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1、八年级下册数学好题难题精选 分式：一：如果 abc=1,求证11 aab+11bbc+11cac=1 解：原式=11 aab+aababca+ababcbcaab2 =11 aab+aaba1+abaab1 =11aabaab =1 二：已知a1+b1=)(29ba，则ab+ba等于多少？解：a1+b1=)(29ba abba=)(29ba 2(ba)2=9ab 22a+4ab+22b=9ab 2（22ba）=5ab abba22=25 ab+ba=25 三：一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水。向容器
2、中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。由题意得：txvxv82 解之得：tvx85 经检验得：tvx85是原方程解。小口径水管速度为tv85，大口径水管速度为tv25。四：联系实际编拟一道关于分式方程2288xx的应用题。要求表述完整，条件充分并写出解答过程。解略 五：已知 M222yxxy、N2222yxyx，用“+”或“”连结 M、N,有三种不同的形式，M+N、M-N、N-M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中 x：y=5：2。解：选择一：22222222()()()xyxyxyxyMNxyxyxy xyxy，当x
3、y=52 时，52xy，原式=572532yyyy 选择二：22222222()()()xyxyxyyxMNxyxyxy xyxy，当xy=52 时，52xy，原式=532572yyyy 选择三：22222222()()()xyxyxyxyNMxyxyxy xyxy，当xy=52 时，52xy，原式=532572yyyy 反比例函数：一：一张边长为 16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图 1 所示小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图 2 所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）“E”图案的面积是多少？（3）如果小矩形的长是 6x12cm，
4、求小矩形宽的范围.解：（1）设函数关系式为xky 函数图象经过（10，2）102k k=20，xy20 （2）xy20 xy=20，2162022162xySSE正 （3）当x=6 时，310620y 当x=12 时，351220y 小矩形的长是 6x12cm，小矩形宽的范围为cmy31035 二：是一个反比例函数图象的一部分，点(110)A，(101)B，是它的两个端点 （1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例 解：（1）设kyx，(110)A，在图象上，101k，即1 1010k ，10yx，其中110 x；（2）答案不唯一例如：
5、小明家离学校10km，每天以km/hv的速1 1 10 10 A B O x y 度去上学，那么小明从家去学校所需的时间10tv 三：如图，A和B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数1yx的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .答案：r=1 S=r=四：如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（2，1），且P（1，2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存
6、在，请说明理由；（3）如图 12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值 图xyBAOMQP图xyBCAOMPQ解：（1）设正比例函数解析式为ykx，将点M（2，1）坐标代入得12k，所以正比例函数解析式为12yx 同样可得，反比例函数解析式为2yx （2）当点Q在直线DO上运动时，设点Q的坐标为1()2Q mm，于是211112224OBQSOBBQmmm，而1(1)(2)12OAPS，所以有，2114m，解得2m 所以点Q的坐标为1(2 1)Q，和2(21)Q，（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OPCQ，OQP
7、C，而点P（1，2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值 因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为2()Q nn，由勾股定理可得222242()4OQnnnn，所以当22()0nn即20nn时，2OQ有最小值 4，又因为OQ为正值，所以OQ与2OQ同时取得最小值，所以OQ有最小值 2 由勾股定理得OP5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是 2()2(52)2 54OPOQ 五：如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 Y 轴和 X 轴分别交于点 A、点 8，与反比例函数 y 一罟在第一象限的图象交于点 c(1，6)、点 D(3，x
8、)过点 C 作CE 上 y 轴于 E，过点 D 作 DF 上 X 轴于 F (1)求 m，n 的值；(2)求直线 AB 的函数解析式；勾股定理：一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文积求勾股法，它对“三边长为 3、4、5 的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为 3、4、5 的整数倍，设其面积为 S，则第一步：6Sm；第二步：m=k；第三步：分别用 3、4、5乘以 k，得三边长”（1）当
