《【新高考数学专用】专题08公式法求等差等比数列和(原卷版+解析版)-2022年难点解题方法突破.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【新高考数学专用】专题08公式法求等差等比数列和(原卷版+解析版)-2022年难点解题方法突破.pdf（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 专题 08 公式法求等差等比数列和 一、单选题 1已知等差数列 na，其前n项的和为nS，3456720aaaaa，则9S（）A24 B36 C48 D64 2 已知等比数列 na的前n项和为nS，若213aa，且数列13nSa也为等比数列，则na的表达式为（）A12nna B112nna C23nna D123nna 3已知数列 na的前 n项和221nSnn，则13525aaaa（）A350 B351 C674 D675 4等差数列 na的首项为1，公差不为0若2a、3a、6a成等比数列，则 na的前6项的和为（）A24 B3 C3 D8 5等差数列 na中，12318192024,78
2、aaaaaa，则此数列的前20项和等于（）A160 B180 C200 D220 6为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期 15 天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这 15天小李同学总共跑的路程为（）A34000米 B36000米 C38000米 D40000米 7中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（）A80里 B86里 C90里 D96 里 8设等差数列
3、 na的前n项和为nS，且3944aaa，则15S（）A45 B50 C60 D80 9 已知数列 na中，其前n项和为nS，且满足2nnSa，数列 2na的前n项和为nT，若2(1)0nnnST对*nN恒成立，则实数的取值范围是（）A3,B1,3 C93,5 D91,5 10等差数列na的公差为 2，若248,a a a成等比数列，则9S（）A72 B90 C36 D45 11已知数列na的前n项和为nS，且满足212nnnaaa，534aa，则7S（）A7 B12 C14 D21 12等差数列 na中，22a，公差2d，则10S=（）A200 B100 C90 D80 13已知公差不为 0
4、 的等差数列an的前 n项和为 Sn，a12，且 a1，a3，a4成等比数列，则 Sn取最大值时n 的值为（）A4 B5 C4 或 5 D5或 6 14设数列 na是等差数列，若110212aa，127aaa（）A14 B21 C28 D35 15记nS为正项等比数列 na的前n项和，若2415SS，则7S（）.A710S B723S C7623S D71273S 16已知数列na是 1为首项、2为公差的等差数列，nb是 1为首项、2 为公比的等比数列.设nnbca，12(*)nnTcccnN，则当 Tn2013 时，n的最小值是（）A7 B9 C10 D11 17某大学毕业生为自主创业于 2
5、019年 8月初向银行贷款 240000 元，与银行约定按“等额本金还款法”分10 年进行还款，从 2019年 9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为 0.5%，现因经营状况良好准备向银行申请提前还款计划于 2024年 8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（）(注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；1年按12 个月计算)A18000 元 B18300 元 C28300 元 D36300 元 1
6、8已知数列 na的前n项和为nS，11a，22a，2112nnna a，则612SS（）A62 B63 C64 D65 19等比数列 na中，1476aaa，36924aaa.则 na的前 9项之和为（）A18 B42 C45 D18 或 42 20已知函数2()sinf xxx各项均不相等的数列 nx满足|(1,2,3,)2ixin.令*1212()()()()()nnF nxxxf xf xf xnN.给出下列三个命题：（1）存在不少于 3项的数列,nx使得()0F n；（2）若数列 nx的通项公式为*1()()2nnxnN，则(2)0Fk 对kN恒成立；（3）若数列 nx是等差数列，则(
7、)0F n 对nN恒成立，其中真命题的序号是（）A（1）（2）B（1）（3）C（2）（3）D（1）（2）（3）二、多选题 21已知正项等比数列 na的前n项和为nS，若31a，135111214aaa，则（）A na必是递减数列 B5314S C公比4q 或14 D14a 或14 22记nS为等差数列na的前 n项和.已知450,5Sa，则（）A25nan B310nan C228nSnn D24nSnn 23已知数列,nnab均为递增数列，na的前 n 项和为,nnSb的前 n项和为,nT且满足*112,2()nnnnnaanbbnN，则下列结论正确的是（）A101a B112b C22nn
