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1、第 1 页 第一单元 图形的变换 图形变换的根本方式是平移、对称与旋转。1、轴对称:1学过的轴对称平面图形：长正方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形任意梯形与平行四边形不是轴对称图形。圆有无数条对称轴。2轴对称图形的特征与性质：沿对称轴对折，对应点到对称轴的距离都相等；对应点的连线及对称轴垂直；对称轴两边的图形大小、形状完全一样。3轴对称图形的画法：找关键点 在对称轴的另一侧找出关键点的对应点 连接对应点 2、旋转：旋转的画法：旋转要明确绕点，角度与方向顺时针、逆时针。二、因数与倍数 1、整除：被除数、除数与商都是自然数，并且没有余数。整数及自然数的关系：整数包括自然数。2、因数、倍数
2、：1数 a 能被 b 整除，那么 a 就是 b 的倍数，b 就是 a 的因数。第 2 页 例：126=2 12 是 6 与 2 的倍数，6 与 2 是 12 的因数。因数与倍数是相互依存的，不能单独存在。2一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。一个数的因数的求法：成对地按顺序找。3一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。42、3、5 的倍数特征 1 个位上是 0，2，4，6，8 的数都是 2 的倍数。2一个数各位上的数的与是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。3 个位上是 0 或 5 的数，是 5 的倍数。4能同时被
3、 2、3、5 整除也就是 2、3、5 的倍数的最大的两位数是 90，最小的三位数是 120。同时满足 2、3、5 的倍数，实际是求 235=30 的倍数。5如果一个数同时是 2 与 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。4：自然数按能不能被 2 整除来分：奇数、偶数。奇数：不能被 2整除的数。也就是个位上是 1、3、5、7、9 的数。偶数：能被 2整除的数叫偶数0 也是偶数，也就是个位上是 0、2、4、6、8 的数。最小的奇数是 1，最小的偶数是 0.关系：奇数+、-偶数=奇数 奇数+、-奇数=偶数 偶数+、-偶数=偶数。第 3 页 5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0 四类.质
4、数或素数：只有 1 与它本身两个因数。合数：除了 1 与它本身还有别的因数至少有三个因数：1、它本身、别的因数。1：只有 1 个因数。“1”既不是质数，也不是合数。最小的质数是 2，最小的合数是 4，连续的两个质数是 2、3。每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。20 以内的质数：有 8 个2、3、5、7、11、13、17、19100 以内的质数有25 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 100 以内找质数、合数的技巧：看是否是 2、3、5、7、11、13的倍数，是的就
5、是合数，不是的就是质数。关系：奇数奇数=奇数 质数质数=合数 6、最大、最小 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的。最小的奇数是：1；最小的偶数是：0；最小的质数是：2；第 4 页 最小的自然数是：0；最小的合数是：4；7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。用短除法分解质因数 一个合数写成几个质数相乘的形式。比方：30 分解质因数是：30=235 8、互质数：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。两个质数的互质数：5 与 7 两个合数的互质数：8 与 9 一质一合的互质数：7 与 8
6、两数互质的特殊情况：1 与任何自然数互质；相邻两个自然数互质；两个质数一定互质；2 与所有奇数互质；5相邻两个奇数互质。9、公因数、最大公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。用短除法求两个数或三个数的最大公因数 除到互质为止 10、公倍数、最小公倍数 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。第 5 页 用短除法求两个数或三个数的最小公倍数除到互质为止 11、求最大公因数与最小公倍数方法 两数关系 最大公因数 最小公倍数 互质 1 乘积 倍数 较小的数 较大的数 一般 短除法，乘半边 短除法，乘半圈 一般关系的两个数还可以用以
7、下方法 用 12 与 16 来举例 1、求法一：列举求同法最大公因数的求法：12 的因数有：1、12、2、6、3、4 16 的因数有：1、16、2、8、4 最大公因数是 4 最小公倍数的求法：12 的倍数有：12、24、36、48、16 的倍数有：16、32、48、最小公倍数是 482、求法二：分解质因数法 12=223 16=2222 第 6 页 最大公因数是：22=4 一样乘 最小公倍数是：22 322=48 一样乘 不同乘 三 长方体与正方体 一、长方体 1、定义：由 6 个长方形特殊情况有两个相对的面是正方形围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于