9、面积 S 等于 150 时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程 解：（1）当 S=150 时，k=m=1502566S=5，所以三边长分别为：35=15，45=20，55=25；（2）证明：三边为 3、4、5 的整数倍，设为 k 倍，则三边为 3k，4k，5k，而三角形为直角三角形且 3k、4k 为直角边 其面积 S=12（3k）（4k）=6k2，所以 k2=6S，k=6S（取正值），即将面积除以 6，然后开方，即可得到倍数 二：一张等腰三角形纸片，底边长 l5cm，底边上的高长 225cm现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为
10、 3cm 的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是()A第 4 张 B第 5 张 C第 6 张 D第 7 张 答案：C 三：如图，甲、乙两楼相距 20 米，甲楼高 20 米，小明站在距甲楼 10 米的A处目测得点A 与甲、乙楼顶BC、刚好在同一直线上，且 A 与 B 相距350米，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米 答案：40 米 四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷()A和世界级自然保护区星斗山()B位于笔直的沪渝高速公路X同侧，50kmABA，、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服
11、务区P，向A、B两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和 20乙 C B A 甲 10？201SPAPB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和2SPAPB（1）求1S、2S，并比较它们的大小；（2）请你说明2SPAPB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值 解:图 10（1）中过 B
12、作 BCAP,垂足为 C,则 PC40,又 AP10,AC30 在 RtABC 中，AB50 AC30 BC40 BP24022 BCCP S110240 图 10（2）中，过 B 作 BCAA垂足为 C，则 AC50，又 BC40 BA4110504022 由轴对称知：PAPA S2BA4110 1S2S (2)如 图 10（2），在公路上任找一点 M,连接 MA,MB,MA，由轴对称知 MAMA B A P X 图（1）Y X B A Q P O 图（3）B A P X A 图（2）MB+MAMB+MAAB S2BA为最小（3）过 A 作关于 X 轴的对称点 A,过 B 作关于 Y 轴的对
13、称点 B，连接 AB,交 X 轴于点 P,交 Y 轴于点 Q,则 P,Q 即为所求 过 A、B分别作 X 轴、Y 轴的平行线交于点 G,AB5505010022 所求四边形的周长为55050 五：已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，DEAC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AEAC（1）求证：BGFG；（2）若2ADDC，求AB的长 解：（1）证明：90ABCDEAC，于点F，ABCAFE ACAEEAFCAB，ABCAFE ABAF 连接AG，AGAG,ABAF，RtRtABGAFG BGFG（2）解：ADDC,DFAC，1122AFACAE 30E D C
14、E B G A F D C E B G A F 30FADE，3AF 3ABAF 四边形：一：如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形.(1)当ABAC时，证明四边形ADFE为平行四边形；(2)当AB=AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.解：(1)ABE、BCF为等边三角形，AB=BE=AE，BC=CF=FB，ABE=CBF=60.FBE=CBA.FBE CBA.EF=AC.又ADC为等边三角形，CD=AD=AC.EF=AD.同理可得AE=DF.四边形AEFD是平行四边形.(2)构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.当
15、图形为菱形时，BAC60（或A与F不重合、ABC不为正三角形）当图形为线段时，BAC=60（或A与F重合、ABC为正三角形）.E F D A B C 二：如图，已知ABC 是等边三角形，D、E 分别在边 BC、AC 上，且 CD=CE，连结 DE 并延长至点 F，使 EF=AE，连结 AF、BE 和 CF。（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明。（2）判断四边形 ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。（3）若 AB=6，BD=2DC，求四边形 ABEF 的面积。解：（1）（选证一）BDEFEC 0,60ABCCDCEBDAEEDCDEECCDEDEC 0是等边三角形，BC
16、=AC,ACB=60是等边三角形 0120,BDEFECEFAEBDFEBDEFEC （选证二）BCEFDC 证明：0,60ABCBCACACB是等边三角形 0,60,CDCEEDCBCEFDCDECEEFAEEFDEAECEFDACBCBCEFDC 是等边三角形（选证三）ABEACF 证明：0,60ABCABACACBBAC 是等边三角形 0,60CDCEEDCAEFCEDEFAEAEFAEAFEAFABEACF 0是等边三角形=60是等边三角形（2）四边形 ABDF 是平行四边形。由（1）知，ABC、EDC、AEF都是等边三角形。图 7 060,CDEABCEFAABDF BDAF 四边形
17、ABDF是平行四边形（3）由（2）知，）四边形 ABDF 是平行四边形。0,23sin602 332112 36410 322ABEFEFAB EFABABEFEEGABGEGAEBCSEGABEF四边形四边形是梯形过 作于，则 三：如图，在ABC中，A、B的平分线交于点D，DEAC交BC于点E，DFBC交AC于点F（1）点D是ABC的_心；（2）求证：四边形DECF为菱形 解：(1)内.(2)证法一：连接CD，DEAC，DFBC，四边形DECF为平行四边形，又 点D是ABC的内心，CD平分ACB，即FCDECD，又FDCECD，FCDFDC FCFD，DECF为菱形 证法二：过D分别作DGA