8、ST D22nnST 三、填空题 24等差数列 na中，nS为 na的前n项和，若936SS，则1ad_.25二进制数是用 0 和 1两个数码来表示的数，它是现代信息技术中广泛应用的一种数制，它的基数为 2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，它与十进制数可以互相转化，如二进制数 1011（记为 21011）表示的十进制数为32101 2021 21 211 ，即2101111，设各项均为十进制数的数列 na的通项公式为21101010101nna 个，则na _.26设数列 na的前n项和为nS，且21nan，则数列nSn的前 20 项和为_.27在数列na中，若121,(1)2
9、nnnaaa，记nS是数列na的前n项和，则100S_.28位于宁夏青铜峡市的 108 塔建于西夏时期，塔的排列顺序自上而下，第一层 1座，第二层 3 座，第三层3 座，第四层 5 座，第五层 5座，从第五层开始塔的数目构成一个首项为 5，公差为 2 的等差数列，则该塔共有_层.29已知数列 na是等差数列，nS是其前 n项和若2580a aa，927S，则nS的最小值是_ 30已知数列 na满足21,1log3,2,nnnannnN，定义使123ka aaakN为整数的k叫做“幸福数”，则区间1,2020内所有“幸福数”的和为_ 四、解答题 31数列 na中，11a，22a，数列1nnaa是
10、公比为(0)q q 的等比数列.（1）求使11223()nnnnnna aaaaanN成立的q的取值范围；（2）若212()nnnbaanN，求nb的表达式；（3）若12nnSbbb，求1limnnS.32设数列 na的前n项和为nS，且24nnnSan.（1）证明：nan是等比数列；（2）令nnnba，证明：1223111123nnbbbbbb.33已知数列 na的前 n 项和为nS且满足21nnSa （1）求 na的通项公式；（2）记12111nnTSSS，求证：131142nnT 34设数列 na的前n项和为nS，对任意的*nN满足21nnnSaa且0na.（1）求数列 na的通项公式；
11、（2）设1,3 21,nnnaancn为奇数为偶数，求数列 nc的前 n项和nT.35已知正项等比数列na的前n项和为nS，且满足22Sa是12a和4a的等差中项，12a.（1）求数列na的通项公式；（2）令222lognnnbaa，求数列 nb的前n项和nT.专题 08 公式法求等差等比数列和 一、单选题 1已知等差数列 na，其前n项的和为nS，3456720aaaaa，则9S（）A24 B36 C48 D64【答案】B【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S的值.【详解】由等差数列的性质，可得345675520aaaaaa，则54a 19592993622aaaS 故选：B 2
12、已知等比数列 na的前n项和为nS，若213aa，且数列13nSa也为等比数列，则na的表达式为（）A12nna B112nna C23nna D123nna【答案】D【分析】设等比数列 na的公比为q，当1q 时，111133(3)nSanaana，该式可以为 0，不是等比数列，当1q 时，11113311nnaaSaqaqq，若是等比数列,则11301aaq，可得23q，利用213aa，可以求得1a的值，进而可得na的表达式【详解】设等比数列 na的公比为q 当1q 时，1nSna，所以111133(3)nSanaana，当3n 时，上式为 0，所以13nSa不是等比数列.当1q 时，11
13、11111nnnaqaaqSqqq，所以11113311nnaaSaqaqq，要使数列13nSa为等比数列，则需11301aaq，解得23q.213aa，2123a，故21111222333nnnnaa q.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前n项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若11113311nnaaSaqaqq 是等比数列，则11301aaq，即可求得q的值，通项即可求出.3已知数列 na的前 n项和221nSnn，则13525aaaa（）A350 B351 C674 D675【答案】A【分析】先利用公式11,1,2nnnS naSSn求出数列 na的通项
14、公式，再利用通项公式求出13525aaaa的值.【详解】当1n 时，21112 1 12aS ；当2n 时，22121121121nnnaSSnnnnn.12a 不适合上式，2,121,2nnann.因此，3251352512127512235022aaaaaa；故选：A.【点睛】易错点睛：利用前n项和nS求通项na，一般利用公式11,1,2nnnS naSSn，但需要验证1a是否满足2nan.4等差数列 na的首项为1，公差不为0若2a、3a、6a成等比数列，则 na的前6项的和为（）A24 B3 C3 D8【答案】A【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d，由此求得 na的前6项
