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1、 高等代数习题 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高等代数习题 第一章 基本概念 1.1 集合 1、设 Z 是一切整数的集合，X 是一切不等于零的有理数的集合Z 是不是 X 的子集？2、设 a 是集 A 的一个元素。记号a表示什么？a A 是否正确？3、设 写出 和.4、写出含有四个元素的集合 的一切子集 5、设 A 是含有 n 个元素的集合A 中含有 k 个元素的子集共有多少个？6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正 (i)(ii)(iii)(iv)精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 7证明下列等式：(i)(ii)(iii)1.2 映射 1、
2、设 A 是前 100 个正整数所成的集合找一个 A 到自身的映射，但不是满射 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射 3、是不是全体实数集到自身的映射？4设 f 定义如下：f是不是 R 到 R 的映射？是不是单射？是不是满射？5、令 A=1,2,3.写出 A 到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？6、设 a,b 是任意两个实数且 ab.试找出一个0,1到a,b的双射.7、举例说明，对于一个集合 A 到自身的两个映射 f 和 g 来说，f g 与 g f 一般不相等。精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 8、设 A 是全体正实数所成的集合。令 (i)g 是不是 A 到 A 的双射
3、？(ii)g 是不是 f 的逆映射？(iii)如果 g 有逆映射，g 的逆映射是什么？9、设 是映射，又令，证明 (i)如果 是单射，那么 也是单射；(ii)如果 是满射，那么 也是满射；(iii)如果 都是双射，那么 也是双射，并且 10判断下列规则是不是所给的集合 A 的代数运算:集 合 A 规 则 1 2 3 4 全体整数 全体整数 全体有理数 全体实数 baba|),(1.3 数学归纳法 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 1、证明:2、设是一个正整数.证明,是任意自然数.3、证明二项式定理:这里，是 个元素中取 个的组合数.4、证明第二数学归纳法原理.5、证明,含有 个元
4、素的集合的一切子集的个数等于。1.4 整数的一些整除性质 1、对于下列的整数,分别求出以 除 所得的商和余数:;.2、设是整数且不全为 0,而,.证明,的一个最大公因数必要且只要.3、设是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数叫做与的最小公倍数:;如果 且,则.证明:任意两个不等于零的整数 都有唯一的最小公倍数;精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 令 是 与 的最小公倍数而,则.4、设是一个大于 1 的整数且具有以下性质:对于任意整数,如果,则 或.证明,是一个素数(定理 1.4.5 的逆命题).5、设是两两不相同的素数,而.证明;利用 证明,素数有无限多个 1.5 数环和数域
5、1证明,如果一个数环 那么 含有无限多个数 2证明,是数域 3证明,是一个数环,是不是数域?4证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环?5设是一整数,令 由例 1,是一个数环.设,记 证明:是一个数环 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 ,这里 是 与 的最大公因数 第二章 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 1设 和 是实数域上的多项式证明：若是 (6)，那么 2求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式 和 3证明：2.2 多项式的整除性 1求 被 除所得的商式和余式：(i)(ii)2证明：必要且只要 精品文档 收集于网络，如有侵权请
6、联系管理员删除 3令 都是数域 F 上的多项式，其中 且 证明：4实数 满足什么条件时，多项式 能够整除多项式 5设 F 是一个数域，证明：整除 6考虑有理数域上多项式 这里 和 都是非负整数证明：7证明：整除 必要且只要 整除 2.3 多项式的最大公因式 1.计算以下各组多项式的最大公因式：(i)(ii)2.设 证明：若 且 和 不全为零，则 反之，若 则 是 与 的一个最大公因式 3.令 与 是 的多项式，而 是 中的数，并且 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 证明：4 证明：（i）是 和 的最大公因式；（ii）此处 等都是 的多项式。5 设 都是有理数域 Q 上的多项式。求
