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1、天一大联考 2018-2019 学年（下）高二年级期末测试 理科数学 一、选择题 1.13ii（）A.2155i B.11105i C.2551i D.11105i【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】13142213331055iiiiiiii.故选：A【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.2.已知集合21,Axx，1,2,3B，且AB，则实数x的值是（）A.1 B.1 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据已知，将选项代入验证即可.【详解】由AB，知21xB且xB，经检验1x 符合题意，所以1x.故选：B【点睛】本题考查集合间的关系，要注意特殊方法的
2、应用，减少计算量，属于基础题.3.给定下列两种说法：已知,a b cR，命题“若3abc，则2223abc”的否命题是“若3abc，则2223abc”，“0 xR，使 00f x”的否定是“xR，使 0f x”，则（）A.正确错误 B.错误正确 C.和都错误 D.和都正确【答案】D【解析】【分析】根据否命题和命题的否定形式，即可判定真假.【详解】中，同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故正确；中，特称命题的否定是全称命题，所以正确，综上知，和都正确.故选：D【点睛】本题考查四种命题的形式以及命题的否定，注意命题否定量词之间的转换，属于基础题.4.已知2sin2cos,2kkZ，
3、则tan2（）A.43 B.1 C.34 D.23【答案】A【解析】【分析】根据已知结合二倍角的正弦，求出tan，再由二倍角的正切公式，即可求解,【详解】由2sin2cos，得22sincoscos.又因2k，得1tan2.所以22tan4tan 21tan3.故选：A【点睛】本题考查三角函数求值、二倍角公式的应用，属于基础题.5.过抛物线22ypx的焦点F的直线l交抛物线于,A B两点，其中点02,Ay，且4AF，则p（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】由已知可得0p，再由|22pAF，即可求出结论.【详解】因为抛物线22ypx的准线为2px ，点02,Ay在抛物线上
4、，所以0p，|24,42pAFp.故选：C【点睛】本题考查抛物线的标准方程，应用焦半径公式是解题的关键，属于基础题.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.4643 B.8643 C.16643 D.648【答案】B【解析】【分析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体，由体积公式直接求解.【详解】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体 该几何体的体积 V32142236483 故选 B【点睛】本题考查了正方体与圆锥的组合体的三视图还原问题及体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7.某军工企业为某种型号新式步枪生产了一批
5、枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布21,3N，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间4,7内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布2,N，则68.27%P ，2295.45%P）A.31.74%B.27.18%C.13.59%D.4.56%【答案】C【解析】【分析】根据已知可得1,3,2,4,25,27 ，结合正态分布的对称性，即可求解.【详解】14757242PPP 10.95450.68270.13592.故选：C【点睛】本题考查正态分布中两个量和的应用，以及正态分布的对称性，属于基础题.8.已知,a b为两条不同的直线，,为两个不同的平面，则（）若a，b，且，则a
6、b；若a，b，且，则ab；若a，b，且，则ab；若a，b，且，则ab.其中真命题的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根据空间直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断，即可得出结论.【详解】由b且，可得b，而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故正确；由于，a，所以a，则ab，故正确；若a与平面,的交线平行，则ab，故不一定有ab，故错误；【点睛】本题考查函数图象的识别、指数函数图象，运用函数图象平移变换是解题关键，属于基础题.10.已知双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线方程为34yx，P为该双曲线上一点，12,F F为
7、其左、右焦点，且12PFPF，1218PFPF，则该双曲线的方程为（）A.2213218xy B.2211832xy C.221916xy D.221169xy【答案】D【解析】【分析】设12(,0),(,0)FcF c，根据已知可得34ba，由12PFPF，得到2221212PFPFFF，结合双曲线的定义，得出2122PFPFb，再由已知求出b，即可求解.【详解】设22cab，则由渐近线方程为34yx，34ba，又1222212122,PFPFaPFPFFF，所以22212122221224,4.PFPFPFPFaPFPFc 两式相减，得21224PFPFb，而1218PFPF，所以29b，