15、的和.【详解】设等差数列 na的公差为d，由2a、3a、6a成等比数列可得2326aa a，即2(12)(1)(15)ddd，整理可得220dd，又公差不为 0，则2d ，故 na前6项的和为616(6 1)6(6 1)66 1(2)2422Sad .故选：A 5等差数列 na中，12318192024,78aaaaaa，则此数列的前20项和等于（）A160 B180 C200 D220【答案】B【分析】把已知的两式相加得到12018aa，再求20S得解.【详解】由题得120219318()()()247854aaaaaa，所以1201203()54,18aaaa.所以2012020()10
16、181802Saa.故选：B 6为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期 15 天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这 15天小李同学总共跑的路程为（）A34000米 B36000米 C38000米 D40000米【答案】B【分析】利用等差数列性质得到21200a，143600a，再利用等差数列求和公式得到答案.【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为na，则123233600aaaa，故21200a，13141514310800aaaa，故143600a，则115
17、2141115153600022nSaaaa.故选：B.7中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（）A80里 B86里 C90里 D96 里【答案】D【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列na、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出1a，由等比数列的通项公式求出答案即可【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得6111()2378112a，解得1192a，此人第二天走1192962里，第二天走了 96 里，故选：D 8设
18、等差数列 na的前n项和为nS，且3944aaa，则15S（）A45 B50 C60 D80【答案】C【分析】利用等差数列性质当mnpq 时mnpqaaaa及前n项和公式得解【详解】na是等差数列，3944aaa，4844aaa，84a 1158158()15215156022aaaSa 故选：C【点睛】本题考查等差数列性质及前n项和公式，属于基础题 9 已知数列 na中，其前n项和为nS，且满足2nnSa，数列 2na的前n项和为nT，若2(1)0nnnST对*nN恒成立，则实数的取值范围是（）A3,B1,3 C93,5 D91,5【答案】D【分析】由2nnSa利用11,1,2nnnS na
19、SSn，得到数列 na是以 1为首项，12为公比的等比数列，进而得到 2na是以 1 为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前 n项和公式得到nS，nT，将2(1)0nnnST恒成立，转化为3 21(1)210nnn对*nN恒成立，再分n为偶数和n为奇数讨论求解.【详解】当1n 时，112Sa，得11a；当2n 时，由2nnSa，得112nnSa，两式相减得112nnaa，所以数列 na是以 1 为首项，12为公比的等比数列.因为112nnaa，所以22114nnaa.又211a，所以 2na是以 1 为首项，14为公比的等比数列，所以11122 11212nnnS，11414113414
20、nnnT，由2(1)0nnnST，得21414 1(1)10234nnn，所以22113 1(1)1022nnn，所以21113 1(1)110222nnnn.又*nN，所以1102n，所以113 1(1)1022nnn，即3 21(1)210nnn对*nN恒成立，当n为偶数时，3 21210nn，所以3 213 21663212121nnnnn，令6321nnb，则数列 nb是递增数列，所以22693215b；当n为奇数时，3 21210nn，所以3 213 21663212121nnnnn ，所以16332121b，所以1.综上，实数的取值范围是91,5.故选：D.【点睛】方法点睛：数列与
21、不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.10等差数列na的公差为 2，若248,a a a成等比数列，则9S（）A72 B90 C36 D45【答案】B【分析】由题意结合248,a a a成等比数列，有2444(4)(8)aaa即可得4a，进而得到1a、na，即可求9S.【详解】由题意知：244aa，848aa，又248,a a a成等比数列，2444(4)(8)aaa，解之得48a，143862aad，则1(1)2naandn，99(22
