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1、-空间角专题复习 知识梳理 一、异面直线所成的角及求法(1)定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角(2)取值围：假设是异面直线a和b所成的角，则其取值围是(0，2，当2时，称异面直线a和b垂直，记为ab.(3)求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至*特殊点后，构造三角形，通过解该三角形而求其大小；二、直线与平面所成的角及求法(1)定义：设l和分别表示直线与平面假设l或l，则称直线l和平面所成的角为 0；假设l，则称l与所成的角为2；假设l与相交，则l与l在的射影所成的锐角为直线l与平面所成的角(2)取值围：设是直线l与平面所成的角，
2、则的取值围是0,2(3)求法：定义法：探寻直线l在平面的射影，(通常由垂直法找射影)构造直线l与平面所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角 三、二面角及求法(1)定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小(2)取值围：规定二面角的取值围为 0，(3)求法：定义法：分别在二面角的两个面作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角-练习提升 1如图，E、F分别是三棱锥PABC的棱AP、BC的中点，PC10，AB6，EF7，则异面直线AB与PC所成的角为 ()A30B45
3、C60D90 答案：C 2.长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成的角的正弦值为()A.32 B.52 C.105D.1010 答案：C 3.如图，在边长为 1 的菱形ABCD中，ABC60，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD1，则二面角BACD的余弦值为()A.13B.12 C.223D.32 答案：A 4在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是()A15 B30 C45 D60 答案：B 5如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，AA1a，BAB1B1A1C130，则AB与A1C1所成的角为_，AA
4、1与B1C所成的角为_ 答案：030，045 6.在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是_；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是_；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是_ 答案(1)45(2)30(3)90 7设直线与平面所成角的大小围为集合P，二面角的平面角大小围为集合Q，异面直线所-成角的大小围为集合R，则P、Q、R的关系为()ARPQ BRPQ CPRQDRPQ 答案：B 8设ABC和DBC所在两平面互相垂直，且ABBCBDa，CBACBD120，则AD与平面BCD所成角的大小为()A30 B45 C60 D75 解析：作AOCB交C
5、B的延长线于O，连接OD，则OD即为AD在平面BCD的射影，ADO即为AD与平面BCD所成的角 AOOD32a，ADO45.答案：B 9.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PAAC，则二面角PBCA的大小为()A60B30C45D15 答案 C 10如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA平面ABCD，且PAAD，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的度数为()A90 B60 C45 D30 解析：ABCD，面PAB与平面PCD的交线l必为过P点与AB平行的直线 PA平面ABCD，PAAB，PACD，又CDAD，DC平面PAD，DCPD，PAl，PD
6、l，即APD为所求二面角的平面角，APD45.-答案：C 11把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于以下结论：ACBD；ADC是正三角形；AB与CD成 60角；AB与平面BCD成60角则其中正确结论的个数是()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：取BD的中点O，则BDOC，BDOA，得BD平面AOC，BDAC，正确；cosADCcos45cos4512，ADC60，ADDC，ADC是正三角形，正确；AB与CD成60角，正确；AB与平面BCD成角ABO45，错误 答案：C 12如下图的正方体ABCDA1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角BDC1C的平面角的余弦值
7、是_ 解析：取C1D的中点O，连接BO、CO，则BOC1D，COC1D，BOC是二面角BDC1C的平面角 设正方体的棱长为 1，则CO22，BDC1为正三角形，OB62，且BC1，cosBOCOB2OC2BC22OBOC33.答案：33 13如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点则直线EF和BC1所成的角是()A45 B60 C90 D120 解析：取B1C1的中点G，A1B1的中点H，连结FG、BG、HG、EH，则FGBC1，-且EFG或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得cosEFG12，故所求角为60.答案：B 14如图，将