8、一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。2、长方体特点：1有 6 个面，8 个顶点，12 条棱，相对的面的面积相等，相对的棱长相等。2一个长方体最多有 6 个面是长方形，最少有 4 个面是长方形，最多有 2 个面是正方形。二、正方体 1、定义：由 6 个完全一样的正方形围成的立体图形叫做正方体 也叫立方体。2、正方体特点：第 7 页 1有 6 个面，8 个顶点，12 条棱，每个面的面积都相等，所有棱长相等。3正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。一样点 不同点 面 棱 长方体 都有6个面，12条棱，8个 顶点。6 个面都是长方形。有可能有两个相对的面是正方形。
9、相对的棱的长度都相等 正方体 6 个面都是正方形。12 条棱都相等。3、长方体、正方体有关棱长计算公式：长方体的棱长总与=长+宽+高4长4+宽4+高4 L=abh4 长=棱长总与4宽 高 a=L4bh 第 8 页 宽=棱长总与4长 高 b=L4ah 高=棱长总与4长 宽 h=L4ab 正方体的棱长总与=棱长12 L=a12 正方体的棱长=棱长总与12 a=L12 4、长方体或正方体 6 个面与总面积叫做它的外表积。长方体的外表积=长宽长高宽高2 S=2abahbh 无底或无盖长方体外表积=长宽长高宽高2 S=2 ahbh ab 或 S=2 abahbhab 无底又无盖长方体外表积=长高宽高2
10、S=2ahbh 正方体的外表积=棱长棱长6 S=6a2 生活实际：油箱、罐头盒等都是 6 个面 游泳池、鱼缸等都只有 5个面 水管、烟囱等都只有 4 个面 注意 1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。外表积相应增第 9 页 加 两物体拼成一个物体时，减少两个面。外表积相应减少 注意 2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，外表积会扩大倍数的平方倍。如长、宽、高各扩大 2 倍，外表积就会扩大到原来的 4 倍。5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。长方体的体积=长宽高 V=abh 长=体积宽高 a=Vbh 宽=体积长高 b=Vah 高=体积长宽 h=Vab 正方体的体积=棱长棱长棱长 V=a
11、aa=a3读作“a 的立方表示 3 个 a 相乘，即 a a a 长方体或正方体底面的面积叫做底面积。长方体或正方体的体积=底面积高 用字母表示：V=S h 横截面积相当于底面积，长相当于高。注意：一个长方体与一个正方体的棱长总与相等，但体积不一定相等。6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容第 10 页 积。1、固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等常用的容积单位升与毫升，也可以写成 L 与 ml。1 升=1 立方分米 1 毫升=1 立方厘米 1 升=1000 毫升 1 L=1 dm3 1 ml=1 cm3 2长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法一样
12、。但要沉着器里面量长、宽、高。所以，对于同一个物体，体积大于容积。注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。如长、宽、高各扩大 2 倍，体积就会扩大到原来的 8 倍。*形状不规那么的物体可以用排水法求体积，形状规那么的物体可以用公式直接求体积。排水法的公式：V 物体=V 现在V 原来 也可以 V 物体=S(h 现在-h 原来)V 物体=Sh 升高 7、【体积单位换算】大单位 小单位 进进第 11 页 小单位 大单位 进率：1 立方米1000 立方分米立方厘米立方相邻单位进率1000 1 立方分米1000 立方厘米1 升1000 毫升 1 立方厘米1 毫升 1 平方
13、米=100 平方分米=10000 平方厘米 1 平方千米=100 公顷=1000000 平方米 注意：长方体及正方体关系 把长方体或正方体截成假设干个小长方体或正方体后，外表积增加了，体积不变。重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率【单位换算】大单位 小单位 小单位 大单位 长度单位：1 千米=1000 米 1 分米=10 厘米 1 厘米=10 毫米 1 分米=100 毫米 1 米=10 分米=100 厘米=1000 毫米相邻单位进率10 面积单位：1 平方千米=100 公顷 1 平方米=100 平方进进第 12 页 分米 1 平方分米=100 平方厘米 1 公顷=10000 平方米 平方相
14、邻单位进率 100 质量单位：1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克 人 民 币：1 元=10 角 1 角=10 分 1 元=100 分 四 分数的意义与性质 1、分数的意义：一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成假设干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。2、单位“1”：一个整体可以用自然数 1 来表示，通常把它叫做单位“1”。也就是把什么平均分什么就是单位“1”。3、分数单位：把单位“1”平均分成假设干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如34 的分数单位是14。4、分数及除法 AB=AB BAB0，除数不能为 0，分母也不能够为 0 例如：45=45 第 13