22、9)902S，故选：B【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,mknaa a成等比，即2kmnaa a；2、等差数列前 n 项和公式1()2nnn aaS的应用.11已知数列na的前n项和为nS，且满足212nnnaaa，534aa，则7S（）A7 B12 C14 D21【答案】C【分析】判断出 na是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S.【详解】212nnnaaa，211nnnnaaaa，数列na为等差数列.534aa，354aa，173577()7()1422aaaaS.C 12等差数列 na中，22a，公差2d，则10S=（）A
23、200 B100 C90 D80【答案】C【分析】先求得1a，然后求得10S.【详解】依题意120aad，所以101104545 290Sad.故选：C 13已知公差不为 0 的等差数列an的前 n项和为 Sn，a12，且 a1，a3，a4成等比数列，则 Sn取最大值时n 的值为（）A4 B5 C4 或 5 D5或 6【答案】C【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d ，再由等差数列的前 n项和公式即可得解.【详解】设等差数列 na的公差为,0d d，134,a a a成等比数列，2314aa a即2(22)2(23)dd，则12d ，211119812244216nn nn
24、 nSa ndnn，所以当4n 或5时，nS取得最大值.故选：C.14设数列 na是等差数列，若110212aa，127aaa（）A14 B21 C28 D35【答案】C【分析】计算出4a的值，进而利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值.【详解】设等差数列 na的公差为d，则1101112293912aaaadad，4134aad，因此，17412747727742822aaaaaaa.故选：C.15记nS为正项等比数列 na的前n项和，若2415SS，则7S（）.A710S B723S C7623S D71273S 【答案】D【分析】利用等比数列前n项和公式列出方程组，求出首项和公比，由
25、此能求出这个数列的前 7项和【详解】nS为正项等比数列na的前n项和，21S，45S，21410(1)11(1)51qaqqaqq，解得113a，2q，771(12)1273123S 故选：D 16已知数列na是 1为首项、2为公差的等差数列，nb是 1为首项、2 为公比的等比数列.设nnbca，12(*)nnTcccnN，则当 Tn2013 时，n的最小值是（）A7 B9 C10 D11【答案】C【分析】利用等差数列、等比数列的通项公式可得2121nnncb，再利用等比数列的前 n 项和公式求出nT即可求解.【详解】121,2nnnanb，则2121nnncb.12(21)222 1nnnT
26、nn，而2013nT，即1222013nn，代入检验知 n的最小值是 10，故选：C.17某大学毕业生为自主创业于 2019年 8月初向银行贷款 240000 元，与银行约定按“等额本金还款法”分10 年进行还款，从 2019年 9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为 0.5%，现因经营状况良好准备向银行申请提前还款计划于 2024年 8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（）(注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还
27、本金总额的差乘以利率；1年按12 个月计算)A18000 元 B18300 元 C28300 元 D36300 元【答案】B【分析】先求得 2024年 8月还完后剩余本金，然后结合等差数列前n项和公式，求得还款减少的数额.【详解】由题意，可知：该大学毕业生两种还款方式所还的本金最终都是 240000元，两种还款方式的本金没有差额.该大学毕业生决定 2024年 8月初将剩余贷款全部一次还清.从 2019 年 9月初第一次还款到 2024年 8月初这 5整年即 60 个月两种还款方式所还的利息也是一样的.按原约定所有还款数额按现计划的所有还款数额原约定还款方式从 2024年 9月起到最后还完这整
28、60个月所还的利息.每月应还本金：2400001202000(元)2024 年 8 月还完后本金还剩 240000200060120000(元).2024年 9 月应还利息为：1200000.5%，2024年 10月应还利息为：(1200002000)0.5%，2024 年 11月应还利息为：(12000020002)0.5%，最后一次应还利息为：(120000200059)0.5%.后 60 个月所还的利息为：1200000.5%(1200002000)0.5%(12000020002)0.5%(120000200059)0.5%0.5%120000(1200002000)(12000020
