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1、北京市第四中学高二数学下学期期中试题 理 -1-北京四中 20172018 学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分.1.复数 z 满足（1+i）z=i，则在复平面内复数 z 所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C。第三象限 D。第四象限 2。定积分10)2(dxexx的值为 A。e+2 B。e+1 C.e D。e1 3。曲线 y=x32x+1 在点（1，0）处的切线方程为 A。y=x1 B.y=x+l C。y=2x2 D.y=2x+2 4。函数 y=xcosx 的导数为 A。y=
2、cosxxsinx B。y=cosx+xsinx C.y=xcosxsinx D。y=xcosx+sinx 5。设 f(x）=x22x4 lnx，则函数 f（x）的增区间为 A.（0，+)B。（，1）,（2，+）C.(2，+）D。（1，0）6。若复数 z=（x24)+（x+3）i（xR）,则“z 是纯虚数是“x=2”的 A。充分不必要条件 B。必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7。函数 f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数 f(x)在(a，b）内的图象如图所示，则函数 f（x）在开区间（a,b)内极小值点的个数为 A。1 个 B.2 个 C.3 个 D。4 个 8
3、。直线 y=3x 与曲线 y=x2围成图形的面积为 A。227 B。9 C.427 D.29 北京市第四中学高二数学下学期期中试题 理 -2-9。若函数 y=f（x）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x）具有T 性质。下列函数中具有 T 性质的是 A.y=sinx B.y=lnx C。y=ex D。y=x3 10。函数 f（x）=x33x1，若对于区间3,2上的任意 x1，x2，都有|f(x1）f(x2）|t，则实数 t的最小值是 A。20 B。18 C.3 D。0 11.设函数 f(x)是奇函数 f（x）的导函数，f(1）=0,当 x0 时，xf（x）f
4、（x）0,则 ab 类比得已知 z1，z2C，若 z1z20，则 z1z2；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义。其中推理结论正确的是_.14.如图，函数 y=f(x）的图象在点 P 处的切线方程是 y=x+8，则 f（2018）+f（2018）=_。北京市第四中学高二数学下学期期中试题 理 -3-15。已知函数 f(x）=ex2x+a 有零点，则 a 的取值范围是_.16。已知函数 f（x)=x3+ax2+bx+a2在 x=l 处有极值 10，则（a，b)=_。17。函数 f(x)=ax3+bx2+cx 的图象如图所示，且 f（x）在 x=x0与 x=1 处取得极值，给出下列判
5、断:f（1）+f（1）=0;f（2）0；函数 y=f（x）在区间(，0）上是增函数。其中正确的判断是_。（写出所有正确判断的序号）18.对于函数 f（x）=（2xx2)ex(2，2）是 f（x)的单调递减区间；f(2)是 f（x）的极小值,f（2)是 f（x）的极大值；f（x）有最大值，没有最小值；f（x)没有最大值，也没有最小值.其中判断正确的是_.三、解答题：本大题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分。19。已知函数 f（x)=ax3+x2aR.在 x=34处取得极值.北京市第四中学高二数学下学期期中试题 理 -4-（I）确定 a 的值；（II)若 g（x)=f(x）ex，讨论 g
6、（x)的单调性.20。设 f（x）=a(x5）2+6lnx，其中 aR,曲线 y=f（x）在点（1，f(1）)处的切线与 y 轴相交于点（0，6）.（I）确定 a 的值;（II）求函数 f(x）的单调区间与极值.21。已知函数 f(x）=ex+ax1。（I)当 a=21时，求函数 f（x)在 x=0 处的切线方程；（II）函数 f（x）是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在,请说明理由.22。已知函数 f(x)=xx 1lnax.（I）当 a=2 时，（i）求曲线 y=f（x）在点(1，f（1)处的切线方程；（ii）求函数 f（x）的单调区间；（II）若 1a2，求证:f（x）1.北京
7、市第四中学高二数学下学期期中试题 理 -5-参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A A C B A D A A A B 二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分，共 30 分 13 14 2011 15（，2ln22 16（4，11）17 18 三、解答题：本大题共 4 小题，共 60 分。19。解：（I）对 f（x）求导得 f(x）=3ax2+ax,因为 f(x）在 x=34处取得极值，所以 f（34)=0，即 3a916+2（34）=316a38=0，解得 a=21.（II
8、)由（I)得 g（x）=（2321xx）ex，故 g(x)=（xx2232）ex+（2321xx）ex（xxx2252123）ex=21x（x+1）（x+4）ex。令 g（x）=0，解得 x=0，x=1 或 x=4。当 x4 时,g（x）0，故 g(x）为减函数；当4x0，故 g(x）为增函数;当1x0 时,g(x)0 时，g（x）0，故 g（x）为增函数。综上知，g(x)在（，4）和（l，0）内为减函数,在(4,1)和（0，+）内为增函数。20.解：（I）因 f（x)=a（x5）2+6 lnx，故 f（x)=2a(x5）+x6.令 x=1，得 f(1）=16a,f（1）=68a,所以曲线 y
9、=f（x)在点（1，f（1）处的切线方程为 y16a=68a(x1），由点（0,6）在切线上可得 616a=8a6，故 a=21。（II）由（I）知 f(x)=21（x5）2+6lnx（x0)，f（x）=x5+x6=xxx)3)(2(。令 f（x）=0，解得 x1=2，x2=3。当 03 时,f（x）0，故 f（x）在（0，2），（3，+）上为增函数；当 2x3 时，f（x）0,故 f（x）在(2，3）上为减函数.北京市第四中学高二数学下学期期中试题 理 -6-由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 f（2）=29+6ln2,在 x=3 处取得极小值 f(3）=2+6ln3.21.解：（I
10、）f(x）=ex+ax1,f(x）=ex2)(1ax，f（0）=121a。当 a=21时,f（0)=3。又 f(0)=1，则 f（x）在 x=0 处的切线方程为 y=3xl.（II）函数 f（x）的定义域为（，a）（a，+）.当 x（a，+）时,ex0,ax10,所以 f（x）=ex+ax10，即 f（x）在区间(a，+）上没有零点。当 x（，a）时，f（x）=ex+ax1=axaxex1)(，令 g（x）=ex（xa）+1，只要讨论 g(x）的零点即可。g（x)=ex（xa+1）,g（a1）=0.当 x(,a1）时，g（x）0，g（x）是减函数；当 x（a1,a）时，g（x）0，g(x）是增
11、函数,所以 g(x)在区间(，a）上的最小值为 g（a1）=1ea1.当 a=1 时，g（a1）=0，所以 x=a1 是 f（x)的唯一的零点；当 a0，所以 f(x）没有零点;当 al 时，g（a1）=1ea10，且lnx0，则 f(x）0。在区间（1，+）上 22x20,且lnx0,则 f（x）0.所以 f(x)的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,+).(II）由 x0，f（x)1，等价于xx 1lnax0 成立.北京市第四中学高二数学下学期期中试题 理 -7-因为 h（x）=2ax1x1=xxax122,1a2，由 h（x)=0,得 2ax2x1=0 有异号两根。令其正根为 x0,则 2ax20 x01=0。在（0，x0)上 h（x）0.则 h（x）的最小值为 h（x0)=ax20 x0+1lnx0=000ln121xxx=00ln23xx.又 h（1）=2a20，h（21）=2（232a）=a30，所以21x00.因此230 xlnx00，即 h（x0）0。所以 h(x）0 所以 f（x)1.