15、 页 5、真分数与假分数、带分数(1)、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数1。(2)、假分数：分子比分母大或分子与分母相等的分数叫假分数。假分数1(3)、带分数：带分数由整数与真分数组成的分数。带分数1.(4)、真分数1假分数 真分数1带分数 6、假分数及整数、带分数的互化 1假分数化为整数或带分数，用分子分母，商作为整数，余数作为分子。51 2整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 3带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变。41 等于任何分子与分母一样的分数。7、分数的根本性质：分数的分子与分母同时乘以或除以一样的数0 除外，分数的大小不变。8、最简分数
16、：分数的分子与分母只有公因数 1，像这样的分数叫做最简分数。第 14 页 一个最简分数，如果分母中除了 2 与 5 以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之那么不可以。9、约分：把一个分数化成与它相等，但分子与分母都比拟小的分数，叫做约分。10、通分：把异分母分数分别化成与原来相等的同分母分数，叫做通分。11、分数与小数的互化 1小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是 10；两位小数，分母是 100 2分数化为小数：方法一：先把分数化为分母是 10、100、1000，然后再化成小数。方法二：用分子分母 如：34=3 3带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数 如：231
17、0 12、比拟分数的大小：分母一样，分子大，分数就大；第 15 页 分子一样，分母小，分数才大。分数比拟大小的一般方法：同分子比拟；通分后比拟；化成小数比拟。13、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。五 分数的加法与减法 1同分母分数加、减法 分母不变，分子相加减 1、分数的加法与减法 2异分母分数加、减法 通分后再加减 3 分数加减混合运算：同整数。4 结果要是最简分数 2、带分数加减法:带分数相加减，整数局部与分数局部分别相加减，再把所得的结果合并起来。六 统计及数学广角 众数:一组数据中出现次数最多的数叫众数。众数能够反映一组数据的集中情况。在一组数据中，众数可能不
18、止一个，也可能没有众数。第 16 页 复式折线统计图；综合应用：打 的最优方案 1、众数：一组数据中出现次数最多的一个数或几个数，就是这组数据的众数。众数能够反映一组数据的集中情况。在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。2、中位数：1按大小排列；2如果数据的个数是单数，那么最中间的那个数就是中位数；3如果数据的个数是双数，那么最中间的那两个数的平均数就是中位数。3、平均数的求法：总数总份数=平均数 4、一组数据的一般水平：1当一组数据中没有偏大偏小的数，也没有个别数据屡次出现，用平均数表示一般水平。2当一组数据中有偏大或偏小的数时，用中位数来表示一般水平。3当一组数据中有个别数据屡次
19、出现，就用众数来表示一般水平。第 17 页 4、平均数、中位数与众数的联系及区别:平均数：一组数据的总与除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。容易受极端数据的影响，表示一组数据的平均情况。中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。它不受极端数据的影响，表示一组数据的一般情况。众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。它不受极端数据的影响，表示一组数据的集中情况。5、统计图：我们学过条形统计图、复式折线统计图。条形统计图优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少。折线统计图优点：折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的变化情况。注：
20、画图时注意：一“点描点、二“连连线 三“标标数据。第 18 页 要用不同的线段分别连接两组数据中的数。6、打 ：规律人人不闲着，每人都在传。技巧：人数依次 2 1逐个法：所需时间最多。2分组法：相对节约时间。3同时进展法：最节约时间。七 数学广角 用天平找次品规律：1、把所有物品尽可能平均地分成 3 份，如余 1 那么放入到最后一份中；如余 2 那么分别放入到前两份中，保证找出次品而且称的次数一定最少。2、数目及测试的次数的关系：23 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 1 次 49 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 2 次 1027 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 3 次 2881 个物体，保证能找出次品第 19 页 需要测的次数是 4 次 82243 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 5 次 244729 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 6 次 3、找次品规律 1 2 3 4 5 次数 3 33 333 3333 33333 3 9 27 81 243 次品个数