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1、努力的你，未来可期!精品 2021 届百师联盟（全国卷）高三开学摸底联考数学（文）试题 一、单选题 1已知全集为R，集合13Axx，2By y，则集合AB（）A1x x 或2x B1x x 或2x C12xx D12xx【答案】C【解析】利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为13Axx，2By y，所以12ABxx.故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2复数21ii的虚部为（）A-1 B1 C12 D12【答案】B【解析】根据复数的除法运算，分子分母都乘以分母的共轭复数再化简即可.【详解】22(1)11(1)(1)iiiiiii ，故虚部为 1.故选：B.【点睛】本题考查了复
2、数的除法运算，要正确进行的计算可得结果.3从全体高二同学的期末考试成绩中，随机抽取了 100 位同学的数学成绩进行分析，在录入数据时，统计员不小心将 100 位同学中的最高成绩 148 分录成了 150 分，则在计算出的数据中一定正确的是（）A平均分 B方差 C中位数 D标准差【答案】C 努力的你，未来可期!精品【解析】将最高分 148分录成了 150 分，将 100 个数据从小到大排列，数据的先后顺序不发生变化，所以中位数不会发生变化.【详解】将最高分 148分录成了 150 分，则把 100 个数据从小到大排列，中间的两个数没有发生变化，所以一定正确的数据为中位数.故选：C【点睛】本题考查
3、了平均数、方差、中位数、标准差的概念和性质、属于简单题，解题时需要准确把握以上几个名词的概念和性质.4已知ab，则“2m”是“22loglogambm”的（）A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用从分必条件、要条件的的定义结合不等式的基本性质判断即可.【详解】因为ab，由2m，得2log0m，故22loglogambm；又当ab，22loglogambm时，得2log0m，即1m，所以当ab时，“2m”是“22loglogambm”的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的基本性质运用，较简单.5函数
4、 31f xxx的图象可能为（）A B C D 努力的你，未来可期!精品【答案】A【解析】利用排除法即可得出正确选项.【详解】由 31f xxx可知：该函数为奇函数，图象关于原点对称，排除 BC.又 f x在0,上为增函数，排除 D，故选：A.【点睛】本题主要考查了由函数的解析式判断函数图象，考查了函数的奇偶性、和单调性，属于中档题 6直线00axbyabab与圆2224xy交于A，B两点，且OAOB(其中O为坐标原点)，则ab（）A1 B1 C2 D不确定【答案】B【解析】根据题意，先判断原点O在圆2224xy上，根据OAOB，得到直线0axbyab过圆心，进而可求出结果.【详解】因为220
5、204 所以原点O在圆2224xy上，又OAOB，则AB为圆的直径，由题意可得，直线0axbyab过圆心2,0，故20aab，得1ab.故选：B.【点睛】本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，属于基础题型.7某几何体的三视图如图所示，已知网格线中的小正方形的边长为 1，则该几何体的表面积为（）努力的你，未来可期!精品 A25 B45 C42 5 D22 5 【答案】A【解析】先利用三视图作出直观图，再利用公式计算该组合体的表面积即可.【详解】由三视图可知，其直观图如下图：该几何体由半径为 1 的半球和底面半径为 1，母线长为5的圆锥构成，故根据球和圆锥的表面积公式得该组合体的表面积为2114
6、 1 2525 22S .故选：A.【点睛】本题考查了三视图的应用和空间几何体表面积的计算公式，属于基础题.8宋代文学家欧阳修在卖油翁中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔人，而钱不湿”，由此诠释出了“熟能生巧”的道理.已知铜钱是直径为1 cma a 的圆，正中间有一边长为 0.5cm的正方形小孔，现随机向铜钱上滴-滴油(油滴的大小忽略不计)，若油滴落入孔中的概率为116，则a（）努力的你，未来可期!精品 A4 B3 C2 D2【答案】A【解析】分别计算钱的圆面面积和钱空正方形的面积，由几何概型概率公式求出一滴油滴落入孔中的概率.【详解】圆的面积为22a 2cm，
7、正方形的面积为20.5 0.5cm，则一滴油滴落入孔中的概率20.5 0.16512aP，得4a 故选:A【点睛】本题考查了几何概型，属于基础题.9如图，一个物体受到两个拉力1F和2F的作用，已知13FN，24FN，两力方向的夹角为0，若1F和2F的合力为F，且5FN，则的取值范围为（）A0,2 B,2 C20,3 D2,3【答案】B【解析】利用平行四边形法则，结合余弦定理求解即可.【详解】努力的你，未来可期!精品 如图所示，由余弦定理得：22212122cos 9 1624cos25FFFFF，解得cos0，所以2.故选：B.【点睛】本题考查力的合成，考查余弦定理及应用，较简单.10已知01
