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1、 如图 1 所示，指数函数与一次函数有两个交点(1,2),(2,4),在区间(0,1)上，函数 y2x的图象位于 y2x 的图象上方，2x2x；在区间(1,2)上，函数 y2x的图象位于 y2x 的图象下方，2x 2x；在区间(2,3)上，函数 y2x的图象位于 y2x 的图象上方，2x2x.这表明两个函数增长速度不同.追问 2 通过对比这两个函数的自变量与函数值的对应值表，分别计算它们的变化率yx，你能发现什么？答案：完成的变化率表如表 2通过计算变化率yx，发现一次函数 y2x 的自变量每增加 1 个单位，函数值均增加两个单位，即增长速度不变；指数函数 y2x的自变量每增加 0.5个单位，
2、函数值的增加量在不断变大，即加速增长.表 2 x y2x yx y2x yx 0 1 0 0.5 1.414 0.828 1 2 1 2 1.172 2 1.5 2.828 1.656 3 2 4 2.344 4 2.5 5.657 3.314 5 3 8 4.686 6 追问 3 除了图 1 中的两个交点，这两个函数还有没有其他的交点，你能解释一下原因吗？答案：在更大的范围内，列出这两个函数的自变量与函数值的对应值表，如表 3，画出的函数图象如图 2可以看到，当自变量 x 越来越大时，y2x的图象就像与 x 轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数 y2x 的增长速度依然保持不变，与函数 y2x
3、的增长速度相比几乎微不足道所以，增速快的指数函数终会赶超一次函数，即存在一个 x0(0，)，当 xx0时，2x2x.因此两个函数没有其它交点 表 3 x y2x y2x 0 1 0 2 4 4 4 16 8 图 2 6 64 12 8 256 16 10 1024 20 12 4096 24 追问 4 这样的结论可以推广到任意一组指数函数 yax(a1)和一次函数 ykx(k0)中去吗？答案：指数函数 yax(a1)与一次函数 ykx(k0)的增长差异都与上述情况类似.即使 k 的值远远大于 a 的值，yax(a1)的增长速度最终都会大大超过 ykx(k0)的增长速度.因此总存在一个 x0(0
4、，)，当 xx0时，axkx.具体研究过程如下：在 GGB 软件中任意改变指数函数的底数 a 的取值和一次函数系数 k的取值，然后对比分析.改变参数值时，要有对照组的意识，比如先固定指数函数 y2x，然后任取一次函数.再任取指数函数中增速较慢的函数，和一次函数中增速较快的函数做对比.最后发现各组图象走势基本一致，都与图 3 类似.结论：指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长，所以俗称“指数爆炸”问题 3 类比研究指数函数与一次函数增长差异的思路，探索对数函数与一次函数在区间0，)上的增长差异你能描述对数函数增长的特点吗？表 4 x lgyx 110yx 0 不存在
5、0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 答案：先取特殊的对数函数和一次函数进行研究，然后归纳得到一般结论 图 4 不妨取 ylgx 和 y110 x，利用 GGB，列出这两个函数自变量与函数值得对应值表（如表 4），并在直角坐标系中画出它们的图象（如图 4）.观察图象和表格发现：它们在区间(0，)上均为单调递增函数，但增长速度存在明显差异.y110 x 增长速度不变，而 ylgx 的增长速度在变小.随着 x 的增大，函数 ylgx 的图象越来越平缓，就像与 x 轴平行一样，当 x 的值从 10 增加到 10
6、000，y110 x 的函数值从 1增加到 1000，而 ylgx 的函数值从 1 增加到 4，与 y110 x 相比，ylgx 增长得非常慢.因此总存在一个 x0(0，)，当 xx0时，成立110 xlgx.在此基础上，利用 GGB，固定对数函数 ylgx，然后任意改变一次函数的系数 k，尤其是与一次函数中增速较慢的函数做对比，都会发现共同的规律 由于换底公式 logaxlgxlga，所以任意对数函数与一次函数的增长均满足上述规律.对数函数增长的特点：对数函数 ylogax(a1)与一次函数 ykx(k0)的增长差异都与上述情况类似.即使 k 的值远远小于 a 的值，ylogax(a1)的增
7、长速度最终都会远远小于y kx(k0)的增长速度.因此总存在一个 x0(0，)，当 xx0时，kxlogax.结论：对数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越慢，俗称“对数增长”.对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.问题 4 在问题 2 和问题 3 中，分别研究了指数函数与一次函数、对数函数与一次函数的增长差异，如果将一次函数 ykx(k0)、对数函数 ylogax(a1)和指数函数 ybx(b1)同时比较，你能得到什么结论？追问 1 在同一直角坐标系中画出一次函数 y2x，指数函数 y2x和对数函数 ylgx 的图象，比较他们的增长有何差异？答案：函数图象如图 5从图象上同
8、时比较三个函数，能够直观上感受出，三个函数虽然都在增长，但增长速度明显不同 一次函数 y2x 的增长速度保持不变，指数函数 y2x的增长速度越来越快，对数函数 ylgx 的增长速度越来越慢 追问 2 一次函数 ykx(k0)，指数函数 yax(a1)和对数函数 ylogbx(b1)的增长有何差异？答案：一般地，无论 k(k0)、a(a1)、b(b1)如何取值，三种函数在区间(0，)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值即：存
9、在一个 x0(0，)，当 xx0时，bxkxlogax 成立.【知识应用】例 1 三个变量 y1，y2，y3随变量 x 变化的数据如下表：其中关于 x 呈指数增长的变量是_.答案：y3呈直线增长，在 y1，y2中，因为当 x 增加 5 个单位时，y1，y2这两个变量的增加量都在增大，都呈现加速增长趋势.但是变量 y2中，相邻两列的函数值之比为定值 18，与 y2x中函数值翻番变化极为类似，所以基本判定呈指数增长的变量为 y2.并且根据待定系数法计算得出函数解析式为 y5(518)x.【反思小结】问题 5 （1）你能用思维导图梳理本节课的研究内容和方法吗？（2）回忆本单元内容，你能用思维导图梳理
10、本单元的研究内容和方法吗？答案：（1）本节的思维导图如图 6 所示：x 0 5 10 15 20 25 30 y1 5 130 505 1130 2005 3130 4505 y2 5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120 y3 5 30 55 80 105 130 155 由特殊到一般 数形结合 指 数函 数和 一次 函数 增长 的差异 同为增函数，哪种函数的增长速对 数类 比 指数函数 ybx(b1)增长越来越快，称为“指数爆炸”一次函数 ykx(k0)增长速度不变，称为“直线上升”存在一个 x0(0，+)，当 xx0时，成立 bxkxlogax.尺子 （2）本单元的思维导图如图 7 所示：图 7