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1、【模拟试卷】衡水金卷 2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题 Word 版含答案 普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理数（一）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合02|xxA，121|xxB，则（）A20|xxBA B0|xxBA C2|xxBA DRBA 2.已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足aiaiz3，若复数z是纯虚数，则（）A3a B0a C0a D0a 3.我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾 a和股 b分别表示直角三角形
2、的两条直角边，用弦 c来表示斜边，现已知该图中勾为 3，股为 4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A4925 B4924 C74 D75 4.已知等差数列 na的前n项和为nS，且 69S，则5tana（）A33 B3 C.3 D33 5.已知函数)(Raxaxxf，则下列结论正确的是（）A)(,xfRa在区间，0内单调递增 B)(,xfRa在区间，0内单调递减 C.)(,xfRa是偶函数 【模拟试卷】衡水金卷 2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题 Word 版含答案 D)(,xfRa是奇函数，且 xf在区间，0内单调递增 6.421xx
3、的展开式中x项的系数为（）A-16 B16 C.48 D-48 7.如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A424 B4242 C.2242 D4222 8.若10,1bca，则下列不等式不正确的是（）Aba20182018loglog Baacbloglog C.bcacaaca)()(Dbcabcabc 9.执行如图所示的程序框图，若输出的n值为 11，则判断框中的条件可以是（）A?1022S B?2018S C.?4095S D?4095S 10.已知函数 20)sin(2，xxf的部分图象如图所示，将函数 xf的图象向左平移12个单位长度后，所得图象与函数)(xgy 的图
4、象重合，则（）A 32sin2xxg B 62sin2xxg 【模拟试卷】衡水金卷 2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题 Word 版含答案 BC.xxg2sin2 D 32sin2xxg 11.已知抛物线xyC4:2的焦点为F，过点F作斜率为 1 的直线l交抛物线C于QP,两点，则QFPF11的值为（）A21 B87 C.1 D2 12.已知数列 na中，Nnaaanannn,1,211，若对于任意的Nna,2,2，不等式12121attnan恒成立，则实数t的取值范围为（）A,22,B,12,C.,21,D2,2 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，
5、满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 1,3,1ba，若向量ba2与 2,1c共线，则向量a在向量c放心上的投影为 14.若实数yx,满足,1,2,4xyxyx则13 yxz的最大值是 15.过双曲线0,012222babxay的下焦点1F作y轴的垂线，交双曲线于BA,两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点2F,则双曲线的离心率为 16.一底面为正方形的长方体各棱长之和为 24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC中，角CBA,所对的边分别为cba,，若BcCbAac
6、oscoscos2.(1)求角A的大小；(2)若点D在边AC上，且BD是ABC的平分线，4,2BCAB，求AD的长.【模拟试卷】衡水金卷 2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题 Word 版含答案 18.如图，在三棱柱111CBAABC 中，侧棱1CC底面ABC,且BCACBCACCC,221,D是棱AB的中点，点M在侧棱1CC上运动.(1)当M是棱1CC的中点时，求证：/CD平面1MAB；(2)当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为23时，求二面角11CMBA的余弦值.19.第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于 2017 年 5 月 14 日至 15 日在北京举
7、行,这是 2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了 12 份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有 3000 名学生,试估计该校测试成绩在 70 分以上的人数；(2)从所轴取的 70 分以上的学生中再随机选取 4 人.记X表示选取 4 人的成绩的平均数,求)87(XP；记表示测试成绩在 80 分以上的人数,求的分布列和数学期望.20.已知椭圆)0(12222babyaxC：的左、右焦点分别为21,FF,离心率
8、为31，点P在椭圆C上，且21FPF的面积的最大值为22.(1)求椭圆C的方程；【模拟试卷】衡水金卷 2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题 Word 版含答案(2)已知直线)0(2:kkxyl与椭圆C交于不同的两点NM,，若在x轴上存在点G，使得GNGM，求点G的横坐标的取值范围.21.设函数eRaaxaexfx,),ln(2)(为自然对数的底数.(1)若0a,且函数)(xf在区间),0 内单调递增，求实数a的取值范围；(2)若320 a，试判断函数)(xf的零点个数.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐
9、标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为141622xy，以O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3)3sin(.(1)求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；(2)设),(yxM为椭圆C上任意一点，求132 yx的最大值.23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数|2|)(xxf.(1)求不等式4)2()(xfxf的解集；(2)若)2()()(xfxfxg的最大值为m，对任意不想等的正实数ba,，证明：|)()(bamabfbaf.【模拟试卷】衡水金卷 2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题 Word