8、所以3b，所以5c，4a，故双曲线的方程为221169xy.故选：D【点睛】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，注意焦点三角形问题处理方法，一是曲线的定义应用，二是余弦定理（或勾股）定理，利用解三角形求角或面积，属于中档题.11.已知函数 sinf xx0,22在区间,6 6 上为单调函数，且636fff，则函数 f x的解析式为（）A.1sin23fxx B.sin 23fxx C.sin 2f xx D.1sin2f xx【答案】C【解析】【分析】由函数在区间,6 6 上为单调函数，得周期23T，66ff，得出图像关于0,0对称，可求出，63ff，得出函数的对称轴，结合对称中心和周
9、期的范围，求出周期，即可求解.【详解】设 f x的最小正周期为T，f x在区间,6 6 上具有单调性，则266T，即23T，由66ff 知，f x有对称中心0,0，所以0.由63ff，且23T，所以 f x有对称轴12634x.故0444T.解得T，于是2，解得2，所以 sin 2f xx.故选：C【点睛】本题考查正弦函数图象的对称性、单调性和周期性及其求法，属于中档题.12.若函数 lnf xaxx在区间0,e上的最小值为3，则实数a的值为（）A.2e B.2e C.2e D.1e【答案】A【解析】【分析】求出()fx，()0fx（或()0fx）是否恒成立对a分类讨论，若恒成立求出最小值（或
10、不存在最小值），若不恒成立，求出极值最小值，建立a的关系式，求解即可.【详解】1fxax.（1）当0a 时，0fx，所以 fx在0,e上单调递减，min13f xf eae，4ae（舍去）.（2）当0a 时，1a xafxx.当10ae时，1ea，此时0fx在0,e上恒成立，所以 fx在0,e上单调递减，min13f xf eae，解得4ae（舍去）；当1ae时，10ea.当10 xa时，0fx，所以 fx在10,a上单调递减，当1xea时，0fx，所以 fx在1,ea上单调递增，于是 min11ln3fxfaa，解得2ae.综上，2ae.故选：A【点睛】本题考查函数的最值，利用导数是解题的关
11、键，考查分类讨论思想，如何合理确定分类标准是难点，属于中档题.二、填空题 13.已知非零向量,a b满足3ab，1cos,2a b，且atab，则实数t的值为_.【答案】16【解析】【分析】由已知atab，根据垂直向量的关系和向量的数量积公式，建立关于k的方程，即可求解.【详解】由3ab，又由atab，得22239|02atabtaa bt bb.|0b，解得16t.故答案为：16【点睛】本题考查向量垂直、向量的数量积运算，属于基础题.14.若612axx的展开式中的常数项为240，则实数a的值为_.【答案】2【解析】【分析】求出612axx的展开式的通项，令x的指数为 0，求出常数项，建立a
12、的方程，即可求解.【详解】依题意612axx展开式的通项公式为336216rrrrTC ax.令3302r，得2r，所以展开式中的常数项为246240C a，解得2a .故答案为：2【点睛】本题考查二项式定理，熟记二项展开式通项是解题关键，属于基础题.15.已知,x y满足约束条件0,23,23,xxyxy则2zxy的最大值为_.【答案】1【解析】【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【详解】约束条件0,23,23xxyxy表示的可行域如图中阴影部分所示.由23,23xyxy得 1,1P，则目标函数2zxy过点 1,1P时，z取得最大值，max2 11z.故答案为：1 【点睛】本题考
13、查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.16.在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，已知3b，22 coscabA，则ac的取值范围为_.【答案】3,2 3【解析】【分析】将已知等式化边为角，结合两角和的正弦公式化简可得B，已知b，由余弦定理和基本不等式，求出ac的最大值，结合acb，即可求解.【详解】由正弦定理及22 coscabA，得2sinsin2sincosCABA.因为CAB，所以2sinsin2sin cosA BABA.化简可得sin2cos10AB.因为sin0A，所以1cos2B.因为0B，所以3B.由已知及余弦定理，得2
14、223bacac，即233acac，因为0a，0c，所以22332acac，得212ac，所以2 3ac，当且仅当3ac时，取等号.又因三角形任意两边之和大于第三边，所以3ac，所以32 3ac.故ac的取值范围为(3,2 3.故答案为：(3,2 3【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，利用基本不等式求最值，属于中档题.三、解答题 17.已知等差数列 na的前n项和为nS，12a，318S.（1）求 na的通项公式；（2）设1302nnba，数列 nb的前n项和为nT，求nT的最小值.【答案】（1）42nan；（2）225【解析】【分析】（1）求出公差d，根据通项公式即可求
15、出42nan；（2）由（1）可写出231nbn，则数列 nb是等差数列.根据通项公式求出使得0nb 的n的最大值，再根据前n项和公式求出nT（或根据前n项和公式求出nT，再根据二次函数求最值，求出nT的最小值）.【详解】（1）方法一：由1333182aaS，又因为12a，所以310a.所以数列 na的公差31102422aad，所以1121442naandnn.方法二：设数列的公差为d.则31133 22Sad.3 2318d.得4d.所以1121442naandnn.（2）方法一：由题意知1130423023122nnbann.令10,0.nnbb得2310,21310.nn解得293122