18、B于G，DHBC于H，DIAC于I AD、BD分别平分CAB、ABC，DI=DG，DG=DH DH=DI DEAC，DFBC，四边形DECF为平行四边形，SDECF=CEDH=CFDI，CE=CF DECF为菱形 四：在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 边上一点，连接 BE，且ABE30，BEDE，连接 BD点 P 从点 E 出发沿射线 ED 运动，过点 P 作 PQBD 交直线 BE于点 Q(1)当点 P 在线段 ED 上时（如图 1），求证：BEPD33PQ；（2）若 BC6，设 PQ 长为 x，以 P、Q、D 三点为顶点所构成的三角形面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式（不要求写
19、出自变量 x 的取值范围）；（3）在的条件下，当点 P 运动到线段 ED 的中点时，连接 QC，过点 P 作PFQC，垂足为 F，PF 交对角线 BD 于点 G（如图 2），求线段 PG 的长。解：（1）证明：A=90 ABE=30 AEB=60 EB=ED EBD=EDB=30 PQBD EQP=EBD EPQ=EDB EPQ=EQP=30 EQ=EP 过点 E 作 EMOP 垂足为 M PQ=2PM EPM=30PM=23PE PE=33PQ BE=DE=PD+PE BE=PD+33 PQ （2）解：由题意知 AE=21BE DE=BE=2AE AD=BC=6 AE=2 DE=BE=4 当
20、点 P 在线段 ED 上时（如图 1）过点 Q 做 QHAD 于点 H QH=21PQ=21x 由（1）得 PD=BE-33PQ=4-33x y=21PDQH=xx 2123 当点 P 在线段 ED 的延长线上时（如图 2）过点 Q 作 QHDA 交 DA 延长线于点 H QH=21x 过点 E 作 EMPQ 于点 M 同理可得 EP=EQ=33PQ BE=33PQ-PD PD=33x-4 y=21PDQH=xx 2123 （3）解：连接 PC 交 BD 于点 N（如图 3）点 P 是线段 ED 中点 EP=PD=2 PQ=32 DC=AB=AEtan60=32 PC=22DCPD=4 cos
21、DPC=PCPD=21 DPC=60 QPC=180-EPQ-DPC=90 PQBD PND=QPC=90 PN=21PD=1 QC=22PCPQ=72 PGN=90-FPC PCF=90-FPC PCN=PCF1 分 PNG=QPC=90 PNGQPC PQPNQCPG PG=72321=321 五：如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为 2,下底长为 4,腰长为 2,这样的纸片共有 5 张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图,并写出它们的周长.4222 解：如图所示 六：已知:如图,在矩形 ABCD 中,E、F 分别是边 BC、A
22、B 上的点,且 EF=ED,EFED.求证:AE 平分BAD.证明：四边形 ABCD 是矩形 B=C=BAD=90 AB=CD BEF+BFE=90 EFEDBEF+CED=90 BEF=CEDBEF=CDE 又EF=EDEBFCDE（第23题）ECDBAFBE=CD BE=ABBAE=BEA=45 EAD=45 BAE=EAD AE 平分BAD 七：如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10.(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求EFG的面积.(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
23、解:(1)过点G作GHAD,则四边形ABGH为矩形,GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知BFGEFG,EG=BG=10,FEG=B=90；EH=6,AE=4,AEF+HEG=90,AEF+AFE=90,HEG=AFE,又EHG=A=90,EAFEHG,EFAEEGGH,EF=5,SEFG=12EFEG=12510=25.(2)由图形的折叠可知四边形ABGF四边形HEGF,BG=EG,AB=EH,BGF=EGF,EFBG，BGF=EFG,EGF=EFG,EF=EG,BG=EF,四边形BGEF为平行四边形,又EF=EG,平行四边形BGEF为菱形；图（2）图（1）连结BE，BE、FG互
24、相垂直平分，在 RtEFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6，AE=16，BE=22AEAB=85，BO=45，FG=2OG=222BGBO=45。八：（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个 不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上（保留作图痕迹）（2）写出你的作法 解：（1）所作菱形如图、所示 说明：作法相同的图形视为同一种例如类似图、图的图形视为与图是同一种 （2）图的作法：作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1、F1、G1、H1；连接H1E1、E1F1、G1F1、G1H1 四边形E1F1G1H1即为菱形 图的作法：在B2C2上取
25、一点E2，使E2C2A2E2且E2不与B2重合；以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2；以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2；连接H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形 九：如图，P是边长为 1 的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：PE=PD；PEPD；（2）设AP=x,PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.解：（1）证法一：四边形ABCD是正方形，AC为对角线，BC=DC,BCP=DCP=45.PC=PC，PBCPDC（SAS）.
