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1、华中科技大学 高等代数 2015 年期末考试试卷及答案（A 卷）一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1、线性空间 P x的两个子空间的交11LxLx 2、设12,.,n 与12,.,n是 n 维线性空间 V 的两个基，由12,.,n 到12,.,n的过渡矩阵是 C，列向量 X 是 V 中向量在基12,.,n 下的坐标，则在基12,.,n下 的坐标是 3、设 A、B 是 n 维线性空间 V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则 A 与 B 的关系是 4、设 3 阶方阵 A 的 3 个行列式因子分别为：21,1,则其特征矩阵EA的标准形是 5、线性方程组AXB的最小二乘解所满足的线性方程组是：
2、二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1、（）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。2、（）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B）的核是 V 的充要条件是是满射；（C）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D）的值域是 V 的充要条件是是满射。3、（）矩阵 A可逆的充要条件是：0;A AB A是一
3、个非零常数；C A是满秩的；D A是方阵。4、（）设实二次型fX AX（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122.nnyyy，则其中的12,.n 是：1;AB全是正数；C是 A 的所有特征值；D不确定。5、（）设 3 阶实对称矩阵 A 有三重特征根“2”，则 A 的若当 标准形是：200200200020;120;120;002002012ABC D以上各情形皆有可能。三、是非题（每小题 2 分，共 10 分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“”，否则打“”）1、（）设 V1，V2均是 n 维线性空间 V 的子空间，且120VV 则12VVV。2、（）n 维线性空间的某一线性变换在由特
4、征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。3、（）同阶方阵 A 与 B 相似的充要条件是EA与EB 等价。4、（）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。四、解答题（每小题 10 分，共 30 分）1、在线性空间4P中，定义线性变换：4,a b c da b a c b da b c dP（1）求该线性变换在自然基：121,0,0,0,0,1,0,0 340,0,1,0,0,0,0,1下的矩阵 A；（2）求矩阵 A 的所有特征值和特征向量。2、（1）求线性空间 3P x中从基 2:1,1,1Ixx到基 2:1,1,1IIxx的过渡矩阵；（2
5、）求线性空间 3P x中向量 21 23f xxx 在基 2:1,1,1Ixx下的坐标。3、在 R2中，1212,a ab b，规定二元函数：1 11 22 12 2,4ababa ba b （1）证明：这是 R2的一个内积。（2）求 R2的一个标准正交基。五、证明题（每小题 10 分，共 30 分）1、设 P3的两个子空间分别为：11231232123123,0,0Wx x xxxxWx x xxxx 证明：（1）312PWW；（2）12WW不是直和。2、设是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，证明12,.,rWL 是的不变子空间的兖要条件是1,2,.,iWir 3、已知AE是 n 级正定
6、矩阵，证明：（1）A 是正定矩阵；（2）23nAE 参考答案 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1、线性空间 P x的两个子空间的交11LxLx 0 2、设12,.,n 与12,.,n是 n 维线性空间 V 的两个基，由12,.,n 到12,.,n的过渡矩阵是 C，列向量 X 是 V 中向量在基12,.,n 下的坐标，则在基12,.,n下 的坐标是1C X 3、设 A、B 是 n 维线性空间 V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则 A 与 B 的关系是 相似关系 4、设 3 阶方阵 A 的 3 个行列式因子分别为：21,1,则其特征矩阵EA的标准形是10000001 5、线性方程组AX
7、B的最小二乘解所满足的线性方程组是：A AXA B 二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）2、（A）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。2、（D）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B）的核是 V 的充要条件是是满射；（C）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D）的值域是 V 的充要条件是是满射