7、 使得 6 设 令 是任意正整数，证明：由此进一步证明，对于任意正整数，都有 7 设 证明：8 证明：对于任意正整数 都有 9 证明：若是 与 互素，并且 与 的次数都大于 0，那么定理 里的 与 可以如此选取，使得 的次数低于 的次数，的次数低于 的次数，并且这样的 与 是唯一的。10 决定，使 与 的最大公因式是一次的。11 证明：如果 那么对于任意正整数，12 设 是数域 F 上的多项式。与 的最小公倍式指的是 Fx中满足以下条件的一个多项式：精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 且；如果 Fx且，那么 证明：Fx中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，
8、是唯一的。设 都是最高次项系数是 1 的多项式，令 表示 和 的最高次项系数是 1 的那个最小公倍式。证明 13 设 并且 证明：14 设 证明：互素的充要条件是存在多项式 使得 15 设 令 比照定理 1.4.2，证明：有最大公因式提示：如果 不全为零，取 是 I 中次数最低的一个多项式，则 就是 的一个最大公因式 2.4 多项式的分解 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 1.在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：2.分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积.3.证明：当且仅当 4.求 在 内的典型分解式；求 在 内的典型分解式 5.证明：数域 F
9、 上一个次数大于零的多项式 是 中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意 或者 或者存在一个正整数 使得 6设 是 中一个次数大于零的多项式.如果对于任意 只要 就有 或 那么 不可约.2.5 重因式 1.证明下列关于多项式的导数的公式：2.设 是 的导数 的 重因式.证明：精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 未必是 的 重因式；是 的 重因式的充分且必要条件是 3.证明有理系数多项式 没有重因式.4.应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？5.证明：数域 F 上的一个 次多项式 能被它的导数整除的充分且必要条件是 ，这里的 是 F 中的数。2.6 多项式函数
10、多项式的根 1设,求.2数环 R 的一个数 说是 的一个 重根,如果 可以被 整除,但不能被 整除.判断 5 是不是多项式 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 的根.如果是的话,是几重根?3设 求 提示:应用综合除法 4将下列多项式 表成 的多项式.;.5求一个次数小于 4 的多项式,使 6求一个 2 次多项式,使它在 处与函数 有相同的值.7令 是两个多项式,并且 可以被 整除.证明 8令 是一个复数,并且是 中一个非零多项式的根,令 证明:在 J 中存在唯一的最高次项系数是 1 的多项式,使得 中每一多项式 都可以写成 的形式,这里.在 中不可约.如果,求上述的 提示:取 是
11、J 中次数最低的、最高次项系数是 1 的多项式.9设 中多项式 且,是一个大于 1 的整数.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 证明:的根只能是零或单位根.提示:如果 是 的根,那么 都是 的根.2.7 复数和实数域上多项式 1设 次多项式 的根是.求 以 为根的多项式,这里 是一个数。（ii）以11,21,n1(假定 都不等于零)为根的多项式.2设 是一个多项式,用 表示把 的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:若是 g,那么;若是 是 和 的一个最大公因式,并且 的最高次项系数是 1,那么 是一个实系数多项式).3给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式.
12、4在复数和实数域上,分解 为不可约因式的乘积.5证明:数域 F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.2.8 有理数域上多项式 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 1证明以下多项式在有理数域上不可约:;.2利用艾森斯坦判断法,证明:若是 是 个不相同的素数而 是一个大于 1 的整数,那么 是一个无理数.3设 是一个整系数多项式.证明:若是 和 都是奇数,那么 不能有整数根.4求以下多项式的有理根:;.第三章 行列式 3.1 线性方程组和行列式 3.2 排列 1计算下列排列的反序数：精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 523146879；2假设 n 个数码的排列 的反