8、ba，则（）Aabaaab Bababaa Caababa Dbaaaab【答案】D【解析】根据指数函数的性质，以及幂函数的性质，即可得出结果.【详解】由10ab，则 xf xa为减函数，所以abaa；根据幂函数的性质可得aaab，故baaaab.故选：D.【点睛】本题主要考查比较指数幂的大小，熟记指数函数与幂函数的性质即可，属于基础题型.11如图是函数 sin0,0,2f xAxA的部分图象，若0 x是 f x在 2,63上的极小值点，则 002f xfx（）A4 B0 C2 D4 努力的你，未来可期!精品【答案】D【解析】根据图象求出解析式，根据0 x是 f x在 2,63上的极小值点求出
9、0712x，进而计算可得解.【详解】由图象可得：2A，最小正周期为4312，故22T，由 f x在12x 时取得最大值，所以sin 2112，可得2 3k，kZ，因为|2，所以0k，得3，所以 2sin 23fxx，由0 x是 f x在 2,63上的极小值点，可得0sin(2)13x，所以032232xk，kZ，即0712xk，kZ，因为0 x 2,63，所以070,12kx，所以 007722sin(2)4sin(2)123123f xfx 3512sin4sin244262 故选：D.【点睛】本题考查了由三角函数图象求解析式，考查了求函数的极值点，考查了三角函数值，属于中档题.12已知定义
10、在R上的函数 f x满足 2f xfx，且在0,上单调递减，若对任意的xR，22fxafx恒成立，则实数a的取值范围为（）A,1 B1,4 C1,4 D1,【答案】B【解析】令 1F xf x，则 F x为定义在R上的奇函数且为减函数，而 22fxafx等价于 20F xaF x，利用 F x性质去掉对应法则F努力的你，未来可期!精品 后得到2axx恒成立，从而可求实数a的取值范围.【详解】令 1F xf x，则 F x在0,上单调递减，又1Fxfx，故 20F xFxf xfx，所以 F x为定义在R上的奇函数，故 F x在R上为减函数.由 22fxafx恒成立，得 20F xaF x恒成立
11、，即 2F xaF x Fx恒成立，可得2xax 恒成立，即221124axxx恒成立，所以实数a的取值范围为1,4.故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，一般地，解函数不等式时往往需要考虑函数的单调性和奇偶性，利用这两个性质去掉对应法则，本题属于中档题.二、填空题 13已知3cos25，则cos _.【答案】725【解析】利用二倍角公式即可求解.【详解】27cos2cos1225 .【点睛】本题主要考查了二倍角公式，属于基础题.14已知在等比数列 na中，1238a a a，514a，则首项1a _.【答案】4【解析】利用等比中项可得22a，再利用等比数列的性质352aa q求得1
12、2q，进而求出1a.【详解】努力的你，未来可期!精品 由1238a a a，得328a,即22a，又3352124aa qq，12q，所以214aaq.故答案为：4【点睛】本题考查了等比中项、等比数列的性质以及等比数列的性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.15 斜率为12的直线l过抛物线C：220ypx p的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若弦AB的中点D到抛物线的准线的距离为 10，则=p_.【答案】2【解析】设l：122pyx，与抛物线方程联立消元得到点D的横坐标，然后根据条件可建立方程求解.【详解】设l：122pyx，与抛物线方程联立得22904pxpx，设11,A x y，22,
13、B x y，22281800ppp，129xxp，则点D的横坐标为92p，又点D到抛物线的准线的距离为 10，即91022pp，解得2p.故答案为：2【点睛】本题考查的是直线与抛物线的位置关系，考查了学生的计算能力，较简单.16在直三棱柱111ABCABC中，2 2AB，3BC，14AA，4ABC，则该直三棱柱的外接球体积为_.【答案】13 263【解析】由直棱柱的特点可知，外接球球心位于上下底面外心连线的中点处，先通过解三角形得出底面的外接圆半径，然后求出外接球半径，得出外接球的体积.【详解】努力的你，未来可期!精品 在ABC中，由余弦定理得2222cos54ACABBCAB BC，得5AC
14、.所以ABC的外接圆半径115102sin2222ACrABC.所以该三棱柱的外接球半径2215264222AARr.所以外接球体积342613 26323V.故答案为：13 263.【点睛】本题考查直棱柱的外接球半径计算，考查球的体积计算公式，难度一般，找出球心，解出半径是关键.三、解答题 17已知等差数列 na的前n项和为nS，且515S，735S.（1）求 na的通项公式na；（2）若121nna bn，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）23nan；（2）1 2nnTn.【解析】（1）由515S，735S，得33a，45a，则5 32d ，1321aad，进而可得答案；（2）利用
