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1、1.7 恰当放缩 用放大或缩小的方法来确定某个数或某个代数式的取值范围，称为放缩法.放缩法在不等式的证明，不定方程的求解等方面都有运用，但要注意的是放缩要恰当，过则即反.例 1.已知 A=12 345 678 910 111 213,B=31 211 101 987 654 321,求AB的小数点后前三位数字.【解】直接计算比较繁琐，可以通过放缩来估计AB的范围，因为AB12343122=0.3952；而0.3957AB，所以它的小数点后前三位数字是 395.例 2.已知 2011201220102011201020111020102011N ，求 N 的整数部分.【解】因为201020112
2、010201120112010 20102011201020101020102011N，所以 201120122011201020102011201020112010201120111201020101020102011201020111201012011 2011N 因 为201020111，所 以120100.911012011N，又 因 为2011201020112011120102011，所 以0.92010110N，解得 20109N20110，从而 N 的整数部分是 20 109.【注】恰当放缩求某个数和整数部分，实际上就是要估算出这个数介于哪两个相邻的自然数之间，从而达到目的.放
3、缩法的基本思想是依据是不等式的传递性，要证明 AB 时，去寻找一个 C,使得 A C 与 C B都容易证明.例 3.求证：222111212n.【证明】22211111111111111122121 223112231nnnnnn 【注】2221111111121 2231nnn 是一种常用的放缩方法，但是在此题中应用不对，不等号的方向反了.用放缩法证明时，经常需要增加或舍去一些项，扩大或缩小分式的分母等方法得到比原不等式更强但较容易证明的不等式，如求证2221117124sn，要从第三项开始放大，得 222111111171111242334144snnnn；若从第二项开始放大就得到例 3
4、的结论：s2；而从第四项开始放大，可以得到6136s 的更精确的结果，放缩的程度取决于结论的要求.例4.已知0a1,且满足122918303030aaa 求10a的值.【解】因为122902303030aaaa，故1229,303030aaa 都等于 0 或 1，由题设可知，其中有 18 个 1，11 个 0，故 12110303030aaa，1213291303030aaa 所以110130a，且121230a，解得1961030a，故10a=6.例 5.已知199 1199219966 979797S，求 S 的值 【分析】对于每一个“x”中的分数一一估计，规律性较难体现，注意到首尾两项“
5、x”中的分数之和恰为整数 199，可利用高斯函数性质首尾配对进行处理.【解】因为199 11999601,019797，故199 119996029797，又因为 199 1199961999797，所以199 11999619797，199 119996 1989797，同理 199219995 1989797，1994819949 1989797，（注意，这里用到（97，199）=1，对 1k96，数19997k都不为整数）.故 S=19848=9504 例 6.设 x 为有理数，证明：仅存在有限多组满足 a0,那么 2222apbpqcq=0qaxbxc 从而2222apbpqcq1qq
6、 利用245bac以及和可得225b4ac1=44aqa，从而|a|=-a 25q4 为有界，因此 a 只能取有限个整数.下面估计 b，由于 a0,及20axbxc，可得22bb4acb-b4acx2a2a 所以2ax5b2ax5，即b2ax5，对固定的（x，a）可知 b 也是取有限个整数值，而2b5c=4a，因此对固定的（a，b，）可知 c 也只能取有限个整数值.综小所述，仅存在有限多组整数解（a,b,c）满足题意.【注】本 题 难 点 在 于 利 用 了 整 数 的 离 散 性，直 接 把 分 式222apbpqcqq 的分子放缩到了 1.练习 1.7 1.试问：18能否写成三个互异的完全平方数的倒数之和？2.试求：57 1572572010201120112011的值，其中 x=xx.3.设 a,b,c 为正实数，求a+bb+cc+a=cabT的最小值.4.设 12nxxx0且 i1x=1ini，证明：211niiX.5.试问：是否存在满足下列条件的正整数对（m，n）,使得：（1）（m，n）=1,m2011；(2)对任意 k=1，2，2011，均有nk=2km.