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1、求数列通项公式的常用方法 摘要：高中数学的学习，由于时间紧，任务重，因此，在学习中，我们要帮助学生构建知识体系，梳理基础知识，要注重培养学生知识结构的整体性和综合性，帮助学生总结规律，并加以灵活的运用。关键词：数列；通项公式；灵活运用 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结了以下九种求数列通项公式的常用方法：1、观察法 2、定义法 3、公式法 4、累加法 5、累乘法 6、迭代法 7、化归法 8、分 n 奇偶讨论法 9、待定系数法（构造法）一、观察法 观察各项的特点，观察数列中各项与其序号
2、间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式,关键是找出各项与项数n 的关系.例 1、根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：|（1）9，99，999，9999，二、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目 例 2、设等差数列an满足 a3=5,a10=-9,求数列an的通项公式 解：例 3 等差数列是递增数列，前 n 项和为，且成等比数列，求annS931a,a,a 255aS 54,43,32,21)2(101nna 1(1)1nnnan n211a,9a,2d9d9a
3、,5d2a,9a,5ad)1n(aan1111031n得及由数列的通项公式%解：设数列公差为 成等比数列，即，得 ，由得：，点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。三、公式法 若已知数列的 前项 和与的关系，求数 列的通项可用 公 式求解,要注意对 n 分类讨论，但若能合写时一定要合并.例 4已知数列的前项和满足，求数列通项公式 解：由 当时，有？，anan)0d(d931a,a,a 9123aaa)d8a(a)d2a(1121dad120d da1255Sa211)d4a(d245a553a153d n5353)1n(53annnSna nana
4、211nSSnSannnn nannS1,)1(2naSnnn na.1,121111aaSa得2n,)1(2)(211nnnnnnaaSSa1122(1),nnnaa,)1(22221nnnaa.2212 aa11221122(1)2(1)2(1)nnnnnaa .)1(2 323)2(1 2)1(2)2()2()2()1(21211211nnnnnnnnn经验证也满足上式，所以 四、累加法 求形如 an-an-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令 n=2，3，n1 得到 n1 个式子累加求得通项。例 5、已知数列an中，a1=1，对任意自然
5、数 n 都有，求 解：由已知得，以上式子累加，利用得，？点评：累加法是反复利用递推关系得到 n1 个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前 n1 项的和，要注意求和的技巧 五、累乘法 对形如的数列的通项，可用累乘法，即令 n=2，3，n1 得到 n1个式子累乘求得通项。例 6已知数列中，前项和与关系是，求通项公式.解：由得 两式相减得：，将上面 n1 个等式相乘得：1a12122(1)3nnna 11(1)nnaan nna11(1)nnaan n121(1)nnaann3213 4aa2112 3aa111(1)1n nnnna1a1111.2 3(2)(1)(1)(1)nnnn
6、 nn 1121n3121nan1()nnaf na na311annSnannannS)12(nnannS)12(11(1)(23)nnSnna1(21)(23),nnnana12321nnanan1221251,215nnaanana？点评：累乘法是反复利用递推关系得到 n1 个式子累乘求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前 n1 项的积，要注意求积的技巧 六、迭代法 求形如(其中为常数)的数列通项，反复利用递推关系迭代求出。例 7、已知数列an满足 a1=1，且 an+1=+1，求 解：an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=33an-2+31+1=(3n-1)a1+(3n-
7、2)1+(3n-3)1+31+1=点评：运用迭代法解题时，一般数据繁多，迭代时要小心计算，应避免计算错误，导致走进死胡同 七、化归法 想方设法将非常规问题化为我们熟悉的数列问题来求通项公式的方法即为化归法同时，这也是我们在解决任何数学问题所必须具备的一种思想。例 8已知数列满足求 an 解：当|两边同除以，即成立，首项为 5，公差为4 的等差数列 1(23)(25)(27)3 1(21)(21)(23)7 5nannnannn3(21)(21)nn1.(21(21)nann1nnaqad,q d3nana312nna11,5a 11211,*,.1 2nnnnaannaaN且当时 有11212
8、,12nnnnaanaa时 由1140nnnnaaaa得411,11nnnnaaaa得*14111Nnnaann且对1na是以.141,14)1(111nandnaann所以点评：本题借助为等差数列得到了的通项公式，是典型的化归法常用的化归还有取对数化归，待定系数化归等，一般化归为等比数列或等差数列的问题，是高考中的常见方法 八、分 n 奇偶讨论法 在有些数列问题中，有时要对n 的奇偶性进行分类讨论以方便问题的处理。例 9已知数列an中，a1=1 且n1nn)41(2aa，求数列an的通项公式 解：由n1nn)41(2aa ,1n2n1n)41(2aa，两式相除，得=则 a1,a3,a5,a2
9、n-1，和 a2,a4,a6,a2n，都是公比为的等比数列，又 a1=1,a2=，则：（1）当 n 为奇数时，；（2）当 n 为偶数时，：综合得 点评：对 n 的奇偶性进行分类讨论的另一种情形是题目中含有时，分 n 为奇偶即可自然引出讨论分类讨论相当于增加条件,变不定为确定注意最后能合写时一定要合并。九、待定系数法（构造法）求递推式如（p、q 为常数）的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟知的数列求解，相当于换元法。例 10已知数列an满足 a1=1，且 an+1=3an+2，求 an 解：设，则，为等比数列，故：1na na2nnaa141412112211()44nnna 212211()
10、424nnna124nna(1)n1nnapaq13()nnatat 132nnaat113(1)nnaa 1na1111(1)32 3nnnaa 12 31nna点评：求递推式形如（p、q 为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列 an+1+=p(an+)来求得。例 11已知数列满足求 an 解：将两边同除，得，变形为#设，则,令，得条件可化成，数列为首项，为公差的等比数列 ,=点评：递推式为（p、q 为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q 为常数）型。1nnapaq1qp1qpna111,32(2).nnnaaan132nnnaa3n12133nnnnaa 112133 3nnnnaa 3nnnab 1213nnbb 12(),3nnbtbt 即12133nnbbt3t 123(3)3nnbb1833333nab 1是以b231823()33nnb 3nnnab 3nnnab1823()3)33nn1232nn11nnnapaq1nq111nnnnaapqq qnnnabq1nnapaq