15、（1）由121nna bn得，1112 2321nbnn，利用裂项相消法可得答案.【详解】（1）由155355152aaSa，得33a，同理74735Sa可得45a，努力的你，未来可期!精品 设公差为d，则5 32d ，1321aad，所以11223nann .（2）由121nna bn得，111121 232 2321nbnnnn，所以11111111121113352321nTnn 11122112nnn 所以1 2nnTn.【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，考查了裂项相消法的应用，属于中档题.18如图，在三棱锥PABC中，侧面PBC是边长为 2 的等边三角形，M，N分别为AB
16、，AP的中点，过MN的平面与侧面PBC交于EF.（1）求证：/MN EF；（2）若平面PBC 平面ABC，3ABAC，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）2 21035.【解析】（1）由题意知/MN PB，可得/MN平面PBC，在利用线面平行的性质定理即可证明/MN EF；（2）取BC中点O，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PAC的法向量和直线PB的方向向量，利用向量夹角公式即可求解.【详解】（1）因为M，N分别为AB，AP的中点，所以/MN PB，努力的你，未来可期!精品 又MN 平面PBC，PB 平面PBC，所以/MN平面P
17、BC，因为平面MNEF平面PBCEF，所以/MN EF.（2）因为平面PBC 平面ABC，取BC中点O，连接PO，AO，因为PBC是等边三角形，所以POBC，所以PO平面ABC，故POAO，又因为ABAC，所以AOBC，以O为坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得(0,0,0)O，(0,0,3)P，(0,2 2,0)A，(1,0,0)B，(1,0,0)C，所以(1,0,3)PB，(0,2 2,3)PA，(1,0,3)PC ，设平面PAC的法向量为(,)nx y z，则2 23030yzxz，令2y，得4x，4 33z ，所以4 34,2,3n，442
18、210cos,3521023PB n，所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为2 21035.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理，利用空间向量求线面角，属于中档题.19随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络努力的你，未来可期!精品 购物来解决，同时顾客的评价也成为电子商铺的“生命线”.某电商平台从其旗下的所有电商中随机抽取了 100 个电子商铺，对电商的顾客评价，包括商品符合度物流服务服务态度快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数x，得到了如下的频率分.布表：评价指数x 0,20 20,40 40,60 60,80 80,100 频数
19、5 10 15 40 30 （1）画出这 100 个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图；（2）求该电商平台旗下的所有电子商铺的顾客评价指数的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表).(精确到 0.1)附：14512.04.【答案】（1）答案见解析；（2）平均数60，标准差24.1.【解析】（1）根据频率分布表，即可得出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，由每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均数，根据方差的计算公式，即可得出结果.【详解】（1）由题中数据，频率分布直方图如下，努力的你，未来可期!精品 （2）由题中数据可得，110 1030 1050 2
20、070 4090 2060100 x，方差为：22221106010306010506020100s22706040906020580；所以标准差5802 14524.1s.【点睛】本题主要考查完善频率分布直方图，考查由频率分布直方图求平均数和标准差，属于常考题型.20已知1()ln(0)f xxax ax（1）若函数()f x在xe处的切线平行于x轴，求函数()f x的单调区间；（2）设函数()()f xF xx，若()F x在(0,)e上有两个零点，求实数a的取值范围.(其中e为自然对数的底数)【答案】（1）单调递增区间为(0,)e，单调递减区间为(,)e；（2）2112aee.【解析】（