13、序数是 k,那么排列 的反序数是多少？3写出 4 个数码的一切排列 3.3 阶行列式 1确定六阶行列式 D=中以下各乘积的符号：2写出下列四阶行列式 中一切带有负号且含元素 的项。3证明：阶行列式 4考察下列行列式：精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 ，其中 是 这 个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系？5计算 阶行列式 6计算行列式 7证明：行列式 8设在 阶行列式 中，3.4 子式和代数余式 行列式的依行依列展开 1把行列式 依第三行展开，然后加以计算 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2计算以下行列式:精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文
14、档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。3令 计算行列式。3.5 克拉默规则 1解以下线性方程组：2设 是 个不同的数,是任意 个数,而多项式 有以下性质:,.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 用线性方程组的理论证明,的系数 是唯一确定的,并且对 的情形导出拉格朗日插值公式.3设.用线性方程组的理论证明,若是 有 个不同的根,那么 是零多项式.第四章 线性方程组 4.1 消元法 1解以下线性方程组：2证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。3设 阶行列式 0.精品文档 收集
15、于网络，如有侵权请联系管理员删除 证明：用行初等变换能把 行 列矩阵 化为。4证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把 化为 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 1对第一和第二种行初等变换证明定理 4.2.1 2利用初等变换求下列矩阵的秩：3证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大 1 4证明：含有 个未知量 个方程的线性方程组 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 有解的必要条件是行列式 这个条件不是充分的，试举一反例 5 有解？6 取怎样的数值时，线性方程组 有唯一解，没有解，有无穷多解？4.3 线性方程组的公式解 1考虑线性方程组：精品文档 收
16、集于网络，如有侵权请联系管理员删除 这里 2 3设线性方程组：（9）有解，并且添加一个方程：于方程组（9）所得的方程组与（9）同解证明：添加的方程是（9）中 个方程的结果 4设齐次线性方程组 的系数行列式，而 中某一元素 的代数余子式 证明：这个方程组的解都可以写成 的形式,此处 k 是任意数.5设行列式 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 令 是元素 的代数余子式.证明:矩阵 的秩 第五章 矩 阵 5.1 矩阵的运算 1计算 ；精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2证明，两个矩阵 A 与 B 的乘积 AB 的第 i 行等于 A 的第 i 行右乘以 B，第 j 列等于
17、B 的第 j 列左乘以 A 3可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：(i)设 B=()是一个 n p 矩阵令=是 B 的第 j 列，j=1,2,p又设 是任意一个 p 1 矩阵证明：B=(ii)设 A 是一个 m n 矩阵利用(i)及习题 2 的结果，证明：A(B)=(AB)(iii)设 C 是一个 pxq 矩阵利用(ii)，证明：A(BC)=(AB)C 4设 A=证明：当且仅当 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B=时，AB=BA。5令 是第 i 行第 j 列的元素是 1 而其余元素都是零的 n 阶矩阵求 6求满足以下条件的所有 n 阶矩阵 A (i)i,j=1,2,n,(i
18、i)AB=BA；这里 B 是任意 n 阶矩阵。7举例证明，当 AB=AC 时，未必 B=C 8证明，对任意 n 阶矩阵 A 和 B，都有 AB-BAI提示，考虑 AB-BA 的主对角线上的元素的和 9令 A 是任意 n 阶矩阵，而 I 是 n 阶单位矩阵，证明：()()=10.对任意 n 阶矩阵 A，必有 n 阶矩阵 B 和 C，使 A=B+C，并且 5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式 1设对 5 阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的 3 倍加到第三行，把第二列的 3 倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2证明：一个可逆矩阵可以
19、通过列初等变换化为单位矩阵 3求下列矩阵的逆矩阵：4设 A 是一个 n 阶矩阵，并且存在一个正整数 m 使得 (i)证明 可逆，并且 (ii)求下列矩阵的逆矩阵 。5设 证明，总可以表成 和 型初等矩阵的乘积 6令 是 n 阶矩阵 的伴随矩阵，证明 (区别 detA0 和 detA=0 两种情形)7设 A 和 B 都是 n 阶矩阵证明，若 AB 可逆,则 A 和 B 都可逆 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 8设 A 和 B 都是 n 阶矩阵证明，若 AB=I,则 A 和 B 互为逆矩阵 9证明，一个 n 阶矩阵 A 的秩1 必要且只要 A 可以表为一个 n 1 矩阵和一个 1
