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1、专题 2.5 利用代数方法处理几何问题 在处理几何问题的时候,往往将“形”的问题借助于数式的推理,使之量化,从而具体探索“形”的性质,最终得到的几何量之间的关系.例 1 如图 2-5-1,矩形 ABCD 中,E、F 为 BC、CD 上的点,且5,4,3ABEADFCEFSSS.求AEF 的面积.DBCAEF 图 2-5-1【分析】已知条件中三个三角形均为直角三角形,可适当引入字母表示面积关系.对于所求不规则AEF 的面积,则可通过面积割补来表示.【解】设 AB=a,BC=b,则108,BEDFab.故由810()()6abba,可得8024abab.解得20ab 或4ab(舍),故205438
2、AEFS.【注】本题解法是将面积数量化,当然也可以从面积的比例关系入手解答.连结 DE,设DEFSx,则3,2354xxxx,进而得解.例 2 如图 2-5-2,四边形 ABCD 是直角梯形,且2,1,2ABBCAD PAPB,求梯形 ABCD 的面积.MNDABCP 图 2-5-2 【分析】本题只需求出高 AB 即可,可考虑将PAB 和PBC 分解成若干个直角三角形,通过勾股定理来寻求有关 AB 的数量关系.【解】过 P 作 PMAB,PNBC,垂足分别为 M、N.设 PM=x,PN=y,AB=m,则由勾股定理,得 2222224()1()9xyxmymxy 由得：232mym 由得：252
3、mxm 代人得：4210170mm，解得252 2m.因为my，故232mmm，即23m，故252 2m，故252 2AB 所以213156 2()AB244ABCDSADBCAB梯形 【注】本题也可利用图形旋转的观点，将BCP 绕点 B 逆时针旋转90后得BAQ，可求得135APB，进而求得 AB.例 3 在锐角ABC 中，BD 是 AC 边上的高，E 是 AB 边上的一点，满足45AEC，2BDCE，且 DEBC.求证：CEACAD.FEDCAB 图 2-5-3 【分析】利用45AEC，可构造等腰直角三角形，再利用2BDCE，可将图中线段数量化，进而寻找所求的数量关系 【证明】过点 C 作
4、 CFAB，交 AB 于点 F设 AD=x，CE=a，则222,4BDaABax 在 RtCEF 中，45CEF，故22EFCFa 由于 RtACFRtABD，从而 22224aAFACFCADABBDa 故2222,444AFxACax 因为 DEBC，所以ADAEACAB 从而2222()()4442ACADAEEFAFxaAB 即222()442xxa,解得27xa.故57ACa，进而ACADaCE.【注】对于线段的和差问题，并不一定采取截长补短法或中线加倍法，通过数的量化往往更有利于思考分析 例 4 如图 2-5-4,在四边形 ABCD 中，ABD、BCD、ABC 的面积是 3:4:1
5、，点 M、N 分别在 AC、CD上，满足 AM:AC=CN:CD，并且 B、M、N 三点共线，求证：M 与 N 分别是 AC 与 CD 的中点 EMNACDB 图 2-5-4【分析】条件中比例关系 AM:AC=CN:CD，并不能推出平行关系，只有结合结论可知 AM：AC=CN:CD=m=12，故可考虑引入参数 m，再结合面积的比例关系求解，【证明】设(01)AMCNmmACCD 由共边定理得：16BEED，进而17BEBD 同理：37AEAC 从而73,771EMmCNmMCmNDm 因为 B、M、N 三点共线，故由梅涅劳斯定理有：1CN DB EMND BE MC，故7371177mmmm
6、即2610mm，解得1211,23mm（舍），所以 M.N 分别是 AC、CD 的中点 例 5 在ABC 中，已知点 I 为内心，点 O 为外心，AB=5，BC=6，CA=4求证：OICI DIOBAC 图 2-5-5 【分析】在上节中，利用ABC 的外接圆及垂径定埋来证明本题也可通过线段长度的计算，使用 勾股定理逆定理来证明，【证明】连结 CO，过点 I 过 ID CA，垂足为 D 由题意：115()22pabc(p 为ABC 的周长的一半），故15()()()74Sp papbpc 因为Spr(r 为内接圆半径，即 ID 的长)，所以72r 又因为 522BCCAABCD 所以 222 2