8、。3、（B）矩阵 A可逆的充要条件是：0;A AB A是一个非零常数；C A是满秩的；D A是方阵。4、（C）设实二次型fX AX（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122.nnyyy，则其中的12,.n 是：1;AB全是正数；C是 A 的所有特征值；D不确定。5、（A）设 3 阶实对称矩阵 A 有三重特征根“2”，则 A 的若当 标准形是：200200200020;120;120;002002012ABC D以上各情形皆有可能。三、是非题（每小题 2 分，共 10 分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“”，否则打“”）1、（）设 V1，V2均是 n 维线性空间 V的子空间，且120V
9、V 则12VVV。2、（）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。3、（）同阶方阵 A 与 B 相似的充要条件是EA与EB 等价。4、（）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。四、解答题（每小题 10 分，共 30 分）1、在线性空间4P中，定义线性变换：4,a b c da b a c b da b c dP（1）求该线性变换在自然基：121,0,0,0,0,1,0,0 340,0,1,0,0,0,0,1下的矩阵 A；（2）求矩阵 A 的所有特征值和特征向量。解：（1）线性变换在自然基下的矩阵是100
10、0010010100101A（5 分）（2）因为41EA 所以矩阵 A 的所有特征值是12341 解齐次线性方程组 0EA X 得矩阵 A 的所有特征向量：120,0,1,00,0,0,1kk，其中12,k k不全为零。（5 分）2、（1）求线性空间 3P x中从基 2:1,1,1Ixx到基 2:1,1,1IIxx的过渡矩阵；（2）求线性空间 3P x中向量 21 23f xxx 在基 2:1,1,1Ixx下的坐标。解：（1）因为 221111,1,11,012001xxx x 221111,1,11,012001xxx x 所以 1221111111,1,11,1,1012012001001
11、xxxx 21111111,1,1012012001001xx 即所求的过渡矩阵为124014001 （5 分）21241,1,1014001xx（2）因为 221111,1,1,1012001x xxx 故 2211 231,23f xxxx x 2211111,1,10122241310013xxxx 所以 f x在基 2:1,1,1Ixx下的坐标是：243 （5 分）3、在 R2中，1212,a ab b，规定二元函数：1 11 22 12 2,4ababa ba b （3）证明：这是 R2的一个内积。（4）求 R2的一个标准正交基。（1）证明：1 11 22 12 2,4ababa b
12、a b 112211,14ba ab 因为1114是正定矩阵，所以这个二元函数是 R2的一个内积。（5 分）（2）解：考察自然基121,0,0,1 它的度量矩阵正是1114 令：111,0,212122121211111,11,1,1 再令：1112212111,1,13 则12,是 R2的一个标准正交基。（5 分）（2）解法二：考察自然基121,0,0,1 它的度量矩阵正是1114 2212121310111010101014 01031101131313rrrccc 令：1212113,013 即：112131,1 则12,的度量矩阵是 E，从而是 R2的一个标准正交基。五、证明题（每小题
13、 10 分，共 30 分）2、设 P3的两个子空间分别为：11231232123123,0,0Wx x xxxxWx x xxxx 证明：（1）312PWW；（2）12WW不是直和。证明：（1）W1的一个基是：121,1,0,1,0,1 W2的一个基是：121,1,0,1,0,1 因为121212,WWL 其中121,是12WW的生成元的一个极大无关组 从而是12WW的一个基，所以31212dim3WWPWW （5 分）（2）因1212dim2,dim2,dim3WWWW 即121dimdimdimWWWW 所以12WW不是直和。（5 分）（2）之证法二：因为120,1,10WWL 所以12W
14、W不是直和。2、设是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，证明12,.,rWL 是的不变子空间的兖要条件是1,2,.,iWir 证明：（充分性）设有1,2,.,iWir 1122.rrkkkW 1122.rrkkkW 12,.,rWL 是。（5 分）（必要性）设12,.,rWL 是，由,1,2,.,1,2,.,iiWirWir （5 分）3、已知AE是 n 级正定矩阵，证明：（1）A 是正定矩阵；（2）23nAE 证明：（1）设 A 的特征值为12,.,n 因为AE是正定矩阵，故其特征值10,1,2,.,iin 于是 A 的特征值1,1,2,.,iin 所以 A 是正定矩阵。（5 分）（2）因为 A 的特征值1,1,2,.,iin 所以 A+2E 的特征值23,1,2,.,iin 1223nniiAE （5 分）