20、n 矩阵的乘积 10.证明：一个秩为 r 的矩阵总可以表为 r 个秩为 1 的矩阵的和 11设 A 是一个 n n 矩阵，都是 n 1 矩阵用记号 表示以 代替 A 的第 i 列后所得到的 矩阵 (i)线性方程组 可以改写成 I 是 n 阶单位矩阵 (ii)当 detA0 时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规则 5.3 矩阵的分块 1求下面矩阵的逆矩阵 2设 A，B 都是 n 阶矩阵，I 是 n 阶单位矩阵，证明 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 3设 都是 n=r+s 阶矩阵，而 是一个 n 阶矩阵，并且与 S,T 有相同的分法求 SA,AS,TA 和 AT.由此
21、能得出什么规律？4证明，2n 阶矩阵 总可以写成几个形如 的矩阵的乘积 5设 是一个对角线分块矩阵证明:6证明，n 阶矩阵 的行列式等于(detA)(detB)7设 A,B,C,D 都是 n 阶矩阵，其中 detA0 并且 AC=CA，证明 第六章 向量空间 6.1 定义和例子 1令 F 是一个数域，在 F3里计算 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 （i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）；（ii）5（0，1，-1）-3（1，2）+（1，-3，1）2证明：如果 a（2，1，3）+b（0,1,2）+c（1，-1，4）=（0，0，0），那么a=b=c=0 3找出不
22、全为零的三个有理数a，b，c（即a，b，c中至少有一个不是 0），使得 a(1，2，2)+b（3，0，4）+c(5，-2，6)=（0，0，0）4令 1=（1，0，0），2=（0，1，0），3=（0，0，1）证明，R3中每个向量 可以唯一地表示为 =a1 1+a2 2+a3 3 的形式，这里 a1，a2，a3 R 5证明，在数域 F 上向量空间 V 里，以下算律成立：（i）a()=a-a；(ii)(a-b)=a-b,这里a，b F，,V 6证明：数域 F 上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量 7证明，对于任意正整数 n 和任意向量，都有 n=+8证明，向量空间定义中条件
23、 3，8）不能由其余条件推出 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 9验证本节最后的等式：（1，n）(AB)=（1，n）A）B 6.2 子空间 1判断R n中下列子集哪些是子空间：(i)（a1，0，0，an）|a1，an R；(ii)（a1，a2，an）|ai=0；(iii)（a1，a2，an）|ai=1；(iv)（a1，a2，an）|ai Z，i=1，n.2Mn(F)表示数域 F 上一切 n 阶矩阵所组成的向量空间（参看 6.1，例 2）令 S=A Mn (F)|A=A，T=A Mn (F)|A=A 证明，S 和T都是 Mn (F)的子空间，并且 Mn(F)=S+T，S T=0 3
24、设 W1，W2是向量空间 V 的子空间，证明：如果 V 的一个子空间既包含 W1又包含W2，那么它一定包W1+W2 在这个意义下，W1+W2是 V 的既含W1又含W2的最小子空间 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 4设V是一个向量空间，且V 0证明：V不可能表成它的两个真子空间的并集 5设W，W1，W2都是向量空间V 的子空间，其中W1 W2且W W1=W W2，W+W1=W+W2.证明：W1=W2 6设W1，W 2是数域 F 上向量空间 V 的两个子空间，,是 V 的两个向量，其中 W2，但 W1，又 W2，证明：（i）对于任意k F,+k W2；（ii）至多有一个k F，使得
25、+k W1 7设W1，W2，Wr 是向量空间 V 的子空间，且 Wi V，i=1，r.证明：存在一个向量 V，使得 Wi，i=1，r 提示：对 r 作数学归纳法并且利用第 6 题的结果 6.3 向量的线性相关性 1.下列向量组是否线性相关:(i)（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）；(ii)（2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）；(iii)（2，-1，3，2），（-1，2，2，3），（3，-1，2，2），（2，-1，3，2）精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2证明，在一个向量组 里，如果有两个向量 与 成比例，即=k，那么 线性相关 3令。证明 线性相关
26、必要且只要行列式 =0 4设，线性无关对每一个 任意添上 p个数，得到 的 m 个向量 证明 1，2，m也线性无关 5设 线性无关，证明 也线性无关 6设向量组 (线性无关，任取 证明，向量组 线性无关 7下列论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例：(i)如果当，那么 线性无关(ii)如果 线性无关，而 不能由 线性表示，那么，也线性无关 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 (iii)如果 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合 (iv)如果 线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合 8设向量 可以由 表示，但不能由 线性表示证明
