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1、1 拉普拉斯变换及反变换 1.表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 线 性 定理 齐次性 Laf(t)aF(s)叠加性 L f(t)f (t)F(s)F (s)1 2 1 2 2 微 分 定理 一般形式 L df(t)sF(s)f(0)dt d 2 f(t)L s 2 F(s)sf(0)f （0）dt 2 d n f(t)n n nk(k 1)L dt n s F(s)s f(0)k 1(k 1)d k 1 f(t)f(t)dt k 1 初始条件为 0 时 d n f(t)n L s F(s)dt n 积 分 定理 一般形式 L f(t)dt F(s)f(t)dtt 0 s s L f(t)(d
2、t)2 F(s)f(t)dtt 0 f(t)(dt)t 0 2 s 2 s 2 s 共n个 F(s)n 1 共n个 L f(t)(dt)n f(t)(dt)n sn snk 1 t 0 k 1 3 初始条件为 0 时 共n个 F(s)L f(t)(dt)n sn 4 延迟定理（或称t 域平移定理）L f(t T)eTs F(s)5 衰减定理（或称 s 域平移定 L f(t)eat F(s a)2 理）6 终值定理 lim f(t)lim sF(s)t s0 7 初值定理 lim f(t)lim sF(s)t 0 s8 卷积定理 t t L0 f1(t )f 2()d L0 f1(t)f 2(t
3、 )d F1(s)F2(s)2.表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 拉氏变换 E(s)时间函数 e(t)1(t)1 1 eTs T (t)(t nT)n0 1 s 1(t)1 s 2 t 1 s3 t 2 2 1 sn1 t n n!1 s a eat 1(s a)2 teat 3 1 n a s(s a)1 eat b a(s a)(s b)eat ebt s 2 2 sint s s 2 2 cost (s a)2 2 eat sint s a(s a)2 2 eat cost 1 s (1/T)ln a at/T 3.用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变
4、换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s 的有理真分式 B(s)b sm b sm1 b s b F(s)m m1 1 0 （n m）A(s)a sn a n1 sn1 a s a 式中系数a0,a1,.,an1,an，b0,b1,bm1,bm 都是实常数；m,n 是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。A(s)0 无重根 0 4 n s s 1 n 这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。F(s)c1 c2 ci cn ci（F-1）s s1 s s2 s si s sn i1 s si 式中，s1,s2,sn 是特征方程 A(
5、s)0 的根。ci 为待定常数，称为 F(s)在 si 处的留数，可按下式计算：（F-2）或 ci lim(s si)F(s)ssi （F-3）ci ssi 式中，A(s)为 A(s)对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 1 1 n ci n sit (F-4)f(t)L F(s)L i1 i ci e i1 A(s)0 有重根 设 A(s)0 有 r 重根s1，F(s)可写为 F s B(s)(s s)r(s s )(s s)B(s)A(s)r 1 5 1 1 d r=cr(s s)r cr 1(s s)r1 c1(s s1)cr 1 s sr 1 ci s si
6、 cn s sn 式中，s1 为 F(s)的 r 重根，sr 1，,sn 为 F(s)的 n-r 个单根；其中，cr 1，,式计算：cn 仍按式(F-2)或(F-3)计算，cr，cr 1，,c1 则按下 c lim(s s)r F(s)r ss1 1 c lim d(s s)r F(s)r 1 ds 1 ss1 cr j 1 lim d(j)(j)(s s1)F(s)(F-5)j!ss1 ds c1 1 lim (r 1)(r 1)(s s1)F(s)(r 1)!ss1 ds 原函数 f(t)为 f(t)L1 F(s)L1 cr cr 1 c1 cr 1 ci cn(s s)r(s s)r1(s s)s s s s s s cr 1 t r 1 1 cr 1 t r 2 1 c t r 1 s t i c es t n（F-6）(r 1)!(r 2)!2 c1 e 1 i i ir 1 n r