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1、 新课标 2022 高考数学二轮总复习 1.5.2 求 证明 曲线性质、定值、定点、面积问题专题限时训练文 2 1.5.2 求证明曲线性质、定值、定点、面积问题 专题限时训练(小题提速练)(建议用时：45 分钟)一、选择题 1如果双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线与直线 3xy 30 平行，那么双曲线的离心率为()A.2 B.3 C.2 D.3 解析：因为ybax与 3xy 30 平行，所以ba 3，得b 3a，ca23a22a，所以eca2.选 C.答案：C 2假设直线xy2 被圆(x1)2(ya)24所截得的弦长为 2 2，那么实数a的值为()3 A2 或 6 B.0 或
2、4 C1 或 3 D.1 或 3 解析：圆心坐标为(1，a)，弦长为 2 2，圆心到直线xy20的距离为d 422，即 2|1a2|2，|a1|2，a1 或a3.选 D.答案：D 3双曲线C：x2y231，那么C的顶点到其渐近线的距离等于()A.12 B.1 C.32 D.3 解析：双曲线的顶点坐标是(1,0)，渐近线方程是y 3x，因此其顶点到渐近线的距离d 4 32.选 C.答案：C 4抛物线y22px(p0)上横坐标为 1 的点到焦点F的距离为 2，那么抛物线方程为()Ay2x B.y22x Cy24x D.y28x 解析：由题意知Fp2，0，不妨设抛物线上横坐标为 1 的点为A(1，2
3、p)，故|FA|2p212(0 2p)24，又p0，故p2，抛物线方程为y24x.选 C.答案：C 5椭圆x2a2y2b21(ab0)的中心为点O，右焦点为F，右顶点为A，直线xa2c与x轴的交点为K，那么|FA|OK|的最大值为()5 A.12 B.13 C.14 D.1 解析：|FA|OK|aca2cacc2a2e2ee1221414.选 C.答案：C 6(2022江西省五校协作体检测)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线相交于点M，假设|MN|AB|，那么直线l的倾斜角为()A15 B.30 C.45
4、 D.60 解析：分别过A，B，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A，B，N，由抛物线的定义知|AF|6|AA|，|BF|BB|，|NN|12(|AA|BB|)12|AB|，因为|MN|AB|，所以|NN|12|MN|，所以MNN60，即直线MN的倾斜角为 120，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为 30.选 B.答案：B 7设椭圆x2m2y2n21(m0，n0)的一个焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为12，那么此椭圆的方程为()A.x216y2121 B.x212y2161 C.x248y2641 D.x264y2481 解析：抛物线y28x的焦点坐标为(
5、2,0)，所以 7 椭圆的焦点在x轴上且半焦距为 2，由2m12，得m4，所以n2422212，故椭圆的方程为x216y2121.选 A.答案：A 8设双曲线x24y231 的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，那么|BF2|AF2|的最小值为()A.192 B.11 C.12 D.16 解析：由题意，得|AF2|AF1|2a4，|BF2|BF1|2a4，所以|BF2|AF2|8|AF1|BF1|8|AB|，显然，当AB为通径时，其长度最短，|AB|min2b223，故(|BF2|AF2|)min11.选 B.8 答案：B 9 假设实数k满足 0k9，那么曲线
6、x225y29k1 与曲线x225ky291 的()A离心率相等 B.虚半轴长相等 C实半轴长相等 D.焦距相等 解析：因为 0k0，b0)的焦距为 2c，焦点到渐近线的距离为c2，那么双曲线C的离心 10 率为()A.2 33 B.2 C.43 D.2 2 解析：双曲线的一条渐近线为bxay0，一个焦点为(c,0)，那么焦点到渐近线的距离为|bc0|b2a2c2，得bc2.又b2c2a2，所以有 4a23c2，解得e243，即e2 33.选 A.答案：A 12(2022武汉高三调研)如图，抛物线E：x24y与圆M：x2(y1)216 交于A，B两点，点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，平
7、行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，那么PMN的周长的取值范围是()11 A(6,12)B.(8,10)C.(6,10)D.(8,12)解析：由题意可得抛物线E的焦点为(0,1)，圆M的圆心为(0,1)，半径为 4，所以圆心M(0,1)为抛物线的焦点，故|NM|等于点N到准线y1 的距离，又PNy轴，故|PN|NM|等于点P到准线y1 的距离，由 x24y，x2y1216，得y3，又点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，所以点P到准线y1 的距离的取值范围是(4,6)，又|PM|4，所以PMN的周长的取值范围是(8,10)选 B.答案：B 二、填空题 12 13(2022成都检测)双曲线C：
8、x2y21 的右焦点为F，那么点F到双曲线C的一条渐近线的距离为_ 解析：由题意，知双曲线的渐近线方程为xy0，右焦点F(2，0)，所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为|2|12121.答案：1 14以抛物线y24x的焦点为顶点，原点为中心，离 心 率 为 2 的 双 曲 线 的 标 准 方 程是 .解析：因为抛物线y24x的焦点坐标是(1,0)，所以双曲线的焦点在x轴上，且实半轴长a1.又双曲线的离心率为 2，所以半焦距c2，那么虚半轴长bc2a2 3，所以该双曲线的标准方程为x2y231.13 答案：x2y231 15椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点
9、的四边形是一个面积为 4 的正方形 设P为该椭圆上的动点，C，D的坐标分别是(2，0)，(2，0)，那么PCPD的最大值为 .解析：由正方形的对角线性质可得bc，又该正方形面积为 4，那么 412b24，所以bc2，那么C，D即为椭圆的焦点，所以PCPDPCPD244a2442244.答案：4 16直线l：mxy3m 30 与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点假设|AB|23，那么|CD|.14 解析：由直线l：mxy3m 30 知其过定点(3，3)，圆心O到直线l的距离为d|3m 3|m21.由|AB|2 3，得3m 3m212(3)212，解得m33.