29、002)(120000200059)0.5%120000602000(1259)1 590.5%72000002000592 18300(元).故选：B 18已知数列 na的前n项和为nS，11a，22a，2112nnna a，则612SS（）A62 B63 C64 D65【答案】D【分析】由题意可得2224nnaa，21214nnaa，即数列 na的奇数项是以 1为首项，4 为公比的等比数列；偶数项是以2 为首项，4为公比的等比数列再利用等比数列的前n项和公式分组求和可得6S和12S.【详解】由41222122412221242nnnnnnnnaaaaa a，4121221432121224
30、2nnnnnnnnaa aaaa，可知数列 na的奇数项是以 1为首项，4 为公比的等比数列；偶数项是以 2 为首项，4 为公比的等比数列.所以6123456Saaaaaa3312(14)(14)212 21631414aa，661212(14)(14)1 41 4aaS13652 13654095，所以12640956563SS.故选：D【点睛】本题考查了等比数列的定义，考查了等比数列的前n项和公式，属于中档题.19等比数列 na中，1476aaa，36924aaa.则 na的前 9项之和为（）A18 B42 C45 D18 或 42【答案】D【分析】利用等比数列的通项公式求出等比，从而求出
31、25812aaa，进而求出前 9 项之和.【详解】解析设公比为q，则2369147aaaaaaq，即2246q，所以2q ，所以25814712aaaaaaq，所以12942aaa或 18.故选：D 20已知函数2()sinf xxx各项均不相等的数列 nx满足|(1,2,3,)2ixin.令*1212()()()()()nnF nxxxf xf xf xnN.给出下列三个命题：（1）存在不少于 3项的数列,nx使得()0F n；（2）若数列 nx的通项公式为*1()()2nnxnN，则(2)0Fk 对kN恒成立；（3）若数列 nx是等差数列，则()0F n 对nN恒成立，其中真命题的序号是（
32、）A（1）（2）B（1）（3）C（2）（3）D（1）（2）（3）【答案】D【分析】由题意，函数2()sinf xxx是奇函数，只需考查函数在0,2x的性质，此时2yx，sinyx都是增函数，所以2()sinf xxx在0,2x上也是增函数，即120 xx时，1212()()0 xxf xf x，对于（1），132,022xxx，即可判断；对于（2），运用等比数列求和公式和和三角函数的性质，即可判断；对于（3），运用等差数列求和公式，及不等式的性质，结合函数()f x的单调性，即可判断；【详解】由题意得22()()sin()sin()fxxxxxf x ，所以2()sinf xxx是奇函数，只需
33、考查函数在0,2x的性质，此时2yx，sinyx都是增函数，所以2()sinf xxx在0,2x上也是增函数，即函数2()sinf xxx在,2 2x 上也是增函数，设12,2,2x x 若120 xx，则12xx，122f xxf xf，即 120f xf x 若120 xx，则12xx，122f xfxf x，即 120f xf x 所以120 xx时，1212()()0 xxf xf x，对于（1），取132,022xxx，331212(3)()()()Fxxxf xf xf x0，故（1）正确；对于（2），*1()()2nnxnN，1211122111132021nnnxxx 又212
34、(21)212 222sinsi1111()()2222nkkkkkkf xf x 212122221211111sinsin4sinsi114242n422kkkkkkk 令2211122,2kk，则212114sinsin4sin 2si2n2kky 8sincossinsin(18cos)又kN，知104，则1sin0,coscos14，则171 8cos1 8cos4 ，261coscoscoscossinsin1234343448，又cosyx在0,2上单减，1coscos412，即11cos48，11 8cos04 sin(18cos)0，即212114sinsin022kk，则2
35、12()()0kkf xf x，由k的任意性可知，122()()()0kf xf xf x，又1220kxxx，所以122122(2)()()()0kkFkxxxf xf xf x，故（2）正确；对于（3），数列 nx是等差数列，若120nxxx，则()0F n；若10nxx，即1nxx，又()f x是奇函数也是增函数有1()()()nnf xfxf x，可得1()()0nf xf x；同理：若-210nxx，可得2-1()()0nf xf x；若-320nxx，可得3-2()()0nf xf x；相加可得：若210nxxx，可得12()()()0nf xf xf x，即()0F n；同理若2
36、10nxxx，可得12()()()0nf xf xf x，即()0F n，故（3）正确；故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查真假命题的判断，关键是要理解新定义的函数的性质及应用，考查了函数的单调性与奇偶性的问题，考查了等差等比数列的性质与应用，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.二、多选题 21已知正项等比数列 na的前n项和为nS，若31a，135111214aaa，则（）A na必是递减数列 B5314S C公比4q 或14 D14a 或14【答案】BD【分析】设设等比数列 na的公比为q，则0q，由已知得1112114aa，解方程计算即可得答案.【详解】解：设等比数列 na
