，y=-2,x=3 时，y=11 7 分 所以函数的最大值为 11，最小值为-14 8 分 18、解：由于)1)(1(3332xxxy 2 分 所以，函数在-2，0上的驻点为1x。3 分 当 x=-1 时，y=3，而 x=-2 时，y=-1,x=0 时，y=1 5 分 所以函数的最大值为 3，最小值为-1 6 分*19、解：根据已知条件得2221|(32)|1240 dy|323dx10 xxxdyxaxbabdxababc 4 分 解上面方程组得203cba 7 分 四、综合题（1）证：令 1()sincossin22F xxxxxx，(0,)2x 显然()F x在区间
17、(0,)2上连续的，可导的。并且(0)0.F 2 分 由于 ()1 cos2F xx ，对于任意的(0,)2x，()0F x。所以函数()F x在区间(0,)2上单调增函数。4 分 于是对于任意的(0,)2x，有 ()(0)0F xF，即为：sincos.xxx 6 分 （2）证：令)0(0)1ln()(,0)0(,1)1ln(1)(222xxxxffxxxxxf则 所以 x1 )x1 x(lnx1 0 x 22时，当 （3）证：令 0)(,cotarctan)(xfxarcxxf则 4 分 所以 f(x)恒为常数，又244)1(f，从而2cotarctan)(xarcxxf 6 分 （4）证
18、：因为)x(在 0,1 上可导，所以 f(x)(x1)x(在0，1上连续，在（0，1）内可导。4 分 根据拉格朗日中值定理，至少存在一点 x0(0，1)，使)0(01)0()1()(0ffxf 8 分*（5）证：设xxfln)(，则xxf1)(1 分 对balnln用拉格朗日中值定理得)(lnlnbafba，其中),(ab 4 分 而bbababafaba)(，所以bbabalnaba 6 分 （6）证：令xxxxfarctan)1ln()1()(1 分 则2111)1ln()(xxxf 。3 分 因为当0 x时，0)1ln(111)1ln()(2xxxxf，4 分 所以)(xf在),0(上是
19、严格单调连续递增函数，并且0)0(f，5分 故当0 x时，0)(xf，即xxx1arctan)1ln(。6 分 （7）证：令xxfxxf11)(),1ln()(1 分 对1ln)1ln()(xxf 利用柯西中值定理存在)0 x，（使得)11)(1ln)1ln()(xfxxf 3 分 即1)1ln(xx 4 分 又由于)0 x，（，xxxx11，所以xx)1ln(x 1 x 6 分 （8）证：令21()(1)(1)2f xxx ()0,(0)2xfxx 2 分 故0 x 时,()(0)0f xf即21(1)(1),(0)2xxx 5 分 从而11 1 2 xx 6 分*（9）证：令3 ()sin
20、6xf xxx 因为22222()1cos2sin2()0,(0)22222xxxxxfxxx 4 分 故0 x 时,()(0)0f xf,即3 sin6xxx 6 分 （10）证：令 ()ln(1),(0)1xF xxxx 2 分 则()F x在0 x 的范围中是可导的，且(0)0F。2211()1(1)(1)xF xxxx，对于任意的0 x，有()0F x。所以函数()F x在0 x 的范围中是单调上升的。4 分 于是，对于任意的0 x，有()(0)0F xF，即：ln(1)1xxx。6 分 （11）证：令 2()ln(1),2xF xxx (1)x 显然函数()F x在区间1,)上连续并
21、且可导。2 分 且有：1(1)ln202F。而且对于任意的1x，21()10,11xF xxxx 4 分 所以对于任意的1x，2()ln(1)(1)02xF xxxF，于是原不等式成立。6 分 （12）证：假设函数()f x在区间0,1上至少存 在两个不同的零点1212,()x xxx。2 分 函数()f x在区间0,1上连续，可导。*于是有 12()()0f xf x。4 分 根据罗尔中值定理，则存在一点12(,)0,1x x，使得 2()3(1)0f，显然这是不可能的。所以假设不成立。6 分 （13）证：令0111)(1 x,13 2f(x)2232xxxxxfxx时则当 4 分 所以 当 x1 时，f(x)f(1)=0,即有 x 13 x 2 1x 时，6 分 （14）证：令)20(02cos1)(,0)0(,cossin)(xxxffxxxxf则 3 分 所以0)0()(,20 fxfx时当，即xxxxcossin 20 时当 .6 分