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1、【第 11 讲】一元二次不等式的解法【基础知识回顾】知识点 1 一元二次不等式 形如20(0)(0)axbxca或其中的不等式称为关于x的一元二次不等式 知识点 2 “三个二次”之间的关系 设00022acbxaxcbxax或相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：0 0 0 二次函数 cbxaxy2（0a）的图象 cbxaxy2 cbxaxy2 cbxaxy2 的根002acbxax 有两相异实根)(,2121xxxx 有两相等实根 abxx221 无实根 的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2 R 的解
2、集)0(02acbxax 21xxxx 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1)化二次项系数为正；(2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,x x那么“0”型的解为12xxxx或(俗称两根之外)；“0”型的解为12xxx(俗称两根之间)；(3)否则，对二次三项式进行配方，变成2224()24bacbaxbxca xaa，结合完全平方式为非负数的性质求解【合作探究】探究一 因式分解后分类讨论解一元二次不等式【例 1-1】解不等式260 xx 归纳总结：【练习 1-1】解下列不等式（1）2320 xx （2）2654xx （3）2320 x
3、x（4）2210 xx 【例 1-2】解下列不等式：(1)2120 xx (2)240 xx【练习 1-2】解下列不等式（1）24410 xx；（2）2530 xx【例 1-3】不等式221200 xaxaa的解是_【练习 1-3】若01a，则不等式10axxa的解是_ 探究二 利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式【例 2-1】解下列不等式：(1)2280 xx (2)2440 xx(3)220 xx（4）260 xx 归纳总结：【例 2-2】已知不等式210axbx 的解为1123x，求a和b的值，并解不等式250bxxa【练习 2-1】设一元二次不等式210axbx 的解为113x，
4、则ab的值是（）A6 B5 C6 D5 探究三 恒成立问题【例 3】已知对于任意实数x，22kxxk恒为正数，求实数k的取值范围 归纳总结：【练习 3】已知对于任意实数x，226kxx恒为正数，求实数k的取值范围 【课后作业】1解下列不等式：（1）02732 xx （2）0262xx（3）01442 xx （4）0532 xx 2不等式1 20 xx的解是_ 3不等式2230 xx的解是_ 4不等式2560 xx的解是_ 5若代数式262 xx的值恒取非负实数，则实数 x 的取值范围是 6已知不等式21680kxx 的解是425xx 或，则k _ 7已知不等式20 xpxq的解集是32xx，则
5、pq_ 8不等式20axbxc的解集为23x，则20axbxc的解是_ 9已知一元二次方程240 xxk，求下列各条件下，实数k的取值范围（1）方程有两个正根；（2）方程有一正一负两个根；（3）有两个大于 1 的根 10解不等式（1）01692 xx （2）21()10(0,)xaaaa 为实数 11.解关于x的不等式：220()xxaa为实数 【第 11 讲】一元二次不等式的解法【基础知识回顾】知识点 1 一元二次不等式 形如20(0)(0)axbxca或其中的不等式称为关于x的一元二次不等式 知识点 2 “三个二次”之间的关系 设00022acbxaxcbxax或相应的一元二次方程002a
6、cbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：0 0 0 二次函数 cbxaxy2（0a）的图象 cbxaxy2 cbxaxy2 cbxaxy2 的根002acbxax 有两相异实根)(,2121xxxx 有两相等实根 abxx221 无实根 的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2 R 的解集)0(02acbxax 21xxxx 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1)化二次项系数为正；(2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,x x那么“0”型的解为12xxxx或(俗称两根之外)
