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1、第九章 期权定价模型在资产价值评估中的应用 一、练习题 1、三周前你买了一份 100 股看涨期权合约。该看涨期权的到期日自今天算起还有五周。在那天，标的股票的价格将是 120 元或 95 元。两种状态的出现是等可能的。目前，该股票售价为 96 元；其执行价格是 112 元。你能够购买 32 股股票。你能以 10%年利率借到钱。你的看涨期权合约的价值是多少？2、假设戴尔塔运输公司股票在今天算起的一年后到期时只存在两种状态。到那天戴尔塔公司股票的价格将是 60 元或 40 元。今天戴尔塔股票以 55 元交易。看涨期权的执行价格是 50 元。你能以 9%的利率借款。你愿意为此看涨期权支付的款额是多少
2、？3、现有计算机普拉斯公司股票的看涨期权。该期权将于今天起的一年后到期，执行价格是 35 元。无风险利率是 7%。计算机普拉斯公司股票正以每股 37 元出售，而你对股票收益方差的估计值是 0.004。(1)利用布莱克-模型为该看涨期权定价。(2)你发现方差的估计值应该修改为 0.0064。看涨期权的新价格应是多少？(3)在公布该公司即将关闭其在加利福尼亚的三家工厂后，股票价格跌至35 元。利用(2)中的结果，该期权的新价格应该是多少？4、你已应顾客的要求确定他们将愿意为购买金斯利看涨期权而支付的最高价格。该期权具有执行价格 25 元，且在 120 天后到期。金斯利股票的现行价格是 27元，无风
3、险年利率是 7%，股票的估计方差是 0.0576。预期在下六个月期间没有任何股利被宣布。你的顾客应该支付的最高价格是多少？5、环球不动产合伙有限公司正在进行一个新项目。若该项目成功，一年后公司的价值将是 6.5 亿元，但若最终失败，公司将只值 2.5 亿元。公司的现有价值是4 亿元。公司已公开发行的一年期债券的总面值为 3 亿元。短期国库券利率是 7%。权益的价值是多少？负债的价值是多少？6、假设上一题中的环球不动产合伙有限公司决定实施一项较有风险的项目：一年后公司的价值要么是 8 亿元，要么是 1 亿元，这取决于计划是否成功。权益的价值是多少？负债的价值是多少？债权人更喜欢哪一个项目？7、某
4、公司发行了亿元的零息票债券，年后到期。公司近些年来的利息和税前收入（EBIT）约为 4 亿元（税率为 40%）。预计收入以每年 5%的速度永续增长。公司不付红利。公司的股权资本成本为 12%，加权资本成本为 10%。可比公司价值波动的年标准差为 12.5%（5 年期国债利率为 5%）。请你用贴现现金流和期权定价两种方法计算该公司的股权资本的价值。二、参考答案 1、期权的有效期限为八周。假设到期日时股票价格是 95 元，则策略 1 放弃执行看涨期权；相应的与之等值的策略 2 的合计额也应该是 0，由此我们可以计算出 复制的借贷金额本金是 2994 元，而期权的有效期限为八周，借贷金额年利为 10
5、%。具体计算见表 9-1。表 9-1 初始交易 到期日盈利 若股票价格是 120 元 若股票价格是 95 元 策略 1：购进看涨期权（含 100 股的合约）执行看涨期权 100（120-112）=800 放弃看涨期权 0 策略 2：购进 32 股股票 借贷 2994 元 策略 2 的合计 32120=3840-2994(1+10%8/52)=-3040 800 3295=3040 2994(1+10%8/52)=-3040 0 由于采取的是复制资产组合，且绝无套利可能，因此两个策略有相同的成本，得出看涨期权合约的价值 C=7829949632元。另外一种计算方法从两策略的净收益相同出发。策略
6、1 的净收益=800-C，策略 2 的净收益=32（120-96）-299410%*8/52（利息支出）=3224-46=722 元 因此看涨期权合约的价值 C=800-722=78 元 2、期权的有效期限为一年。假设到期日时股票价格是40 元，则策略 1 放弃执行看涨期权；相应的与之等值的策略 2 的合计额也应该是 0，由此我们可以计算出 复制的借贷金额本金是 1835 元，而期权的有效期限为一年，借贷金额年利率为9%。具体计算见表 9-2。表 9-2 初始交易 到期日盈利 若股票价格是 60 元 若股票价格是 40 元 1、购进看涨期权 100（60-50）=1000（含 100 股的合约