37、的公比为q，则0q，因为21531a aa，2311aa q，所以51115135151511111112111114aaaaaaaaaaa aa ，解得1412aq或1142.aq，当14a，12q 时，5514 13121412S，数列 na是递减数列；当114a，2q时，5314S，数列 na是递增数列；综上，5314S.故选：BD.【点睛】本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为1112114aa，进而解方程计算.22记nS为等差数列na的前 n项和.已知450,5Sa，则（）A25nan B310nan C22
38、8nSnn D24nSnn【答案】AD【分析】设等差数列na的公差为d，根据已知得1145460adad，进而得13,2ad，故25nan，24nSnn.【详解】解：设等差数列na的公差为d，因为450,5Sa 所以根据等差数列前n项和公式和通项公式得：1145460adad，解方程组得：13,2ad，所以31225nann ，24nSnn.故选：AD.23已知数列,nnab均为递增数列，na的前 n 项和为,nnSb的前 n项和为,nT且满足*112,2()nnnnnaanbbnN，则下列结论正确的是（）A101a B112b C22nnST D22nnST【答案】ABC【分析】利用数列单调
39、性及题干条件，可求出11,a b范围；求出数列,nnab的前 2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案.【详解】因为数列na为递增数列，所以123aaa，所以11222aaa，即11a，又22324aaa，即2122aa，所以10a，即101a，故 A正确；因为 nb为递增数列，所以123bbb，所以211 22bbb，即12b，又222 34bb b，即2122bb，所以11b，即112b，故B正确；na的前 2n项和为21234212()()()nnnSaaaaaa=22(121)213(21)22nnnn，因为12nnnbb，则1122nnnbb，所以22nnbb
40、，则 nb的 2n项和为13212422()()nnnbbbbbbT=1101101122(222)(222)()(21)nnnbbbb 1 22(21)2 2(21)nnbb，当 n=1时，222,2 2ST，所以22TS，故 D错误；当2n 时 假设当 n=k时，22 2(21)2kk，即22(21)kk，则当 n=k+1 时，1122(21)2(221)222(21)22kkkkkkk 2221(1)kkk 所以对于任意*nN，都有22 2(21)2kk，即22nnTS，故 C正确 故选：ABC【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前 n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，
41、得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前 2n项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.三、填空题 24等差数列 na中，nS为 na的前n项和，若936SS，则1ad_.【答案】2【分析】直接利用等差数列求和公式求解即可.【详解】因为9131936633SadSad，所以12ad，所以12ad.故答案为：2.25二进制数是用 0 和 1两个数码来表示的数，它是现代信息技术中广泛应用的一种数制，它的基数为 2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，它与十进制数可以互相转化，如二进制数 1011（记为
42、21011）表示的十进制数为32101 2021 21 211 ，即2101111，设各项均为十进制数的数列 na的通项公式为21101010101nna 个，则na _.【答案】413n【分析】利用等比数列前n项和公式计算即可得到答案.【详解】2102414411 21 21 21 2143nnnna 26设数列 na的前n项和为nS，且21nan，则数列nSn的前 20 项和为_.【答案】210【分析】先根据等差数列前n项和公式得2nSn，进而得nSnn，再根据等差数列前n项和公式即可得答案.【详解】解：因为数列 na满足21nan，所以数列 na是等差数列，所以12(121)22nnn
43、aannSn，所以nSnn，所以数列nSn的前 20项和为2020(120)2102T.故答案为：210.【点睛】结论点睛：若等差数列 na的前n项和为nS，则nSn也是等差数列.27在数列na中，若121,(1)2nnnaaa，记nS是数列na的前n项和，则100S_.【答案】2550【分析】当n为奇数时，可得数列 na的奇数项为公差为 2的等差数列，当n为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可.【详解】121,(1)2nnnaaa，当n为奇数时，22nnaa，即数列 na的奇数项为公差为 2 的等差数列，当n为偶数时，22nnaa，1359950 4950 122