16、n.因为*nN，所以15n.所以nT的最小值为 151215.2927.1225Tbbb .方法二：由题意知1130423023122nnbann.因为121312312nnbbnn，所以数列 nb是首项为129b ，公差为2的等差数列.所以22129230152252nn nTnnnn.所以当15n 时，数列 nb的前n项和nT取得最小值，最小值为15225T.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，考查学生的运算求解能力.18.“过桥米线”是云南滇南地区特有的一种小吃.在云南某地区“过桥米线”有,A B C三种品牌的店，其中A品牌店50家，B品牌店30家，C品牌店20家.（）为了
17、加强对食品卫生的监督管理工作，该地区的食品安全管理局决定按品牌对这100家“过桥米线”专营店采用分层抽样的方式进行抽样调查，被调查的店共有20家，则,B C品牌的店各应抽取多少家（）为了吸引顾客，所有品牌店举办优惠活动：在一个盒子中装有形状、大小相同的4个白球和6个红球.顾客可以一次性从盒中抽取3个球，若是3个红球则打六折（按原价的60%付费），2个红球1个白球打八折，1个红球2个白球则打九折，3个白球则打九六折.小张在该店点了价值100元的食品，并参与了抽奖活动，设他实际需要支付的费用为X，求X的分布列与数学期望.【答案】（）B品牌店6家，应抽查C品牌店4家；（）分布列见解析，80.2E X
18、 【解析】【分析】（1）根据分层抽样每层按比例分配，即可求解；（2）求出随机变量X的可能取值，并求出相应的概率，即可得到分布列，进而根据期望公式求解.【详解】（）由题意得，应抽查B品牌店30206100家，应抽查C品牌店20204100家；（）离散型随机变量X的可能取值为60,80,90,96.于是0346310201601206C CP XC，12463104 151801202C CP XC，21463106 639012010C CP XC，3046310419612030C CP XC.X的分布列如下 X 60 80 90 96 P 16 12 310 130 所以 113160809
19、09680.2621030E X 【点睛】本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列和期望，求出随机变量的概率是解题关键，属于基础题.19.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中90BADADC，且2PAADDC，4AB，H是PD的中点.（）求证：AHPC；（）求CP与平面AHC所成角的正弦值.【答案】（）见解析；（）13【解析】【分析】（1）根据已知可得PADC，可证DC 平面PAD，从而有DCAH，再由已知可得AHPD，可证AH 平面PDC，即可证明结论；（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出,C D P H坐标，再求出平面AHC法向量坐标，根
20、据空间向量的线面角公式，即可求解.【详解】（）因为PA 底面ABCD，DC 底面ABCD，所以PADC.又因为ADDC，PAADA，所以DC 平面PAD.又因为AH 平面PAD，所以DCAH.因为PA AD，H是PD的中点，所以AHPD.又因为DCPDD，所以AH 平面PDC.而PC 平面PDC，所以AHPC.（）因为,PA AD AB两两垂直，所以以A为原点，,AB AD AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0A，00 2P,，4,0,0B，2,2,0C，0,1,1H，于是2,2,2CP .设平面AHC的一个法向量为,nx y z.0,1,1AH，2,2
21、,0AC.由0,0n AHn AC 得0,220.yzxy，令1z，则1,1yx，得1,1,1n.设CP与平面AHC所成的角为，则 sincos,CP nCP nCP n 222222222222111 2132 33.故CP与平面AHC所成角的正弦值是13.【点睛】本题考查空间线面位置关系，考查直线与平面垂直的证明、用空间向量法求直线与平面所成的角，注意空间垂直间的相互转化，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:10 xyCabab的右顶点为2,0A，定点0,1P，直线PA与椭圆交于另一点31,2B.（）求椭圆C的标准方程；（）试问是否存在过点P的直线l与椭圆C
22、交于,M N两点，使得6PAMPBNSS成立若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（）22143xy；（）存在，612yx或612yx 【解析】【分析】（1）由已知可得2a，再将点31,2B 代入椭圆方程，求出b即可；（2）设1122(,),(,)M x yN xy，由已知可得2PAPB，结合6PAMPBNSS，可得3PMPN，从而有123xx，验证MN斜率不存在时是否满足条件，当MN斜率存在时，设其方程为1ykx，与椭圆方程联立，根据根与系数关系，得出12,x x k关系式，结合123xx，即可求解.【详解】（）由椭圆2222:10 xyCabab的右顶点为2,0A知，2