7、）放弃看涨期权 2、购进 50 股股票 5060 =3000 借贷 2994 元 -1835(1+9%)=-2000 策略 2 的合计 1000 5040 =2000 -1835(1+9%)=-2000 0 由于采取的是复制资产组合，且绝无套利可能，因此两个策略有相同的成本，得出看涨期权合约的价值 C=91518355550元。另外一种计算方法从两策略的净收益相同出发。策略 1 的净收益=1000-C，策略 2 的净收益=50（60-55）-18359%（利息支出）=505-165=85 元 因此看涨期权合约的价值 C=1000-85=915 元 3、(1)运用布莱克斯科尔斯模型计算，公式如下
8、：C=SN（1）-Eert N（2）1=ln(S/E)+(r+1/22)t t2 2=1-t2 公式中：S现行股价,股票价格 S 是 37 元；E看涨期权的执行价格,执行价格 E 是 35 元；连续无风险收益率（年度的）,无风险利率是 0.07；2股票的连续收益之方差（每年）,普拉斯公司的方差估计为每年 0.004；至到期日的时间（单位：年）,我们将以年为单位表示成1。此外，还有一个统计概念：N（）即标准正态分布随机变量将小于或等于的概率。利用上述五个参数，我们分三个步骤计算期权的布莱克斯科尔斯值：步骤 1：计算1和2。我们可以将参数值直接代入基本公式来确定这两个值。我们有:1=ln(S/E)
9、+(r+1/22)t t2=ln(37/35)+(0.07+1/20.004)11004.0=(0.0556+0.072)/0.063=2.0254 2=1-t2=2.0254-0.063=1.9624 步骤 2：计算 N(1)和（2）。值 N（1）和 N（2）可以通过查标准正态分布的概率表得出。N(1)=N(2.0254)0.9786 N（2）=N(1.9624)0.9751 步骤 3：计算 C。我们有 C=SN（1）-Eert N（2）=37N（1）-35e107.0 N（2）=370.9786-350.93240.9751 =4.3868 元(2)普拉斯公司的方差估计为每年 0.0064
10、 时:步骤 1：计算1和2。我们可以将参数值直接代入基本公式来确定这两个值。我们有:1=ln(S/E)+(r+1/22)t t2=ln(37/35)+(0.07+1/20.0064)110064.0=(0.0556+0.0732)/0.08=1.61 2=1-t2 =1.53 步骤 2：计算 N(1)和（2）。值 N（1）和 N（2）可以通过查标准正态分布的概率表得出。N(1)=N(1.61)0.9463 N（2）=N(1.53)0.9370 步骤 3：计算 C。我们有:C=SN（1）-Eert N（2）=37N（1）-35e107.0 N（2）=370.9463-350.93240.9370
11、 =4.435 元(3)普拉斯公司的股票价格 S 下跌至 35 元每股。步骤 1：计算1和2。我们可以将参数值直接代入基本公式来确定这两个值。我们有:1=ln(S/E)+(r+1/22)t t2=ln(35/35)+(0.07+1/20.0064)110064.0=(0+0.0732)/0.08=0.915 2=1-t2 =0.835 步骤 2：计算 N(1)和（2）。值 N（1）和 N（2）可以通过查标准正态分布的概率表得出。N(1)=N(0.915)0.8199 N（2）=N(0.835)0.7981 步骤 3：计算 C。我们有:C=SN（1）-Eert N（2）=35N（1）-35e10
12、7.0 N（2）=350.8199-350.93240.7981 =2.6513 元 4、股票价格 S 是 27 元；执行价格 E 是 25 元；无风险利率是 0.07；此外，距到期日的时间可以很快算出：公式要求以年为单位来表示，我们将 120 天以年为单位表示成120/365；金斯利公司的方差估计为每年 0.0576。利用上述五个参数，我们分三个步骤计算期权的布莱克斯科尔斯值：步骤 1：计算1和2。我们可以将参数值直接代入基本公式来确定这两个值。我们有 1=ln(S/E)+(r+1/22)t t2=ln(27/25)+(0.07+1/20.0576)120/365365/1200576.0=