7、CICDID.由余弦定理得：2224659cos24616ACB 进而5sin716ACB，由正弦定理得：2sinABRACB，故877R，即外接圆半径877OC 由欧拉公式得：222OIRRr，故287OI 从而222IOICOC，故OICI.例6 若凸四边形ABCD内有一点O，且该点到凸四边形各顶点距离的平方和等于凸四边形面积的2倍 求证：该凸四边形为正方形 BCADO 图 2-5-6 【分析】显然该命题的逆命题成立，考虑到四边形面积可分成四个小三角形，联系题设中 OA、OB 等条件，可利用面积公式1sin2Sab来表示，并用不等式进行适当的放缩变换【证明】由题意：22222SOAOBOC
8、OD,故222242()SOAOBOCOD.故42222SOA OBOB OCOC ODOD OA.故42sin2sin2sin2sin4SAOB OA OBBOC OB OCCOD OC ODDOA OD OAS 故只有取等号时才成立，此时：,90OAOBOCODAOBBOCCODDOA 所以凸四边形 ABCD 为正方形 【注】对于一些几何问题中数量关系为整数时，不仅可以用数去量化，而且还可以运用数的整除性质,同余性质,一元二次方程整数解等多种方法解答.例 7 已知ABC 为一个不等边三角形,且60,7ABC,其他两边均为整数,求另两边的长.【分析】通过余弦定理建立边,角之间的代数关系,并构
9、建一元二次方程来解答.【解】在ABC 中,由余弦定理得:222cos6049bcbc,故2()349bcbc,设bck(k 为正整数),则249,3kbcbc 故bc、是方程224903kxkx的不相同的正整数根.从而222491964033kkk,且为完全平方数,解得14k 因为7bc,故714k.经检验:当 k=13 时,=9 符合;当 k=11 时,=25 符合;故当 k=13 时,b=5,c=8;当 k=11 时,b=3,c=8.【注】在解题时,可经常利用不等式控制变量的范围,再进行枚举,当然可进一步分析出(mod 3)k ,减少枚举情况.例 8 如图 2-5-7,在ABC 中,AB=
10、33,AC=21,BC=m,m 为整数,又在 AB 上可找到点 D,在 AC 上可找到点 E,使 AD=DE=EC=n,n 为整数,求 m 的值.EBCAD 图 2-5-8【分析】可利用ADE 和ABC 共角的特点,通过余弦定理建立两个三角形边之间的数量关系.【解】在ABC 中,222233211530cos2 33212 3321mmA,在ADE 中,222(21)21cos2(21)2nnnnAnnn,从而 21530212 33212mnn 故2232(2223)33213711nm 因为 m、n 为正整数，所以32|3711n.因为,ECACADDEAE，故721n.由此可得9n 或1
11、1n.当9n 时，m不是整数，舍去 当11n 时，30m，符合题意，从而30m 练习 2.5 1.在ABC 中，已知()()3abc abcab，3sinsin4AB，试判定此三角形的形状.2.已知 D 是ABC 的边 AC 上的一点:2:1AD DC，45,60CADB，求证：AB 是BCD 的外接圆的切线.3.已知XYZ 是直角边长为 1 的等腰直角三角形（90Z），它的三个顶点分别在等腰 RtABC（90C）的三边上，求ABC 直角边长的最大可能值 4.已知一个凸四边形的各边长均为整数，且任何一边长都能整除其余三边长度之和，求证：这个四边形必有两边相等 5.如图：在ABC 的 AC 及
12、BC 边上分别取点 D、E，使ABEDACADBBECCEBD ，.求 ABC 的所有内角的值.PABCED 第 5 题 6.如图：在锐角ABC 中，BD 为边 AC 上的高，E 为 AB 上一点，45,2,AECBDCECEACAD.求证：DEBC.EDBCA 第 6 题 7.如图：已知ABC 中，A 的平分线、AC 上的中线、AB 上的高共点 F，且2AB .求A 的值 EDFBCA 第 7 题 8.如图：设 M 是ABC 内部一点，MDABMEBCMFAC，且 BDBECECF，.求证：.ADAF FEBCAMD 第 8 题 9.如图：已知 AO 是等腰AEF 底边 EF 上的高，并有A
13、OEF，延长 AE 到 B，使得BEAE，过点 B作 AF 的垂线，垂足是 C求证：O 是ABC 的内心 CBAOEF 第 9 题 10.在ABC 的边 BC、CA 与 AB 上取点111ABC、，线段111111ABBCC A、分ABC 为四个面积相等的三角形求证：111ABC、是ABC 各边的中点 练习 2.5 解答 1.因为()()3abc abcab,故222abcab.所以222122abcab 即1cos2C,所以60C 因为3sinsin4AB,故3224abRR.所以23abR 因为2sinsin60ccRC,故223Rcab.所以22ababab 故2()0ab,ab,所以此