23、a.把B点坐标31,2 代入椭圆方程，得219144b.解得23b.所以椭圆C的标准方程为22143xy.（）35(1,),(0,1),5,222,0,ABPPAPB，所以2PAPB.由6PAMPBNSS，得1sin2261sin2PAPMAPMPMPNPBPNBPN，即3PMPN，所以3PMPN.设11,M x y，22,N xy，则11,1PMx y，22,1PNxy，所以123xx.当直线MN的斜率不存在时，直线l的方程为0 x，312331PMPN，这与3PMPN矛盾.当直线MN的斜率存在时，设直线l的方程为1ykx.联立方程221,143ykxxy得2243880kxkx.12284
24、3kxxk，122843x xk.由123xx 可得228243kxk，2228343xk，即2224834343kkk.整理得232k.解得62k .综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为612yx或612yx.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.21.已知函数 lnmf xxx.（）若1m，求函数 f x的单调区间；（）若 1f xmx 在1,上恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（）单调递增区间为1,，单调递减区间为0,1；（）,2【解析】【分析】（1）求出()fx，当1m 时，求出()0
25、,()0fxfx的解即可；（2）所求的问题为ln10mxxmx在1,上恒成立，设 ln1mg xxxmx，1,)x，注意(1)0g，所以()g x在1,)x递增满足题意，若存在区间01,)x递减，则不满足题意，对a分类讨论，求出()g x单调区间即可.【详解】（）当1m 时，1ln0f xxxx，则 22111xfxxxx.所以当1x 时，0fx，f x单调递增；当01x时，0fx，f x单调递减.所以函数 f x的单调递增区间为1,，单调递减区间为0,1.（）由 1f xmx，得ln10mxxmx在1,上恒成立.设 ln1mg xxxmx，则 22211mxxmgxxxx.设 21h xxx
26、m x，当2m时，0h x，则()0g x在1,上恒成立，()g x在1,上单调递增，()(1)0g xg在1,恒成立，所以当2m时，ln10mxxmx在1,上恒成立；当2m时，令 20h xxxm，得111 42mx 或211 42mx（舍去）.所以当1141,2mx 时，0gx，则 g x是1141,2m 上的减函数；当114,2mx 时，0gx，则 g x是114,2m 上的增函数.所以当1141,2mx 时，10g xg.因此当2m时，ln10mxxmx不恒成立.综上所述，实数m的取值范围是,2.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数单调性、不等式恒成立，考查分类讨论思想，确定
27、分类标准是解题的关键，属于中档题.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cossinxryr（为参数，0r）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为4cos2 5sin30.（）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为16，求实数r的取值范围.【答案】（）C：222xyr，l：42 530 xy；（）1 2,3 3【解析】【分析】（1）利用22sincos1消去参数，得到曲线C的普通方程，再由cosx，siny化直线l为直角坐标方程；（2）与直线l的距离为16的点在与l平行且距离为16的两平行直线上，依题意只
28、有一条平行线与圆C相交，另一条平行线与圆相离，利用圆心到直线的距离与半径关系，即可求解.【详解】（）由曲线C的参数方程cossinxryr（为参数，0r）消去参数，可得曲线C的普通方程222xyr.cosx，siny代入4cos2 5sin30，得直线l的直角坐标方程为42 530 xy.（）由（）知，直线l的直角坐标方程为42 530 xy，曲线C的直角坐标方程为222xyr，曲线C表示以原点为圆心，以r为半径的圆，且原点到直线l的距离为2231242 5.所以要使曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为16，则须11112626r，即1233r.所以实数r的取值范围是1 2,3 3.【点睛】
29、本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.23.已知函数 4f xxx.（1）解关于x的不等式 12f x；（2）对任意的Rx，都有不等式 +1(49R)f xtm tt恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）4,8；（2）,21.【解析】【分析】（1）由题意 24,44,0442,0 xxf xxx x，分类讨论即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出 minf x，利用基本不等式求出max149tt，利用恒成立问题的解决办法即可得解.【详解】（1）由题意 24,444,0442,0 xxf xxxxx x，则不等式 12f x 可转化为 04212xx或04412x或42412xx，整理可得48x，故不等式 12f x 的解集为4,8.（2）由于444xxxx，当04x时，等号成立；而1444491936379372925tttttttt，当且仅当49tt，即249t，23t 时，等号成立.要使不等式1449Rxxtmtt恒成立，则254m，解得21m，实数m的取值范围为,21.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值三角不等式和基本不等式的应用，考查了恒成立问题的解决，属于中档题.