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1、华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2014-2015学年第 1 学期 考试科目：概率论 考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 总分 得分 评阅人 一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1、设事件 A=甲产品畅销或乙产品滞销，则 A 的对立事件为(A )(A)甲产品滞销，乙产品畅销；(B)甲产品滞销；(C)甲、乙两种产品均畅销；(D)甲产品滞销或乙产品畅销.2、下列命题正确的是(C )(A)若事件 A 发生的概率为 0，则 A 为不可能事件；(B)若随机变量 X 与 Y 不独立，则()()()E XYE XE Y不一定成立
2、；(C)若 X 是连续型随机变量，且()f x是连续函数，则()Yf X不一定是连续型随机变量；(D)随机变量的分布函数一定是有界连续函数.3、设随机变量 X 的概率密度为211(3)82()(8)xf xe，若()()P XCP XC，则 C 的值为(B ).(A)0；(B)3；(C)2；(D)2.4、设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从(0,1)N和(1,1)N，则下列等式成立的是(B ).(A)1(0);2P XY (B)1(1);2P XY (C)1(0);2P XY (D)1(1).2P XY 5、设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为 得分 010.40.6XP 01
3、0.40.6YP 则有(A ).(A)()0.52;P XY (B)()0.5;P XY (C)()0;P XY (D)()1.P XY 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1、设()XP（泊松分布），且(1)21EXX，则=1 .2、若事件 A 和 B 相互独立，P()=A，P(B)=0.3，P(AB)=0.7，则 3/7 .3、若随机变量0,6U，则方程210XX 有实根的概率为 2/3 .4、设随机变量X的概率密度函数为1,0,()0,0.xexf xx，其中0，则其方差()D X=_ 2 .5、某机器生产的零件长度（cm）服从参数为=10.05，=0.06 的
4、正态分布。规定长度在范围 10.050.12cm 内为合格品，则从中抽取一产品为不合格品的概率为_0.0456_(已知(2)=0.9772)6、两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概是 0.03，第二台出现不合格品的概率是 0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件数比第二台加工的零件数多一倍。若取出一件零件发现是不合格品，则它是由第二台车床加工的概率为 0.5 7、设二维随机变量,X Y（）只能取（-1，0），（0，0）和（0，1）三对数，且取这些数的概率分别是12，13和16。则()P XY /.8、设随机变量X的分布函数0,0.4,()0.8,1,F x 1111
5、33xxxx ，则13PX_0.6_.得分 三、解答题（本大题共 6 小题，共 61 分）1、随机变量12,nXXX独立并且服从同一分布，数学期望为，方差为2，这 n 个随机变量的简单算术平均数为X。求iXX的数学期望和方差。（10 分）解：1111()()()0.nniijijjjE XXE XXE XEXnn5 分)1()(1njjiiXnXDXXD)1(1nijjjinXXnnD 222211()nnnn 21.nn 5 分 2、甲、乙两人轮流投篮，甲先投。一般来说，甲、乙两人独立投篮的命中率分别为 0.7 和 0.6。但由于心理因素的影响，如果对方在前一次投篮中投中，紧跟在后面投篮的这
6、一方的命中率就会有所下降，甲、乙的命中率分别变为 0.4 和0.5。求：（1）乙在第一次投篮中投中的概率；（5 分）（2）甲在第二次投篮中投中的概率。（5 分）解：令1A表示事件“乙在第一次投篮中投中”，令iB表示事件“甲在第i次投篮中投中”，1,2i （1）11111110.7 0.50.3 0.60.53.P AP BP A BP BP A B 5 分 （2）110.53,0.47P AP A 2121121P BP A P B AP A P B A 5 分 0.530.40.470.70.541.3、设离散型随机变量 X 只取 1、2、3 三个可能值，取各相应值的概率分别是14,a,2a
7、,求随机变量 X 的概率分布函数.（10 分）解：由2114aa得1231().22aa 或舍去 4 分 即111(1),(2),(3).424P XP XP X 2 分 得分 1.5CM 所以 0,10,12(1)2()()(1)(2)3341313xxxP XxF xP XxP XP Xxxxx当时当时1，当1时，当1时43，当2时，当2时，当时，当时4 分 4、已知随机变量 X 服从在区间(0,1)上的均匀分布，令 Y2X+1，求 Y 的概率密度函数.解：已知 X 的概率密度函数为1,01,()0,.Xxfx其它 Y 的分布函数 FY(y)为 11()2122YXyyFyP YyPXyP
8、 XF （5 分）因此 Y 的概率密度函数为 1,13,11()()2220,.YYXyyfyFyf其它 （5 分）5、设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们的密度函数分别为：1,03()30,Xxfx其他；33,0()0,0yYeyfyy 试求：(1)(X,Y)的联合密度函数；（3 分）(2)(2)()P YX；（4 分）(3)D XY.（4 分）解：（1）因为随机变量 X，Y 相互独立，所以它们的联合密度函数为：3,03,0(,)()()0,yXYexyf x yfx fy其他 3 分（2）(,)y xP YXf x y dxdy 3300 xyedy dx 2 分 dxex303)1(3
9、1 93039198)31(31eexx)8(919e 2 分（3）301332EXxdx；3223 30011339E Xx dxx；所以 222333()24DXE XEX；1 分 3333000011333yyyyEYyedyyeedye 2230239yEYyedy 222211939DYE YEY 2 分 所以 3131()()()4936D XYD XD Y 1 分 解法二 由密度函数可知(0,3),(3)XUYE，所以，22(30)311(),(),12439D XD Y 2 分 所以 3131()()()4936D XYD XD Y 4 分 6、某学院有 400 名学生参加全国大学生英语四级考试，按历年的资料统计，该考试的通过率为 0.8。试应用中心极限定理计算这 400 名学生中至少有 300 人通过的概率.（已知(2.5)0.9938）解：记：1,0,iX第i 个人通过考试第i 个人未通过考试，i=1 2400.，3分 由题设，这400名学生通过考试的人数4001iiX服从二项分布(400,0.8)B，由de Moivre Laplace中心极限定理,近似地有 4001320(0,1).8iiXN4分 所以 400400113203003203001(2.5)(2.5)0.9938.88iiiiXPXP 3分