10、又直线l的斜率为m33，所以直线l的倾斜角6.画出符合题意的图形如下图，过点C作CEBD，那么DCE6.在 RtCDE中，可得|CD|AB|cos 2 3234.15 答案：4 16 专题限时训练(大题标准练)(建议用时：75 分钟)1动点P到直线l：x1 的距离等于它到圆C：x2y24x10 的切线长(P到切点的距离)记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，问是否存在常数，使得|AC|BC|QC|2？假设存在，求的值；假设不存在，说明理由 解析：(1)由得圆心为C(2,0)，半径r 3.设P(x，y)，依 题 意 可
11、 得|x 1|x22y23，整理得y26x.故曲线E的方程为y26x.(2)存在常数，使得|AC|BC|QC|2.理由如下：设直线AB的方程为myx2，那么直线CQ的方程为ym(x2)，17 可得Q(1,3m)设A(x1，y1)，B(x2，y2)将myx2 代入y26x并整理得y26my120，那么y1y212，那么|AC|BC|(1m2)|y1y2|12(1m2)，|QC|29(1m2)，即|AC|BC|43|QC|2，所以43.2(2022福建五校第二次联考)椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，上顶点M到直线 3xy40 的距离为 3.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过
12、点(4，2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值 18 解析：(1)由题意可得 eca32，|b4|23，a2b2c2，解得 a4，b2，所以椭圆C的方程为x216y241.(2)易知直线l的斜率恒小于 0，设直线l的方程为y2k(x4)，k0)的焦点为F，点M(2，y0)在该抛物线上，且|MF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)直线l：ykx2 与y轴交于点E，与抛物线C相交于A，B两点，自点A，B分别向直线y 20 2 作垂线，垂足分别为A1，B1，记EAA1，EA1B1，EBB1的面积分别为S1，S2，S3.试证明：S1S3S22为定
13、值 解析：(1)抛物线C的焦点为F0，p2，准线方程为yp2，点M(2，y0)在该抛物线上，42py0，依定义及|MF|2 得y0p22，由解得p2，抛物线C的方程为x24y.(2)由 ykx2，x24y，消y得x24kx80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x24k，x1x28，那么A1(x1，2)，B1(x2，2)S1S312(y12)|x1|12(y22)|x2|21 14(kx14)(kx24)|x1x2|14k2x1x24k(x1x2)16|x1x2|148k24k4k16816(k22)，又S2212|x2x1|424(x2x1)2 4(x2x1)24x1x24(16
14、k232)64(k22)，S1S3S2214.4如下图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线上 (1)求椭圆C的标准方程；22(2)点P(2，3)，Q(2，3)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由 解析：(1)设椭圆C的标准方程为x2a2y2b21(ab0)椭圆的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线y2 上，b2，解得b2.又ca32，a2b2c2，a4，c2 3.可得椭圆C的标准方程为x216y241.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)APQBPQ，那么PA，PB的斜率互为相反数，可设直线PA的斜率为k，那么PB的斜率为k.23 直线PA的方程为y 3k(x2)，联立 y 3kx2，x24y216，有(14k2)x28k(32k)x4(32k)2160，x128k2k 314k2.同 理 可 得x2 2 8k2k 314k28k2k 314k2，x1x216k214k24，x1x216 3k14k2，kABy1y2x1x2kx1x24kx1x236.直线AB的斜率为定值36.24