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1、 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 教材版本 人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书 A 版数学必修 2 教材分析 空间中直线与直线的位置关系是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质的基础上提出来的。它既是研究空间点、直线、平面之间各种位置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础，是我们研究的重点。学情分析 本班学生为省级重点高中学生，初中基础较好，理解力较强。空间直线的三种位置关系在现实中大量存在，学生对它们已有一定的感性认识。其中，相交直线与平行直线是平面几何的内容，同学们已经非常熟悉。异面直线的概念是学生比较生疏的，也是本节的重点和难点。设计思想 从日常生活中的实例入手，直观
2、感知异面直线不同于相交直线、平行直线的特点，抽象概括出异面直线的定义；通过对位置关系的内涵的探讨，同时类比平面内两直线的位置关系的量化研究，引导学生发现两条异面直线的位置关系应包含角度与距离两项指标；让全体学生经历异面直线所成的角的科学性研究，引导学生发现公理 4 与等角定理两个理论依据，以及体会空间图形问题转化为平面图形问题的降维转化思想；例题的分析与讲解让学生加深对异面直线所成角的定义的理解，同时初步掌握平移的方法求异面直线所成的角.教学目标 知识与技能 1.知道空间直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，初步掌握判断两直线的异面关系的方法，掌握异面直线的衬托画法；2.以公理 4 和等角定
3、理为基础，初步理解异面直线所成角的概念，运用平移的方 法求异面直线所成的角.过程与方法 1.从日常生活中的实例入手，让学生经历直观感知异面直线特点，并抽象概念出异面直线定义的过程；2.通过类比日常生活中确定两个物体位置关系、以及平面几何中研究两直线位置关系的量化方法，发现研究异面直线位置关系的两个数量：角及距离；3.让学生经历对异面直线所成的角定义的科学性的探究，发现公理 4 及等角定理是异面直线所成的角定义的科学性的理论依据；4.经过对异面直线所成角的学习，让学生体会空间图形问题往往降维处理，转化成平面图形问题解决的思想.情感、态度与价值观 由一系列问题引发学生思考，深化对概念的理解与应用，
4、养成独立思考的习惯，形成严谨的科学研究态度。教学重点：异面直线的概念、异面直线所成的角的概念与求法。教学难点：异面直线的概念，异面直线所成的角的概念的生成与求法。教学过程：一、复习引入 师：同一平面内的两条直线有几种位置关系？如何判断？相交直线、平行直线。相交直线有一个公共点，平行直线无公共点。二、新课探究 师：平面内没有公共点的两条直线必平行，在空间中该结论是否还成立？你能举例说明么？生活实例：螺母、立交桥等。数学例子：长方体AC中线段AB所在直线与线段CC所在直线。师：像前面例子中的两条直线我们把它们称作异面直线，异面直线应该如何定义呢？1.异面直线的定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫
5、做异面直线（skew lines）。2异面直线的画法 说明:画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，通常借助一个或两个平面来衬托.（先由学生自己练习作图，再由老师板演纠正）ab ab ab 师：分别在两个平面（以上图为例）内的两条直线是否一定异面？答：不一定。它们可能异面，可能相交，也可能平行。3.空间两条直线的位置关系 相交直线平行直线共面直线无公共点平行直线异面直线异面直线有共公点：相交直线 说明：空间中两直线平行和过去我们学过的平面上两直线平行的意义是一致的，即要满足共面且不相交两个条件。师：如何判断两条直线异面？方法一:两条直线不同在任何一个平面内.方法二:两条直线既不相交、又不平行.