13、(0.0770+0.0325)/0.1376=0.7957 2=1-t2 =0.6581 步骤 2：计算 N(1)和（2）。值 N（1）和 N（2）可以通过查标准正态分布的概率表得出。N(1)=N(0.7957)0.7868 N（2）=N(0.6581)0.7448 步骤 3：计算 C。我们有 C=SN（1）-Eert N（2）=27N（1）-25e365/12007.0 N（2）=270.7868-250.97720.7448 =3.0481 元 5、买卖权平价关系用公式可以表述为：S+p-c=Xe)(tTr 既 S+p=c+Xe)(tTr 公式中：T 为期权有效期，t 为有效期内已经过去的
14、时间，X 为股票期权的执行价格，S 为股票的现行价格，r 为无风险利率。它表明，具有某一确定执行价格和到期日的欧式看涨期权的价格可根据相同执行价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。用看涨期权和看跌期权来描述公司的股东权益和负债，我们可以把上述买卖权平价关系改写成：公司看涨期权价值=公司价值+公司看跌期权价值-无违约债券价值 期权的有效期限为一年。假设到期日时公司价值是 2.5 亿元，则策略 1 放弃执行看涨期权；相应的与之等值的策略 2 的合计额也应该是 0，由此我们可以计算出复制的借贷金额本金是 2.044 亿元，而期权的有效期限为一年，借贷金额年利率为 7%。具体计算见表 9
15、-3。表 9-3 初始交易 到期日盈利 若公司价值是 6.5 亿元 若公司价值是 2.5 亿元 1、购进看涨期权 6.5 亿元-3 亿元 =3.5 亿元 放弃看涨期权 2、购进 0.875 的公司 0.875 6.5 亿元=5.6875 亿元 借贷 2.044 元 -2.044亿元(1+7%)=-2.1875 亿元 策略2的合计 3.5亿元 2.5 亿元0.875=2.1875 亿元 -2.044(1+7%)=-2.1875亿元 0 由于采取的是复制资产组合，且绝无套利可能，因此两个策略有相同的成本，得出看涨期权合约的价值C=456.1044.2875.04亿元。另外一种计算方法从两策略的净收
16、益相同出发。策略 1 的净收益=3.5-C，策略 2 的净收益=(6.5-4)7%（利息支出）=2.1875-0.143=2.044 亿元 因此看涨期权合约的价值 C=3.5-2.044=1.456 亿元,由前可知,公司的权益价值=公司看涨期权合约的价值=1.456 亿元 在得出公司看涨期权合约的价值后我们用买卖权平价关系公式计算公司看跌期权价值。代入买卖权平价关系公式S+p-c=Xe)(tTr即 S+p=c+Xe)(tTr此时标的资产是公司本身。公式中：T 为期权有效期，此时是 1 年；t 为有效期内已经过去的时间,此时为 0；X 为公司看涨期权的执行价格，即公司发行的债券的面值 3 亿元；
17、S 为公司目前的价值 4 亿元；为无风险利率 7%。求出公司看跌期权价值 p=c+Xe)(tTr-S=1.456+107.03e-4=1.456+30.9324-4=0.2532 亿元 公司负债的价值=公司价值-公司看涨期权价值=4-1.456=2.544 亿元 或者公司负债的价值=无违约债券价值-公司看跌期权价值=107.03e-0.2532=3=2.544 亿元 两者的结果是一样的,由此也验证了买卖权平价关系的存在。6、期权的有效期限为一年。假设到期日时公司价值是 1 亿元，则策略 1 放弃执行看涨期权；相应的与之等值的策略 2 的合计额也应该是 0，由此我们可以计算出复制的借贷金额本金是
18、 0.6676 亿元，而期权的有效期限为一年，借贷金额年利率为 7%。具体计算见表 9-4。表 9-4 初始交易 到期日盈利 若公司价值是 8 亿元 若公司价值是 1 亿元 1、购进看涨期权 8 亿元-3 亿元=5亿元 放弃看涨期权 2、购进 5/7 的公司 5/7 8 亿元=40/7 亿元 借贷 0.6676 亿元-0.6676 亿元(1+7%)=-5/7 亿元 策略 2 的合计 5亿元 1 亿元5/7=5/7 亿元 -0.6676(1+7%)=-5/7 亿元 0 由于采取的是复制资产组合，且绝无套利可能，因此两个策略有相同的成本，得出看涨期权合约的价值 C=1895.26676.07/54