21、1）求出 fx，由函数 f x在xe处的切线平行于x轴，可得0a，由 0fx可得增区间，由 0fx，可得递减区间.（2）设 2lnf xxF xaxx，利用导数判断函数的单调性，根据单调性结合零点存在性定理列不等式求解即可.【详解】努力的你，未来可期!精品（1）21 ln xfxax，函数 f x在xe处的切线平行于x轴，则 0fe，即0a，此时 21 ln xfxx，令 0fx，解得xe，当0 xe时，0fx，f x单调递增，当xe时，0fx，f x单调递减，所以 f x的单调递增区间为0,e，单调递减区间为,e.（2）2lnf xxF xaxx，定义域为0,，则 31 2ln xFxx，可
22、得 当0,xe时，0Fx，F x单调递增，当,xe时，0Fx，F x单调递减，所以 F x在xe处取得极大值 12Feae，又210Feae，所以 F x在0,e上有两个零点只需 0,0,FeF e 即210,210,aeae解得2112aee，所以实数a的取值范围为2112aee.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数与函数零点的综合，同时考查了转化思想与计算能力，属于综合题.21已知椭圆2222:1(0)xyMabab的离心率为22，且过点(2,2).（1）求椭圆M的方程；（2）若A，B分别为椭圆M的上，下顶点，过点B且斜率为0k k 的直线l交椭圆M于
23、另一点N（异于椭圆的右顶点），交x轴于点P，直线AN与直线xa相交于点Q.求证：直线PQ的斜率为定值.努力的你，未来可期!精品【答案】（1）22184xy；（2）证明见解析.【解析】（1）根据条件求出,a b，即可写出椭圆方程；（2）设直线l的方程为2ykx，联立直线与椭圆，可表示出,P N坐标，继而得出直线AN的方程，令2 2x 可得Q的坐标，即可求出直线PQ的斜率并得出定值.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，则22ca，22421ab，又222abc，由解得28a，24b，24c，所以椭圆M的标准方程为22184xy.（2）证明：易得(0,2)A，(0,2)B，直线l的方程为2ykx，因为
24、直线l不过点(2 2,0)，所以22k，由22228ykxxy，得222180kxkx，所以2821Nkxk，从而222842,21 21kkNkk，2,0Pk，直线AN的斜率为2224221218221kkkkk，故直线AN的方程为122yxk.令2 2x，得22 2,2Qk，直线PQ的斜率22222(21)2222 222(21)2 2PQkkkkkkk.所以直线PQ的斜率为定值22.【点睛】努力的你，未来可期!精品 本题考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为11xtyt (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，
25、建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：6cos0mm.（1）求曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且6AB，求实数m的值.【答案】（1）C的普通方程为22239xmym，l的极坐标方程为34R；（2）2m.【解析】（1）消去参数t可得直线l的普通方程，再化为极坐标方程；根据互化公式222xy，cosx，可将极坐标方程6cos0mm化为普通方程；（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C的极坐标方程得：3 2m，根据极坐标的几何意义解方程可得结果.【详解】（1）直线l的参数方程为1,1xtyt (t为参数)，两式相加得0 xy，所以直线l的极坐标方程为：34R，
26、由6cos0mm，得26cosm，因为222xy，cosx，所以曲线C的普通方程为2260 xmxy，即22239xmym.（2）由（1）知直线l和曲线C均过极点，将直线l的极坐标方程代入曲线C的极坐标方程得：36cos3 24mm，因为6AB，所以|3 2|6m，解得2m 或2m （舍）.【点睛】本题考查了参数方程化极坐标方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了极坐标的几何意义，属于中档题.努力的你，未来可期!精品 23设 1fxxaxa(aR，且0a).（1）当1a 时，解不等式 1f xx；（2）求证：2f x.【答案】（1）1x x 且xR；（2）证明见解析.【解析】（1）分三类讨论去绝对值，解不等式组所得结果求并集可得解；（2）利用绝对值三角不等式以及基本不等式可证不等式成立.【详解】（1）当1a 时，不等式 1f xx等价于111xxx，即1,310,xx 或11,10,xx 或1,10,xx 即1x或11x 或1x，解得：1x x 且xR.（2）证明：111|f xxaxxaxaaaa.1aa(因为a与1a同号)122aa，所以 2f x.【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了利用绝对值三角不等式和基本不等式证明不等式，属于中档题.