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1、 复旦大学数学分析考研配套名校考研真题库 第一模块 名校考研真题 第 3 篇 级 数 第 1 部分 数项级数和反常积分 第 9 章 数项级数 一、判断题 1若收敛，则存在重庆大学 2003 研【答案】错查看答案【解析】举反例：，虽然，但是发散 2若收敛，则收敛南京师范大学研【答案】错查看答案【解析】举反例：满足条件，而且很容易知道 但是发散，所以发散 二、解答题 1求级数的和深圳大学 2006 研、浙江师范大学 2006 研 解：2讨论正项级数的敛散性武汉理工大学研 解：由于，所以当 a1 时收敛，当 0a1 时发散；当 a1 时，由于 ，故发散 3证明：收敛东南大学研 证明：因为，所以 又因
2、为 而收敛，故收敛 4讨论：，pR 的敛散性上海交通大学研 证明：因为为增数列，而为减数列，所以从而 所以于是当 p0 时，由积分判别法知收敛，故由Weierstrass 判别法知 收敛：当 p0 时，因为发散，所以发散：当 p0 时，发散 5设级数绝对收敛，证明：级数收敛上海理工大学研 证明：因为绝对收敛，所以从而存在 N0，使得当 nN 时，有，则有，故由比较判别法知级数收敛 6求中山大学 2007 研 解：由于，所以绝对收敛 7 设，且有，证明：收敛 大连理工大学研 证明：因为，所以对任意的，存在 N，当 nN 时，有 ，即 取充分小，使得，即因为，所以单调递减，且 现在证明因为，即则 所以对任意的，存在 N，当 nN 时，有对任意的 0c-r，有 所以存在 N，当 nN 时，则 因此，由两边夹法则可得故由交错级数的 Leibniz 判别法知收敛 8 说明下面级数是条件收敛或绝对收敛复旦大学研 解：数列是 n 的单调递减函数且 由莱布尼兹判别法，可知收敛 所以 故当 2x1，即时收敛，即 绝对收敛；当 2x1，即时，发散，即 条件收敛 9证明：若绝对收敛，则亦必绝对收敛华东师范大学研 证明：绝对收敛，从而收敛，记 则 由比较判别法知敛散性相同，而收敛，所以 收敛，即 绝对收敛 10证明级数发散到吉林大学研 证明：令则 易知发散到所以 又，所以 所以原级数发散到