19、亿元。另外一种计算方法从两策略的净收益相同出发。策略 1 的净收益=5-C，策略 2 的净收益=(8-4)5/7-0.66767%（利息支出）=2.8571-0.0467=2.8104 亿元 因此看涨期权合约的价值 C=5-2.8104=2.1896 亿元(两者的微小差异是由于计算中的四舍五入引起的)。由前可知,公司的权益价值=公司看涨期权合约的价值=2.1895 亿元 在得出公司看涨期权合约的价值后我们用买卖权平价关系公式计算公司看跌期权价值。代入买卖权平价关系公式S+p-c=Xe)(tTr 即 S+p=c+Xe)(tTr此时标的资产是公司本身。公式中：T 为期权有效期，此时是 1 年；t
20、为有效期内已经过去的时间,此时为 0；X 为公司看涨期权的执行价格，即公司发行的债券的面值 3 亿元；S 为公司目前的价值 4 亿元；为无风险利率 7%。求出公司看跌期权价值 p=c+Xe)(tTr-S=2.1895+107.03e-4=2.1895+30.9324-4=0.9867 亿元 公司负债的价值=公司价值-公司看涨期权价值=4-2.1895=1.8105 亿元 或者公司负债的价值=无违约债券价值-公司看跌期权价值=107.03e-0.9867=3=1.8105 亿元 两者的结果是一样的,由此也验证了买卖权平价关系的存在。分析前面的计算结果，我们明显地发现当公司选择风险大的项目时，公司
21、的权益价值增加了，从 1.456 亿元增加到了 2.1896 亿元；而公司负债的价值从 2.544亿元下降到了 1.8105 亿元，因此债权人更喜欢风险小的第五题中的项目。（即项目成功公司价值变成 6.5 亿元,如果项目失败公司价值变成 2.5 亿元的项目）7、(1)采用贴现现金流方法，股权资本成本e为 12%，预期增长率 g 为 5%（此处把收入增长率近似看成股权现金流量的增长率）。由于公司发行的是亿元的零息票债券，因此没有利息支出。因而股权现金流量 CFE=)1(tEBIT=4（1-40%）=2.4亿元 代入股权价值评估中的一阶段模型公式计算股权资本价值。股权资本价值=2857.34%5%
22、124.2 gCFEe亿元(2)采用期权定价方法，由于公司的股权资本成本为 12%，加权资本成本为 10%，公司的债务资本为零（因为发行的是零息票债券）。由计算公司加权资本成本的公式，即公司加权资本成本=公司的股权资本成本 E/（D+E）+公司的债务资本D/（D+E），而公司的负债为 5 亿元可以得出公司目前的账面资产价值为 30 亿元，公司的股权资本的账面价值为 25 亿元。运用布莱克斯科尔斯模型计算，公式如下：C=SN（1）-Eert N（2）1=ln(S/E)+(r+1/22)t t2 2=1-t2 公式中：公司目前资产的价值S 是 30 亿元；执行价格 E 即零息票债券的面值，此处为
23、5 亿元；无风险利率是与期权期限相同的国库券利率0.05；距到期日的时间为零息票债券的剩余期限，公式要求以年为单位来表示，我们将以年为单位表示成 5；公司的价值波动的年标准差为 0.125，因而2即公司的连续收益之方差为 0.015625。利用上述五个参数，我们分三个步骤计算期权的布莱克斯科尔斯值：步骤 1：计算1和2。我们可以将参数值直接代入基本公式来确定这两个值。我们有 1=ln(S/E)+(r+1/22)t t2=ln(30/5)+(0.05+1/20.015625)55015625.0=(1.7918+0.2891)/0.2795=7.4449 2=1-t2 =7.1654 步骤 2：计算 N(1)和（2）。值 N（1）和 N（2）可以通过查标准正态分布的概率表得出。N(1)=N(7.4449)1 N（2）=N(7.1654)1 步骤 3：计算 C。我们有 C=SN（1）-Eert N（2）=30N（1）-5e505.0 N（2）=301-50.77881=26.106 亿元