10、版含答案 试卷答案 一、选择题 1-5:DBBCD 6-10:ABCCA 11、12：CA 二、填空题 13.0 14.31 15.21 16.34 三、解答题 17.解：(1)在ABC中，BcCbAacoscoscos2,由正弦定理，得BCCBAcossincossincossin2 ACBsin)sin(，0sinA，21cosA，0A，3A.(2)在ABC中，由余弦定理得 AACABACABBCcos2222，即ACAC24162,解得131AC,或131AC（负值，舍去）BD是ABC的平分线，4,2BCAB，21BCABDCAD,313131ACAD.18.解：(1)取线段1AB的中点
11、E，连结EMDE,.1,EBAEDBAD,1/BBDE，且121BBDE.【模拟试卷】衡水金卷 2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题 Word 版含答案 又M为1CC的中点，1/BBCM,且121BBCM.DECM/,且DECM.四边形CDEM是平行四边形.EMCD/.又EM平面CDMAB,1平面MAB1,/CD平面1MAB.(2)1,CCCBCA两两垂直，以C为原点，1,CCCBCA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，如图,三棱柱111CBAABC 中，1CC平面ABC，MAC即为直线AM与平面ABC所成的角.设1AC，则由23tanMA
12、C，得23CM.23,0,0,2,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,01MBBAC.2,1,1,23,0,11ABAM,设平面1AMB的一个法向量为zyxn,，则,02,0231zyxnABzxnAM 令2z，得1,3yx，即)2,1,3(n.【模拟试卷】衡水金卷 2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题 Word 版含答案 又平面11BBCC的一个法向量为)0,0,1(CA,14143|,cos|nCAnCAnCA,又二面角11CMBA的平面角为钝角，二面角11CMBA的余弦值为14143.19.解：(1)众数为 76，中位数为 76.抽取的 12 人中，70
13、 分以下的有 4 人，不低于 70 分的有 8 人，故从该校学生中人选 1 人，这个人测试成绩在 70 分以上的概率为32128，故该校这次测试成绩在 70 分以上的约有2000323000（人）(2)由题意知 70 分以上的有 72，76，76，76，82，88，93，94.当所选取的四个人的成绩的平均分大于 87 分时，有两类.一类是 82，88，93，94，共 1 种；另一类是 76，88，93，94，共 3 种.所以 3524087(48CXp.由题意可得，的可能取值为 0，1，2，3，4 701)0(484404CCCP,35870161483414CCCP,35187036)2(4
14、82424CCCP,35870163481434CCCP,701)4(480444CCCP.的分别列为【模拟试卷】衡水金卷 2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题 Word 版含答案 0 1 2 3 4 P 701 358 3518 358 701 2701435833518235817010E 20.解：(1)由已知得,22221,31222bacbcac 解得1,8,9222cba，椭圆C的方程为18922yx.(2)设 2211,yxNyxM，MN的中点为00,yxE，点0,mG，使得GNGM,则MNGE.由,189,222yxkxy得036369822kxx
15、k，由0，得Rk.8936221kkxx，89162,891820020kkxykkx.,MNGE kkGE1，即kkkk189180891622，kkkkm8928922.当0k时，21289289kk（当且仅当kk89，即322k时，取等号），【模拟试卷】衡水金卷 2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题 Word 版含答案 0122m；当0k时，21289kk（当且仅当kk89，即322k时，取等号），1220 m，点G的横坐标的取值范围为122,00,122U.21.解：(1)函数 xf在区间，0内单调递增，01)(axexfx在区间，0内恒成立.即xeax在
16、区间，0内恒成立.记 xexgx，则01)(xexg恒成立，xg在区间，0内单调递减,10 gxg，1a，即实数a的取值范围为，1.(2)320 a，axexfx1)(，记)()(xfxh，则01)(2axexhx，知)(xf在区间,a内单调递增.又011)0(af，01)1(aaef，)(xf在区间,a内存在唯一的零点0 x，即01)(000axexfx，于是axex010，axx00ln.当0 xxa时，)(,0)(xfxf单调递减；当0 xx 时，)(,0)(xfxf单调递增.【模拟试卷】衡水金卷 2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题 Word 版含答案 )
17、ln(200min0axaexfxfx aaaxaxxaax3231210000，当且仅当10 ax时，取等号.由320 a，得032 a，00minxfxf，即函数 xf没有零点.22.解：(1)由33sin，得3cos23sin21，将sin,cosyx代入，得直线l的直角坐标方程为063 yx.椭圆C的参数方程为(sin4,cos2yx为参数）.(2)因为点M在椭圆C上，所以设)sin4,cos2(M，则1sin4cos34132 yx 913sin8，当且仅当13sin时，取等号，所以9132max yx.23.解：(1)不等式 4)2(xfxf，即42xx，此不等式等价于,42,0 xxx【模拟试卷】衡水金卷 2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题 Word 版含答案 或,42,20 xxx或.42,2xxx 解得01x，或20 x，或32 x.所以不等式 4)2(xfxf的解集为31|xx.(2)|2|)2()(xxxfxfxf，因为2|2|2xxxx，当且仅当0 x时，取等号，所以 2xg，即2m，因为ba,为正实数，所以 22abbaabfbaf babaabbabaab2222 bamba 2，当且仅当022ab时，取等号.即|bamabfbaf.