8、 RtABC沿斜边上的高AD折成 120的二面角CADC，假设直角边AB43，AC46，则二面角ABCD的正切值为()A.2B.22 C.24D1 解析：CDC120，过D作DEBC于E，连结AE，则AED即为所求 又知AD平面BCD，AD42，在BCD中，由余弦定理求得BC43，再由面积公式SBCD12BCDE12BDCDsin60知DE4，tanAEDADDE2.答案：A 点评：考察二面角的知识，余弦定理及三角形的边角计算如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键 15 在矩形ABCD中，AB3，AD4，PA平面ABCD，PA435，则二面角ABDP的度数是()A30 B45 C60 D7
9、5 解析：如右图所示，过A作AEBD，垂足为E，连结PE，则PEBD(三垂线定理)，故PEA为二面角PBDA的平面角 在 RtBAD中，AEABADBD125.在 RtPAE中，tanPEAPAAE33，PEA30.答案：A-16正四棱锥PABCD的两个侧面PAB与PCD互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的平面角为()A60 B90 C120 D150 解析：如图，作BEPC，连结DE.PDCPBC，DEPC DEB就是二面角DPCB的平面角，O为DB的中点，OEB12DEB，又面PAB面PCD，PO12AB，在 RtPOC中，OC22AB，所以PC32AB.OE12AB22AB32AB66A
10、B.tanOEB22AB66AB3，OEB3，DEB23.答案：C 17.如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角VABC的度数是_ 答案 60 18如图，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB2，点M、N分别在AB，CD上，且MNAB，MCCB，BC2，MB4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND-与平面MNCB垂直(如图)(1)求证：AB平面DNC；(2)当DN32时，求二面角DBCN的大小 解：(1)证明：MBNC，MB 平面DNC，NC 平面DNC，MB平面DNC.同理MA平面DNC，又MAMBM，且MA、MB
11、 平面MAB.平面MAB平面NCDAB 平面MABAB平面DNC.(2)过N作NHBC交BC延长线于H，平面AMND平面MNCB，DNMN，DN平面MB，从而DHBC，DHN为二面角DBCN的平面角 由MB4，BC2，MCB90知MBC60，42cos603，NH3sin60332.由条件知：tanNHDDNNH33，NHD30.19.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD1，AB2，E、F分别是AB、PD的中点(1)求证：AF平面PEC；(2)求PC与平面ABCD所成的角的正切值；(3)求二面角PECD的正切值 解：(1)证明：如图，取PC的中点O，连接O
12、F、OE，则FODC，且FO12DC，FOAE，又E是AB的中点，且ABDC，FOAE.-四边形AEOF是平行四边形，AFOE.又OE 平面PEC，AF 平面PEC，AF平面PEC.(2)如图，连接AC，PA平面ABCD，PCA是直线PC与平面ABCD所成的角 在 RtPAC中，tanPCAPAAC 1555，即直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为55.(3)如图，作AMCE，交CE的延长线于M.连接PM，由三垂线定理得PMCE，PMA是二面角PECD的平面角 由AMECBE可得 AM22，tanPMAPAAM2.二面角PECD的正切值为2.20.如下图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边
13、长为 1 的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA3.(1)证明：平面PBE平面PAB；(2)求二面角ABEP的大小(1)证明 如下图,连接BD,由ABCD是菱形且BCD60知，BCD是等边三角形 因为E是CD的中点，所以BECD.-又ABCD，所以BEAB.又因为PA平面ABCD，BE 平面ABCD，所以PABE.而PAABA，因此BE平面PAB.又BE 平面PBE，所以平面PBE平面PAB.(2)解 由(1)知，BE平面PAB，PB 平面PAB，所以PBBE.又ABBE，所以PBA是二面角ABEP的平面角 在 RtPAB中，tanPBAPAAB3，则PBA60.故二面角A
14、BEP的大小是 60.21平面外两点A、B到平面的距离分别为 1 和 2，A、B两点在的射影之间距离为3，求直线AB和平面所成的角 解(1)如图(1)，当A、B位于平面同侧时，由点A、B分别向平面作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA11，BB12，B1A13.过点A作AHBB1于H，则AB和所成角即为HAB.而 tanBAH21333.BAH30.(2)如图(2)，当A、B位于平面异侧时，经A、B分别作AA1于A1，BB1于B1，ABC，则A1B1为AB在平面上的射影，BCB1或ACA1为AB与平面所成角 BCB1ACA1，BB1AA1B1CCA12，B1C2CA1，而B1CCA13，B1C2
15、33.-tanBCB1BB1B1C22333，BCB160，AB与所成角为 60.综合(1)、(2)可知：AB与平面所成角为 30或 60.22.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BCA90，点D、E分别在棱PB、PC上，且DEBC.(1)求证：BC 平面PAC.(2)是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角.并说明理由(1)证明 PA底面ABC，PABC.又BCA90，ACBC.又ACPAA，BC平面PAC.(2)解 DEBC，又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC.又AE 平面PAC，PE 平面PAC，DEAE，DEPE.AEP为二面角ADEP的平面角 PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC.这时AEP90，故存在点E，使得二面角ADEP为直二面角