14、三角形为正三角形.2.过 B 作 BEAC,垂足为 E.设 DC=a,ED=x,则 AD=2a.因为 BEAD,所以90BED.因为60ADB,故30DBE.所以2,3BDxBEx.因为15DBC,所以45EBC.故BECE.所以 3xxa.故312xa.所以 332AEa,故226ABaAD AC.所以 AB 是BCD 的外接圆的切线.EADBC 3.顶点 Z 在斜边上,取 XY 的中点 M,连结 CM、ZM、CZ.故1122CZCMMZXYXY 所以2CZXY 设 ABC 斜边上的高为h,所以2hCZ,故22ACh,即AC的最大值为 2.MYACBZX 顶点 Z 在直角边 CA(或 CB)
15、上,由对称性,不妨设 Z 在 CA 上,CXx CZy 过 Y 作 YHCA 于 H.显然 CXZHZY.所以HZCXx,HYCZy.因为AHY 为等腰直角三角形,故AHy.设ACb,则2yxb.所以2xby 在 RtCXZ 中,22(2)1yby,故225410ybyb,221620(1)0bb 所以5b,即 AC 的最大值为5,此时,255,55yx.综上:AC 的最大值为5.HYABCZX 4.假设四边形的任意两边都不相等,不妨设1234aaaa表示四边长的关系.1234paaaa表示四边形的周长,则|,(1,2,3,4)iiapai.所以|iap 因为12341234111()44pa
16、aaaaaaapa,所以11142pap,即124pa.所以13pa,故2344,5,6pppaaa.所以111157345660pppppp,矛盾!所以四边形必有两边相等.5.因为CADBDACBECABEBAC .故ABBC.由正弦定理:sinsinsinsinBDCEBADADBBECEBCABBC.因为180BADEBC,所以BADEBC.BACABC.所以ACBC,故ABC 为正三角形,各内角均为60.6.因为ABCAECBECSSS,所以 111sin45sin135222BD ACAE ECBE EC.所以22BD ACAB EC.因为2BDCE,故2 2ABAC.所以22222
17、284()ACABADBDADACAD 故(25)(2)0ACADACAD.所以52ACAD.设5,ACk 则2,3,7,10 2ADkCDkCEkABk 由余弦定理:222492 7cos4525AEkk AEk.所以3 2AEk,或4 2AEk 当3 2AEk时,182549cos02 3 25A.所以A为钝角,矛盾!当4 2AEk时,25AEAB,故AEADABAC,所以ED/BC.7.设 ABC 的三条边长为abc、,由塞瓦定理:1AF BD CEFB DC EA,则AFCDBFBD.由内角平分线定理:CDACBDAB.则coscos,coscosbAbAaaBcBc,由余弦定理:22
18、2222bcabacbc,因为2AB ,所以BDACBAD .所以 ABCDAC,AD=BD.故,ACCDADBCACAB 所以bcADa.故2()bcba aa,22abbc,由得:(21)cb.所以2222cos222bcacbAbcb,故45A.8.连结 AM、BM、CM.由勾股定理:2222222222ADPDPABDBPAMPMBEAMBM 22222222222BEAMBQMQQEMQAMCEQCMQAM 22222222222CFQCMQAMCFCMAMCFMRCRAM 222222RFMRAMRFARAF 所以ADAF FEMACBD 9.过 O 分别作 BC、AC 的垂线，垂
19、足分别为 M、N.过 E 作 EPAC,垂足为 P.因为 AE=AF,AOEF,故设 EO=FO=k,则 AO=2k.所以5.AEAFk 因为1122AEFSEF AOAF EP,所以4 55EPk 因为 EPAC,ONAC,所以 EPON,所以12 525ONEPk 同理:855BCk,所以224 55ANAOONk,226 55ACABBCk.所以2 55NCk 因为 OMCN 为矩形,故2 55OMNCk,所以OMON,故 O 为ACB 的平分线,所以 O 为ABC 的内心.PMNCBAOFE 10.设ABC 三边长,BCa CAbABc 且111,ABaxBCby C Acz 故11(1)14AB CABCScz bySbc,所以1(1)4zy 同理:11(1),(1)44xzyz 所以1(1)(1)(1)64xyzxyz,因为2111(1)()244xxx,同理:11(1),(1)44yyzz.故1(1)(1)(1)64xyzxyz.且仅当12xyz时等号成立.所以12xyz,即111ABC、为三边中点.A1B1C1BCA