27、，向量组 与向量组，等价 9设向量组 中 并且每一 都不能表成它的前 个向量 的线性组合证明 线性无关 10设向量 线性无关，而，线性相关，证明，或者 与 中至少有一个可以由 线性表示，或者向量组，与，等价 6.4 基和维数 1令Fn x表示数域F上一切次数 n的多项式连同零多项式所组成的向量空间这个向量空间的维数是几？下列向量组是不是F3 x的基：(i)x3+1，x+1，x2+x，x3+x2+2x+2；(ii)x-1，1-x2，x2+2x-2，x3.2求下列子空间的维数：（i）L(2，-3，1)，（1，4，2），（5，-2，4）)R3 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 (ii)
28、L(x-1，1-x2，x2-x)Fx；(iii)L(ex，e2x，e3x)C a，b.3把向量组（2，1，-1，3），（-1，0，1，2）扩充为R4的一个基 4令S是数域 F 上一切满足条件A=A的n阶矩阵A所成的向量空间，求S的维数 5证明，复数域C作为实数域R上向量空间，维数是 2如果C看成它本身上的向量空间的话，维数是几？6证明定理 6.4.2的逆定理：如果向量空间 V的每一个向量都可以唯一地表成 V 中向量 的线性组合，那么 dimV=n.7设W是R n 的一个非零子空间，而对于 W 的每一个向量（a1，a2，an）来说，要么a1=a2=an=0，要么每一个ai 都不等于零，证明 di
29、mW=1 8设W是n维向量空间V的一个子空间，且 0 dimW 2，那么存在可逆实矩阵T，使得 T-1AT=这里 且，1，-1 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 (ii)如果|trA|=2 且 A，那么存在可逆实矩阵 T，使得 T-1AT=或.(iii)如果|trA|2 则存在可逆实矩阵 T 及，使得 T-1AT=提示 在(iii)，A 有非实共轭复特征根=1.将 写成三角形式令 是 A 的属于 的一个特征向量，计算 A 和 A 4设a，b，c 令 A=，B=，C=(i)证明，A，B，C彼此相似；(ii)如果BC=CB，那么A，B，C的特征根至少有两个等于零 5设 A 是复数域
30、C 上一个 n 阶矩阵 (i)证明：存在 C 上 n 阶可逆矩阵 T 使得 T-1AT=精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 (ii)对n作数学归纳法证明，复数域 C 上任意一个n阶矩阵都与一个“上三角形”矩阵 相似，这里主对角线以下的元素都是零 6设 A 是复数域 C 上一个 n 阶矩阵，是 A 的全部特征根（重根按重数计算）(i)如果f(x)是 C 上任意一个次数大于零的多项式，那么f(是f(A)的全部特征根 (ii)如果 A 可逆，那么，并且 是 A-1的全部特征根 7令 A=是一个 n 阶矩阵。(i)计算 (ii)求 A 的全部特征根 8 是任意复数，行列式 精品文档 收集于
31、网络，如有侵权请联系管理员删除 D=叫做一个循环行列式，证明：D=，这里，而 是全部 n 次单位根 提示：利用 6.7 两题的结果 9设 A，B 是复数域上 n 阶矩阵证明，AB 与 BA 有相同的特征根，并且对应的特征根的重数也相同提示：参看 5.3 习题 2 7.6 可以对角化的矩阵 1检验 7.5 习题 1 中的矩阵哪些可以对角化如果可以对角化，求出过渡矩阵 T 2设，求 A10 3设 是数域F上n维向量空间 V 的一个线性变换令 是 的两两不同的本征值，是属于本征值 的本征子空间证明，子空间的和 是直和，并在 之下不变 4数域 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换 叫做一个对合变
32、换，如果 2=,是单位变换，设 是 V 的一个对合变换，证明:(i)的本征值只能是；精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 (ii)V=V1，这里 V1是 的属于本征值 1 的本征子空间，V 是 的属于本征值 1 的本征子空间提示：设 5数域 F 上一个 n 阶矩阵 A 叫做一个幂等矩阵，如果,设 A 是一个幂等矩阵.证明：(i)I+A 可逆，并且求 (ii)秩 A+秩 提示：利用 7.4，习题 3(ii)6数域 F 上 n 维向量空间V的一个线性变换 叫做幂零的，如果存在一个自然数m使 m=0.证明：(i)是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零；(ii)如果一个幂零变换 可以对角
33、化，那么 一定是零变换 7设 V 是复数域上一个 n 维向量空间，S 是 V 的某些线性变换所成的集合，而 是 V 的一个线性变换，并且 与 S 中每一线性变换可交换，证明，如果 S 不可约(参看 7.4，习题 5)，那么 一定是一个位似 提示：令 是 的一个本征值，考虑 的属于 的本征子空间，并且利用 7.4，习题 5 的结果 8设 是数域F上n维向量空间 V 的一个可以对角化的线性变换，令 是 的全部本征值证明，存在 V 的线性变换，使得 (i)；(ii)精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 (iii)(iv)(v)的属于本征值 的本征子空间，9令 V 是复数域C上一个 n 维向
