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1、第二章测试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.给出下列语句:桌面就是一个平面；一个平面长 3 m，宽 2 m;平面内有无数个点，平面可以看成点的集合;空间图形是由空间的点，线，面所构成的.其中正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是（）A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4 3.空间四边形 ABCD（如右图）中，若 ADBC，BDAD，则有（）A.平面 ABC平面 ADC B.平面 ABC平面 ADB C.平面 ABC平面 DB
2、C D.平面 ADC平面 DBC 4.若 ab，a，b，则（）A.B.b C.D.a 5.在空间四边形 ABCD（如右下图）各边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点，如果 EF 与 GH 相交于点 P，那么（）A.点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上 C.点 P 必在平面 DBC 内 D.点 P 必在平面 ABC外 6.下面四个命题：若直线 a 与 b 异面，b 与 c 异面，则 a 与 c 异面；若直线 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；若直线 ab，bc，则 abc；若直线 ab，则 a，b 与直线 c 所成的角相等.其中真命题的个数是（）
3、A4 B3 C2 D1 7.在正方体中（如右下图），与平面所成的角的大小是（）A 90 B 60 C 45 D 30 8.如下图，设四面体各棱长均相等，分别为AC、AD 中点，则在该四面体的面上的射影是下图中的（）9.如图，平行四边形 ABCD 中，ABBD，沿 BD 将ABD 折起，使面 ABD面 BCD，连接 AC，则在四面体 ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 10.异面直线 a 与 b 分别在平面，内，与 交于直线 l，则直线 l 与 a，b 的位置关BA1DDBB11ABCDFE、BEFABCA B C D E F A D C B 系一定是
4、（）A.l至少与 a，b 中的一条相交 B.l至多与 a，b 中的一条相交 C.l至少与 a，b 中的一条平行 D.l与 a，b 都相交 11.在如下图所示的四个正方体中，能得出 ABCD 的是（）12.三棱锥 P-ABC 的所有棱长都相等，D、E、F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（）A.BC平面 PDF B.DF平面 PAE C.平面 PDF平面 ABC D.平面 PAE平面 ABC 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上）13已知两条相交直线，平面，则与的位置关系是 14.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平
5、面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由过顶点的平面和直线构成的“正交线面对”的个数是 _.abab15如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下四个命题:与平行；与是异面直线；与成 60；与垂直.其中正确的有 （写出所有正确命题的序号）.16已知平面和直线，给出条件：；（1）当满足条件 时，有；（2）当满足条件 时，有 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10 分）如图所示，将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成二面角 A-BD-C，使 AC=a，求证：平面 ABD平面 CBD.18.如图，在正方体中，
6、、分别是、的中点.求证：平面平面.19.（12 分）多面体 P-ABCD 的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E、F、G 分别为 PC、PD、BC 的中点.（1）求证：PA平面 EFG；BMEDCNBECNBMCNAF,m/mmm/mm1111ABCDA BC DEFGABAD11C D1D EFBDGF E A C B D N M（2）求三棱锥 P-EFG 的体积.20（12 分）如右图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，是的中点，作交于点（1）证明平面；（2）证明平面 21（12 分）如下图所示，正方形和矩形所在平面相互垂直，是的中点（1）求证：
7、；（2）若直线与平面成 45o角，求异面直线与所成角的余弦值 ABCDPABCDPDABCDDCPD EPCPBEF PBF/PAEDBPBDEFABCDADEFGAFACED BEABCDGEACP A B C D E F 22.（14 分）.在几何体中，平面，平面，（1）设平面与平面的交线为直线，求证：平面；（2）在棱上是否存在一点使得平面平面 参考答案 一、选择题 1.选 B.平面是不能定义的原始概念，具有无限延展性，无长度、厚度之分，空间中的点构成线、线构成面，所以四种说法中不正确.2.选 D.当四点共面时，可形成平面四边形，确定一个平面.当四点不在同一平面内时，连接四点可形成四面体，
8、可确定 4 个平面.3.选 D.ADBC，ADBD，AD面 BCD，又 AD平面 ADC，面 ADC面 BCD.ABCDE2BACDCABCEBABCACAB 2 BE1CDABEACDllBCDEBCFAFDAFE 4.选 C.ab，a，b，ab，b，在 内有与 b 平行的直线，设为 c，又b，c，又c，.5.选 A.EFGH=P，PEF，又EF面 ABC，P面 ABC，同理 PGH，P面 ACD，P 在面 ABC 与面 ACD 的交线 AC 上.6.选 C.中 a 与 c 可能异面、相交或平行；中 a 与 c 可能异面、相交或平行；是平行公理；显然正确.故正确.7.选 D.如图，A1在平面