44、5002aaaa，2468101248502 2550aaaaaaaa，1002500502550S，故答案为：2550.【点睛】关键点点睛：（1）得到数列 na的奇数项为公差是 2的等差数列；（2）得到数列 na的偶数项满足22nnaa.28位于宁夏青铜峡市的 108 塔建于西夏时期，塔的排列顺序自上而下，第一层 1座，第二层 3 座，第三层3 座，第四层 5 座，第五层 5座，从第五层开始塔的数目构成一个首项为 5，公差为 2 的等差数列，则该塔共有_层.【答案】12【分析】利用已知条件将第五层有的塔的数目设为1a，设从第五层开始自上而下，每一层的塔的数目为na，利用等差数列的通项公式以及
45、前n项和公式即可得出结果.【详解】已知从第五层开始塔的数目构成一个首项为 5，公差为 2 的等差数列，将第五层有的塔的数目设为1a，设从第五层开始自上而下，每一层的塔的数目为na，nN，则1152123naandnn，设前n项和为nS,2115142nn nSnadnn nnn，前四层共有塔的数目为：1 33512 （座），108 1296（座），令96nS，即2496nn又nN，解得8n，所以该塔共有8412（层）.故答案为：12.29已知数列 na是等差数列，nS是其前 n项和若2580a aa，927S，则nS的最小值是_【答案】9【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式求出基本量，
46、再根据二次函数求出nS的最小值.【详解】设等差数列 na的公差为d，由19959()9272aaSa，得53a，所以2580a aa可化为2830aa，所以111433()70adadad，解得152ad，所以2(1)5262nn nSnnn 2(3)9n，所以当3n 时，nS取得最小值9.故答案为：9.【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式与前n项和公式是解题关键，属于基础题.30已知数列 na满足21,1log3,2,nnnannnN，定义使123ka aaakN为整数的k叫做“幸福数”，则区间1,2020内所有“幸福数”的和为_【答案】1349【分析】利用换底公式可得4log(3
47、),km mZ，求出43mk，结合1,2020可得25m，再利用等比数列的前n项和即可求解.【详解】当1k 时，11a 为幸福数，符合题意；当2k 时，1234524log 5 log 6log(3)log(3)kka a aakk 令4log(3),km mZ，则34,43mmkk.由2432020542023,25mmkm .故“幸福数”的和为23451(43)(43)(43)(43)2345(43)(43)(43)(43)(43)54 1 4151 454(41)1513494 1 故答案为：1349.四、解答题 31数列 na中，11a，22a，数列1nnaa是公比为(0)q q 的等
48、比数列.（1）求使11223()nnnnnna aaaaanN成立的q的取值范围；（2）若212()nnnbaanN，求nb的表达式；（3）若12nnSbbb，求1limnnS.【答案】（1）1502q；（2）13nnbq；（3）0,11lim1,013nnqqSq.【分析】（1）根据等比数列的定义，由题中条件，得到112nnnaaq，解11223()nnnnnna aaaaanN，即可得出结果；（2）根据题中条件，先得到 nb是首项为13b，公比为q的等比数列，进而可求出nb；（3）由等比数列的求和公式，分别讨论1q，1q，01q三种情况，由无穷等比数列的极限，即可得出结果.【详解】（1）1
49、nnaa是公比为(0)q q 的等比数列，且121 22a a 112nnnaaq 由11223(nnnnnnaaaaaanN)，有11222(0)nnnqqqq 210qq 解得1502q （2）121nnnnaaqa a，2nnaqa，2121,222nnnnaqaaqa 212nnnbaa，1123baa，又12122212212212nnnnnnnnnnbaaqaqaqbaaaa nb是首项为13b，公比为q的等比数列，13nnbq（3）当1q 时，3nSn，11limlim03nnnSn；当1q 时，3(1)1nnqSq，11111limlimlim03(1)13 1nnnnnnnn
50、qqqSqq；当01q时，1111lim3lim31nnnnqSSq即1limnnS13q.综上，0,11lim1,013nnqqSq.【点睛】思路点睛：求无穷等比数列前n项和的极限时，一般需要利用分类讨论的方法，讨论公比的范围，根据等比数列的求和公式，以及极限的运算法则，即可求出结果.32设数列 na的前n项和为nS，且24nnnSan.（1）证明：nan是等比数列；（2）令nnnba，证明：1223111123nnbbbbbb.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）当1n 时，可得11a，由24nnnSan有111421nnnSann两式相减得11221nnaannn从