34、量空间，是 V 的线性变换，且 (i)证明，的每一本征子空间都在 之下不变；(ii)与 在 V 中有一公共本征向量 第八章 欧氏空间和酉空间 8.1 向量的内积 1证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量,以下等式成立:(1)；(2)在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么?2在区氏空间 里,求向量 与每一向量,的夹角.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 3在欧氏空间 里找出两个单位向量,使它们同时与向量 中每一个正交.4利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形 5设 是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:(勾股定理)6设 都是一个欧氏
35、空间的向量,且 是 的线性组合.证明,如果 与 正交,那么.7设 是欧氏空间的 个向量.行列式 叫做 的格拉姆(Gram)行列式.证明=0,必要且只要 线性相关.8设 是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:和 都是 的整数.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 证明:的夹角只可能是.9.证明:对于任意实数,).8.2 正交基 1已知 ,，,是 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出 的一个规范正交基 2在欧氏空间 里,对于线性无关的向量级1,施行正交化方法,求出一个规范正交组 3令 是欧氏空间 V 的一组线性无关的向量,是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组
36、的格拉姆行列式相等,即 4令 是 维欧氏空间 V 的一个规范正交基,又令 K 叫做一个-方体.如果每一 都等于 0 或 1,就叫做 K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少?精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 5设 是欧氏空间 V 的一个规范正交组.证明,对于任意,以下等式成立:.6设 V 是一个 维欧氏空间.证明 如果 W 是 V 的一个子空间,那么.如果 都是 V 的子空间,且,那么 如果 都是 V 的子空间,那么 7证明,中向量 到平面 的最短距离等于 8证明,实系数线性方程组 有解的充分且必要条件是向量 与齐次线性方程组 的解空间正交.9令 是 维欧氏空间 V 的一
37、个非零向量令 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 称为垂直于 的超平面,它是 V 的一个 维子空间.V 中有两个向量,说是位于 的同侧,如果 同时为正或同时为负.证明,V 中一组位于超平面 同侧,且两两夹角都 的非零向量一定线性无关 提示:设 是满足题设条件的一组向量.则,并且不妨设.如果,那么适当编号,可设,令,证明.由此推出.10设 U 是一个正交矩阵.证明:U 的行列式等于 1 或-1;U 的特征根的模等于 1;如果 是 U 的一个特征根,那么 也是 U 的一个特征根;U 的伴随矩阵 也是正交矩阵.11.设,且 .证明,可逆,并且 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删
38、除 12.证明:如果一个上三角形矩阵 是正交矩阵,那么 A 一定是对角形矩阵,且主对角线上元素 是 1 或-1.8.3 正交变换 1证明:维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.2设 是 维欧氏空间 V 的一个正交变换.证明:如果 V 的一个子空间 W 在 之下不变,那么 W 的正交补 也在 下不变.3设 V 是一个欧氏空间,是一个非零向量.对于,规定 .证明,是 V 的一个正交变换,且,是单位变换.线性变换 叫做由向量 所决定的一个镜面反射.当 V 是一个 维欧氏空间时,证明,存在 V 的一个标准正交基,使得 关于这个基的矩阵有形状:精品文档 收集
39、于网络，如有侵权请联系管理员删除 在三维欧氏空间里说明线性变换 的几何意义.4设 是欧氏空间 V 到自身的一个映射,对 有 证明 是 V 的一个线性变换,因而是一个正交变换.5设 U 是一个三阶正交矩阵,且.证明:U 有一个特征根等于 1;U 的特征多项式有形状，这里.6设 和 是 维欧氏空间 V 的两个规范正交基.证明:存在 V 的一个正交变换,使.如果 V 的一个正交变换 使得,那么 所生成的子空间与由 所生成的子空间重合.7令 V 是一个 维欧氏空间.证明:对 V 中任意两不同单位向量,存在一个镜面反射,使得.V 中每一正交变换 都可以表成若干个镜面反射的乘积.提示:为了证明,利用 和习