26、PB=PD，PBC=PDC.又 PB=PE，PE=PD.（i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，A B C P D E A B C D P E 1 2 H PB=PE，PBE=PEB，PEB=PDC，PEB+PEC=PDC+PEC=180，DPE=360-(BCD+PDC+PEC)=90，PEPD.）（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PEPD.（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.PEC=PDC，1=2，DPE=DCE=90，PEPD.综合（i）（ii）（iii）,PEPD.（2）过点P作PFBC，垂足为F，则BF=FE.AP=x，AC=2，PC=2-x，PF
27、=FC=xx221)2(22.BF=FE=1-FC=1-(x221)=x22.SPBE=BFPF=x22(x221)xx22212.即 xxy22212 (0 x2).41)22(21222122xxxy.21a0，当22x时，y最大值41.（1）证法二：过点P作GFAB，分别交AD、BC于G、F.如图所示.A B C P D E F A B C P D E F G 1 2 3 四边形ABCD是正方形，四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰直角三角形.GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=PFE=90.又 PB=PE，BF=FE，GP=FE，EFPPGD（SAS）
28、.PE=PD.1=2.1+3=2+3=90.DPE=90.PEPD.（2）AP=x，BF=PG=x22，PF=1-x22.SPBE=BFPF=x22(x221)xx22212.即 xxy22212 (0 x2).41)22(21222122xxxy.21a0，当22x时，y最大值41.十：如图 1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE 我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）猜想如图 1 中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图 1 中的正方形CEFG
29、绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图 2、如图 3 情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图 2 证明你的判断 （2）将原题中正方形改为矩形（如图 46），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 5 为例简要说明理由 （3）在第(2)题图 5 中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求22BEDG的值 解:(1),BGDE BGDE ,BGDE BGDE仍然成立 在图（2）中证明如下 四边形ABCD、四边形ABCD都是正方形 BCCD，CGCE，090BCDECG
30、BCGDCE BCGDCE （SAS）BGDE CBGCDE 又BHCDHO 090CBGBHC 090CDEDHO 090DOH BGDE （2）BGDE成立，BGDE不成立 简要说明如下 四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形，且ABa，BCb，CGkb，CEka(ab，0k)BCCGbDCCEa，090BCDECG BCGDCE BCGDCE CBGCDE 又BHCDHO 090CBGBHC 090CDEDHO 090DOH BGDE （3）BGDE 22222222BEDGOBOEOGODBDGE 又3a，2b，k 12 222222365231()24BDGE 22654BEDG 数
31、据的分析：一：4为了帮助贫困失学儿童，某团市委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行，定期一年，到期后可取回本金，而把利息捐给贫困失学儿童.某中学共有学生 1200 人，图 1 是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，图 2 是该校学生人均存款情况的条形统计图.（1）九年级学生人均存款元；（2）该校学生人均存款多少元？（3）已知银行一年期定期存款的年利率是2.25%（“爱心储蓄”免收利息税），且每 351 元能提供 给一位失学儿童一学年的基本费用，那么该校一学年能帮助多少为贫困失学儿童。解：（1）240（2）解法一：七年级存款总额：400120040=192000（元）
32、八年级存款总额：300120035=126000（元）九年级存款总额：240120025=72000（元）（192000+126000+72000）1200=325（元）所以该校的学生人均存款额为 325 元 解法二：40040+30035+24025=325 元 所以该校的学生人均存款额为 325 元（3）解法一：（192000+126000+72000）2.25 351=25（人）解法二：32512002.25351=25（人）。二：如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图。教练组规定：体能测试成绩 70 分以上（包括 70 分）为合格。请根据图 11 中所提供的信息填写
33、右表：请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙，的体能测试成绩较好；依据平均数与中位数比较甲和乙，的体能测试成绩较好。依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好。解：（1）如表所示：平均数 中位数 体能测试成绩合格次数 甲 60 65 2 平均数 中位数 体能测试成绩合格次数 甲 65 乙 60 乙 60 57.5 4 乙；甲 从折线图上看，两名运动员体能测试成绩都呈上升趋势，但是，乙的增长速度比甲快，并且后一阶段乙的成绩合格次数比甲多，所以乙训练的效果较好。三：如图所示，A、B 两个旅游点从 2002 年至 2006 年“
34、五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示根据图中所示解答以下问题：（1）B 旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？（2）求 A、B 两个旅游点从 2002 到 2006 年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；（3）A 旅游点现在的门票价格为每人 80 元，为保护旅游点环境和游客的安全，A 旅游点的最佳接待人数为 4 万人，为控制游客数量，A 旅游点决定提高门票价格已知门票价格x（元）与游客人数y（万人）满足函数关系5100 xy 若要使 A 旅游点的游客人数不超过 4 万人，则门票价格至少应提高多少？解：(1)B 旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是 2005 年(2)AX5543213（万元）BX5342333（万元）2AS51(-2)2(-1)20212222 2002 2003 2004 2005 2006 年 6 5 4 3 2 1 万人 A B 2BS510202(-1)2120252 从 2002 至 2006 年，A、B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为 3 万人，但 A 旅游点较 B 旅游点的旅游人数波动大(3)由题意，得 100 x 解得x100 100-8020 答：A 旅游点的门票至少要提高 20 元。