9、 BB1D1D 上的射影为 B1D1的中点 O1，设正方体棱长为 1，则A1B=，A1O1=，所以 sinA1BO1=，因此与平面所成的角A1BO1=30.8.选 B.如图，因为点 D 在平面 ABC 上的射影为正三角形 ABC 的中心 O，因此点 F 的射影为 AO 的中点 F，因此在该四面体的面上的射影是图 B.9.选 C.折叠后，平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD=BD，ABBD，AB平面 ABD，AB平面 BCD，AB平面 ABC，平面 ABC平面 BCD，ABBC，同理 CDBD，CD平面 BCD，CD平面 ABD，又CD平面 ACD，平面 ACD平面 ABD，互相垂
10、直的平面有：平面 ABD平面 BCD，平面 ABC平面 BCD，平面 ACD平面 ABD 共 3 对.10.选 A.若 a，b 与l都不相交，a，l共面，b，l共面，al，bl，ab 与 a，b 异面矛盾，a，b 都与l不相交不可能，故 A 正确.11.选 A.A 中，CD平面 AMB，CDAB;B 中，AB 与 CD 成 60角;C 中，AB 与CD 成 45角;D 中，AB 与 CD 成角的正切值为2.22212BA1DDBB11BEFABC12.选 C.BCDF，BC平面 PDF，A 正确；BCPE，BCAE，BC平面PAE.又DFBC，DF平面 PAE，B 正确；BC平面 PAE，BC
11、平面 ABC，平面PAE平面 ABC，D 正确.二、填空题 13因为直线与平面 没有公共点，因此直线 b 不会在平面 内，即直线 b 在平面 外，所以直线 b 与平面 可能平行，可能相交.答案：相交或平行.14.正方体的一条棱对应着 2 个“正交线面对”，12 条棱共对应着 24 个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着 1 个“正交线面对”，12 条面对角线对应着 12 个“正交线面对”，共有 36 个.答案：36 15如图，作出正方体原图，容易在图形中得出，是错误的；因为 CNBE，所以与所成角即为EBM=60，而 AFBE，所以 AFCN.答案：16（1）在所给条件中，是互斥的条件，
12、即一个成立，另两个肯定不成立；也是互斥的条件.当具备条件时，成立；当具备条件时，.答案：（1）；（2）.三、解答题 17.【证明】设原正方形的对角线 AC 和 BD 交于点 O，则折叠后仍有 AOBD，COBD，AOC 是二面角 A-BD-C 的平面角.AC=a，AO=CO=22a，AC2=a2=AO2+CO2，AOC=90，二面角 A-BD-C 是直二面角，即平面 ABD平面 CBD.18.【证明】、分别是、的中点，又平面，平面，平面，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面.又CNBM/mmEFABADEFBDEF BDGBD BDGEFBDG1DGEB1DGBE1D EGB1D E BDG
13、GB BDG1D EBDG，平面平面.19.【证明】（1）方法一：如图，取 AD 的中点 H，连接 GH，FH.E、F 分别为 PC、PD 的中点，EFCD.G、H 分别为 BC、AD 的中点，GHCD，EFGH，E、F、H、G 四点共面.F、H 分别为 DP、DA 的中点，PAFH.PA 平面 EFG，FH 平面 EFG，PA平面EFG.方法二：E、F、G 分别为 PC、PD、BC 的中点.EFCD，EGPB.CDAB，EFAB.PBAB=B，EFEG=E，平面 EFG平面 PAB.PA平面 PAB，PA平面 EFG.（2）由三视图可知，PD平面 ABCD，又GC平面 ABCD，GCPD.四
14、边形ABCD为正方形，GCCD.PDCD=D，GC平面PCD.PF=12PD=1，EF=12CD=1，SPEF=12EFPF=12.GC=12BC=1，VP-EFG=VG-PEF=13SPEFGC=13121=16.20【证明】（1）连接 AC，AC 交 BD 于 O，连接EO 底面 ABCD 是正方形，点 O 是 AC 的中点 在中，EO 是中位线，PA/EO 而平面 EDB 且平面 EDB，1EFD EE1D EFBDGPACEOPAP A B C D E F PA/平面 EDB （2）PD底面 ABCD 且底面 ABCD，PD=DC，可知是等腰直角三角形，而 DE 是斜边 PC 的中线，
15、同理：由 PD底面 ABCD，得 PDBC 底面 ABCD 是正方形，有 DCBC，BC平面 PDC，而平面 PDC，由和推得平面 PBC而平面 PBC，又且，PB平面 EFD 21【证明】（1）在矩形中，平面平面，且平面平面，.（2）由（1）知：，是直线与平面所成的角，即.设，取，连接，是的中点，是异面直线与所成角或其补角.连接交于点，DCDCPD PDCPCDE DEDEBC DEPBPBDE PBEF EEFDEADEFADED ADEFABCDADEFABCDADABCDED平面ACED ABCDED平面EDBBEABCDEDB 45aBDDEaAB2,则MDE中点AMGAFGEAM/
16、MACGEACBDACO，的中点，.异面直线与所成角的余弦值为 22.【证明】（1）CD平面 ABC，BE平面 ABC，CD/BE，CD/平面 ABE，又 l=平面 ACD平面 ABE，CD/l，又平面 BCDE，CD平面 BCDE，l/平面 BCDE（2）存在，F 是 BC 的中点，下加以证明：CD平面 ABC，CDAF.AB=AC，F 是 BC 的中点，是面和面所成二面角的平面角.在中，FD=，FDFE ，即，平面 AFD平面 AFE.aaaCMAM26)22(22ACO是ACMO 332622cosaaAMAOMACGEAC33lBCAF BCDEAF平面EFAFDFAF,DFEAFDAFEDEF3,6,3DEFE90DFE