40、题 6.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 8证明:每一个 阶非奇异实矩阵 A 都可以唯一地表示成 的形式,这里 是一个正交矩阵,是一个上三角形实矩阵,且主对角线上元素都是正数.提示:非奇异矩阵 A 的列向量 作成 维列空间 的一个基.对这个基施行正交化,得出 的一个规范正交基,以这个规范正交基为列的矩阵 U 是一个正交矩阵,写出 由 的表示式,就可以得出矩阵 T.证明唯一性时,注意 8.2 习题 12.8.4 对称变换和对称矩阵 1设 是 维欧氏空间 V 的一个线性变换.证明,如果 满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个:是正交变换;是对称变换;是单位变换.2设 是 维
41、欧氏空间 V 的一个对称变换,且.证明,存在 V 的一个规范正交基,使得 关于这个基的矩阵有形状 3证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 4 维欧氏空间 V 的一个线性变换 说是斜对称的,如果对于任意向量,.证明:斜对称变换关于 V 的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条件 的矩阵叫做斜对称矩阵)反之,如果线性变换 关于 V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么 一定是斜对称线性变换.斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.5令 A 是一个斜对称实
42、矩阵.证明,可逆,并且 是一个正交矩阵.6对于下列对称矩阵 A,各求出一个正交矩阵 U,使得 是对角形式:;第九章 二次型 9.1 习题 1证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2对下列每一矩阵 A，分别求一可逆矩阵 P，使 是对角形式：(i)(ii)(iii)3写出二次型 的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价的二次型，使后者只含变量的平方项 4令 A 是数域 F 上一个 n 阶斜对称矩阵，即满足条件 (i)A 必与如下形式的一个矩阵合同：(ii)斜对称矩阵的秩一定是偶数 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 (iii)F上两
43、个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩 9.2 复数域和实数域上的二次型 1设 S 是复数域上一个 n 阶对称矩阵证明，存在复数域上一个矩阵A，使得 2证明，任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：3证明，任何一个 n 阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同：4证明，一个实二次型 可以分解成两个实系数n元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是：或者q的秩等于 1，或者q的秩等于 2 并且符号差等于0 5令 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 证明 A 与 B 在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵 P，使得 6确定实二次型 的秩和符号差 7确定实二次型 的秩
44、和符号差 8证明，实二次型 的秩和符号差与 无关 9.3 正定二次型 1判断下列实二次型是不是正定的:;2 取什么值时,实二次型，是正定的.3设 A 是一个实对称矩阵.如果以 A 为矩阵的实二次型是正定的,那么就说 A 是正定的.证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数 ,使得 是正定的.4证明,阶实对称矩阵 是正定的,必要且只要对于任意,阶子式 5设 是一个 阶正定实对称矩阵.证明 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 当且仅当 A 是对角形矩阵时,等号成立.提示:对 作数学归纳法,利用定理 9.3.2 的证明及习题 4.6设 是任意 阶实矩阵.证明 (阿达马不等式).提示:当 时,先证明 是正定对称矩阵,再利用习题 5.9.4 主轴问题 1对于下列每一矩阵 A,求一个正交矩阵 U,使得 具有对角形式:;2设 A 是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵 S 使得 3设 A 是一个 阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵 S 和一个正交矩阵 U,使得 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 提示:是正定对称矩阵.于是由习题 2 存在正定矩阵 S,使得=.再看一下 U 应该怎样取 4设 是一组两两可交换的 阶实对称矩阵.证明,存在一个 阶正交矩阵 U,使得 都是对角形矩阵.提示:对 作数学归纳法,并且参考 7.6,习题 9.