7、；“0”型的解为12xxx(俗称两根之间)；(3)否则，对二次三项式进行配方，变成2224()24bacbaxbxca xaa，结合完全平方式为非负数的性质求解【合作探究】探究一 因式分解后分类讨论解一元二次不等式【例 1-1】解不等式260 xx【解析】：原不等式可以化为：(3)(2)0 xx，于是：3020 xx或3020 xx333222xxxxxx 或或 所以，原不等式的解集是|32x xx 或 归纳总结：当把一元二次不等式化为20(0)axbxc或的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法【练习 1-1】解下列不等式（1）2320 xx （2）2654xx （3）2
8、320 xx（4）2210 xx 【解析】：(1)不等式可化为(1)(2)0 xx，不等式的解集是|12xx；(2)不等式可化为(21)(34)0 xx，不等式的解集是41|32xx；(3)不 等 式 可 化 为2230 xx，即(1)(3)0 xx，不 等 式 的 解 集 是|13xx；（4）不等式可化为(21)(1)0 xx 不等式的解是112|x xx 或【例 1-2】解下列不等式：(1)2120 xx (2)240 xx【分析】：要先将不等式化为20(0)axbxc或的形式，通常使二次项系数为正数【解析】：(1)原不等式可化为：2120 xx，即(3)(4)0 xx 于是：303034
9、4040 xxxxx 或，所 以 原 不 等 式 的 解 是34x (2)原不等式可化为：240 xx，即240(4)0 xxx x 于是：00044040 xxxxxx或或 所以原不等式的解是04xx或【练习 1-2】解下列不等式（1）24410 xx；（2）2530 xx【解析】：(1)不等式可化为2(21)0 x，不等式的解集是1|2x x；（2）2530 xx的根为5132x，不等式的解集是513513|22xx；【例 1-3】不等式221200 xaxaa的解是_【答案】：|43 xaxa 【练习 1-3】若01a，则不等式10axxa的解是_【答案】：1|x axa 探究二 利用“
10、三个二次”之间的关系解一元二次不等式【例 2-1】解下列不等式：(1)2280 xx (2)2440 xx(3)220 xx（4）260 xx【解析】：(1)不等式可化为(2)(4)0 xx 不等式的解集是|24xx (2)不等式可化为2(2)0 x 不等式的解集是2 (3)不等式可化为217()024x，所以无解（4）不等式可化为(2)(3)0 xx 不等式的解集是|23x xx 或 归纳总结：若1x，2x是一元二次方程的两个根，且12xx，则有：（1）1212()()0 xxxxxxx （2）121()()0 xxxxxx或2xx【例 2-2】已知不等式210axbx 的解为1123x，求
11、a和b的值，并解不等式250bxxa【解析】：依题意，12和13是方程210axbx 的两根，方法 1：由韦达定理，1123ba，11123a，解得6a ，=1b 方法 2：直接代入方程得，2211()()102211()()1033abab ，解得6a ，=1b 不等式250bxxa为2560 xx，解得1x 或6x 不等式250bxxa的解集为|16x xx 或【练习 2-1】设一元二次不等式210axbx 的解为113x，则ab的值是（）A6 B5 C6 D5【答案】：C 探究三 恒成立问题【例 3】已知对于任意实数x，22kxxk恒为正数，求实数k的取值范围【解析】：显然0k 时，不合
12、题意，于是：222000111(2)4010kkkkkkkk 或 归纳总结：【练习 3】已知对于任意实数x，226kxx恒为正数，求实数k的取值范围【解析】：显然0k 时，22626kxxx 不恒为正数，不合题意，于是：2016(2)460kkk 【课后作业】1解下列不等式：（1）02732 xx （2）0262xx（3）01442 xx （4）0532 xx 2不等式1 20 xx的解是_ 3不等式2230 xx的解是_ 4不等式2560 xx的解是_ 5若代数式262 xx的值恒取非负实数，则实数 x 的取值范围是 6已知不等式21680kxx 的解是425xx 或，则k _ 7已知不等式
13、20 xpxq的解集是32xx，则pq_ 8不等式20axbxc的解集为23x，则20axbxc的解是_ 9已知一元二次方程240 xxk，求下列各条件下，实数k的取值范围（1）方程有两个正根；（2）方程有一正一负两个根；（3）有两个大于 1 的根 10解不等式（1）01692 xx （2）21()10(0,)xaaaa 为实数 11.解关于x的不等式：220()xxaa为实数 【参考答案】1（1）123x；（2）1223xx 或；（3）无解；（4）全体数 212x 33x 或1x 423x 51223xx 或 64 75 832x 9（1）04x （2）0 x （3）34x 10（1）31xx（2）原不等式可变为：1()()0 xa xa，（1）当1a或01a时，axax1；（2）当1a时，无解；（3）当10 a或1a时，axax1 11.【解析】：原不等式对应的一元二次方程为：220 xxa，44a，当1a 时，440a，原不等式无解；当1a 时，对应一元二次方程的两个解为：11xa ，所以220 xxa的解为：1111axa 综上所述，1a 时，原不等式无解；当1a 时，原不等式的解为：|1111xaxa