6、（正难则反思想，反证法在立几中应用广泛）思考题：如图，已知平面与直线a、b，满足,abP，且P，求证：a、b为异面直线.4.异面直线所成的角 师：我们刚刚学习了空间中两条直线有三种位置关系，这是一种宏观的概括，但是我们知道，对于两条异面直线，他们也有各种各样不同的位置。如果要继续细化研究，大家有没有什么想法？（通过比划手中的两支笔引导学生思考，细化研究两条直线的位置关系，就是要量化研究，具体研究哪两个量，又可以通过举例：研究两个人的位置关系应该包括方向与距离，或者通过转化与化归思想，先考虑我们是如何量化研究平面内两条相交直线与两条平行线位置的，以此导出异面直线的位置关系也应该用夹角和距离两个量
7、来刻画他们方向的不同以及错开的程度。）师：那么异面直线的夹角应该如何定义呢？分析：把空间图形问题转化为平面图形问题是研究空间图形的一种基本思路，解决立体几何问题的一个基本思想.在研究这个问题之前我们先回顾一下平面内两条相交直线的夹角是如何定义的。在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于 90 度的角称为它们的夹角,用以刻画两直线方向的不同.师：现在大家觉得要如何定义异面直线夹角？能不能解释一下合理性？答：平移转化成相交直线所成的角。师：平移到不同的位置，即O点的位置不同对夹角大小有影响么？（平移不改变直线方向，如平面几何中有同位角、内错角相等等性质。通过分析容易联想到初中学习的平行线的传递性
8、与等角定理，而这两个结论在空间中是否还成立呢？）观察:公理（平行线的传递性）平行于同一条直线的两条直线互相平行 观察：如图所示，底面为平行四边形的四棱柱ABCDA B CD 中,A D C 与ADC，A D C 与DAB的两边分别对应平行，而,180A D CADCA D CDAB 一般地，有以下定理.定理（等角定理）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 有了以上两个定理，现在可以解释平移的位置不同不会影响夹角的大小：由1aa,2aa可得1a2a，同理1b2b，再由等角定理可得结论.定义 如图,已知两条异面直线ab、，经过空间任一点O作直线aa,bb则把ab、所成的锐角(
9、或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).师：异面直线所成的角的范围是什么？答：0,90。规定：两直线平行，所成的角为0，故空间中两条直线所成角的范围是0,90 定义：如果两条异面直线 a,b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直，记为a b。探究：（1）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？（2）两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线是否平行？（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？答案：(1)Y;(2)N;(3)N.三范例讲解 例如图，已知正方体ABCDA B CD 。（1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？（2）哪些棱所在的直线与
10、直线AA垂直？（3）直线BA和CC的夹角是多少？（4）直线BA和AD的夹角是多少？解：(1),AD CD CC DD B C D C ;(2),AB BC CD DA A B B C CD D A ;(3)45；(4)60;（本题（4）答过程详细板演）说明：（1）找直线要按类找，才不容易遗漏、重复；（2）求异面直线夹角步骤：作图、证明、计算、验证。（3）在求异面直线所成的角时,平移直线通常利用平行四边形、三角形中位线、梯形等图形实现，将问题转化成求三角形内角。四课堂小结 异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。空间两直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线 异面直线的画
11、法：用平面来衬托 异面直线所成的角：平移，转化为相交直线所成的角 公理（平行线的传递性）：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行 等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 异面直线所成角的求法:利用平行四边形、三角形中位线、梯形等图形实现直线平移，将问题转化成求三角形内角等。步骤：作图、证明、计算。五课后作业 1.给出下列四个命题：没有公共点的两条直线平行；互相垂直的两条直线是相交直线；既不平行也不相交的直线是异面直线；不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线 其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4 答案 B 2 123,l l l是空间三条不同的直线，
12、则下列命题正确的是()A若1223,ll ll，则13/ll B若1223,/ll ll，则13ll C若123/lll，则123,l l l共面 D若123,l l l共点，则123,l l l共面 答案 B 3已知空间中有三条线段,AB BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A/ABCD BAB与CD异面 CAB与CD相交 D/ABCD或AB与CD异面或AB与CD相交 答案 D 4平行六面体ABCDA B CD 中，既与AB共面也与CC共面的棱的条数为()A3 B4 C5 D6 答案 C 5.正方体ABCDA B CD 中，与对角线AC异面的棱有()A3 条 B4
13、条 C6 条 D8 条 答案 C 6在图中，,G H M N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则使直线,GH MN是异面直线的图形有 _(填上所有正确答案的序号)答案 7直三棱柱ABCABC 中，若90BAC，ABACAA，则异面直线BA与AC所成的角等于_.答案 60 8.阅读课本 P4546 页例 2，解决下列问题:如图，已知正方体ABCDA B CD ,直线BD和AC的夹角是多少？9.课后合作探究（P45）：如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么,AB CD EF GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对?10.思考题：如图，已知平面与直线a、b，满足a，bP且P，求证：a、b为异面直线.11.思考题：结合下面两张图，思考异面直线间的距离该如何定义。板书设计 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1、异面直线的定义:例题板演 2、异面直线的画法 3、空间两直线的位置关系：4、异面直线所成角的定义 公理（平行公理）等角定理 教学反思 本节课设计了一系列问题引导学生不断思考，师生通过问答互动，推进教学过程，效果良好。考虑到学生的水平较高，故补充了异面直线的判断方法、以及深化了对异面直线位置关系的理解，即位置关系应该包含夹角与距离两个方面的内容，通过思考题的方式让学生课后思考判断方法的证明以及距离的定义，对比教材略有提升。