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1、 3.3 导数在函数最值及生活实际中的应用 考纲要求 1会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)2会用导数解决某些实际问题 1函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间a，b上连续的函数f(x)，在a，b上_有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)_有最大值与最小值 (2)求最大值与最小值的步骤：设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的_值；将f(x)的各_值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 2解决优化问题的基本思路 1函数f(x)xe
2、x，x0,4的最大值是()A0 B.1e C.4e4 D.2e2 2函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A0a1 B0a1 C1a1 D0a12 3函数f(x)2x33x212x5 在0,3上的最大值是_，最小值是_.4当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的底面半径为_时，才能使饮料罐的体积最大 5已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y13x381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_万件 一、函数的最值与导数【例 11】已知f(x)xln x.(1)求函数yf(x)的图象在xe 处的切线方程；(2)设实数
3、a0，求函数F(x)fxa在a,2a上的最小值【例12】已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值 方法提炼 1求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 2函数极值与最值的区别与联系：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最
4、大、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的比较 因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值 请做演练巩固提升 1,4 二、运用导数证明不等式问题 【例 2】设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21 且x0 时，exx22ax1.方法提炼 利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0
5、，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)什么时候可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口 请做演练巩固提升 5 三、利用导数解决实际生活中的优化问题【例 31】在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为_(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)【例 32】某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件，产品的正品率P与日产量x(xN*)件之间的关系为P4 200 x24 500，每生产一件正品盈利 4 000 元，每出现一件次品亏损 2 000 元(注：正品率产品中的正品件数产品总件数100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)该厂的
6、日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值 方法提炼 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，根据实际意义确定定义域；2求函数yf(x)的导数f(x)，解方程f(x)0 得出定义域内的实根，确定极值点；3比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；4还原到原实际问题中作答 请做演练巩固提升 2 关于导数主观题的规范解答 【典例】(12 分)已知函数f(x)12x2aln x.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求函数f(x)在1
7、，e上的最大值和最小值；(3)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)23x3的图象的下方 分析：规范解答：(1)由于函数f(x)的定义域为(0，)，当a1 时，f(x)x1xx1x1x，(1 分)令f(x)0 得x1 或x1(舍去)，当x(0,1)时，函数f(x)单调递减，当x(1，)时，函数f(x)单调递增，(4 分)所以f(x)在x1 处取得极小值为12.(5 分)(2)当a1 时，易知函数f(x)在1，e上为增函数，(6 分)f(x)minf(1)12，f(x)maxf(e)12e21.(7 分)(3)设F(x)f(x)g(x)12x2ln x23 x3，则F(x
8、)x1x2x21x1x2x2x，(9 分)当x1 时，F(x)0，故f(x)在区间(1，)上是减函数 又F(1)160，在区间1，)上，F(x)0 恒成立，即F(x)g(x)恒成立(11 分)因此，当a1 时，在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方(12 分)答题指导：1.导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间，关键是求解不等式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小；参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用 2对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究问题 1函数f
9、(x)12ex(sin xcos x)在区间0，2上的值域为()A21 1,e2 2 B21 1,e2 2 C1，2e D(1，2e)2如图，某农场要修建 3 个养鱼塘，每个面积为 10 000 米2，鱼塘前面要留 4米的运料通道，其余各边为 2 米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为()A长 102 米，宽5 00051米 B长 150 米，宽 66 米 C长、宽均为 100 米 D长 150 米，宽2003米 3若函数f(x)xx2a(a0)在1，)上的最大值为33，则a的值为_ 4(2012 重庆高考)已知函数f(x)ax3bxc在点x2 处取得极值c16.(1)求a，b的
10、值；(2)若f(x)有极大值 28，求f(x)在3,3上的最小值 5已知函数f(x)(a1)ln xax21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a2，证明对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.6如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点已知AB3 米，AD2 米 (1)设ANx(单位：米)，要使花坛AMPN的面积大于 32 平方米，求x的取值范围；(2)若x3,4)(单位：米)，则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积 参考答案 基础梳理自测 知
11、识梳理 1(1)必 不一定(2)极 极 f(a)，f(b)2用函数表示的数学问题 基础自测 1B 解析：f(x)exxex(ex)21xex ex(1x)，令f(x)0，x1.又f(0)0，f(4)4e4，f(1)e11e，f(1)为最大值 2B 解析：y3x23a，令y0，可得ax2.又x(0,1)，0a1.35 15 解析：f(x)6x26x12，令f(x)0，即 6x26x120，则x1 或x2.又x0,3，故x1 应舍去 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如表：x 0(0,2)2(2,3)3 f(x)0 f(x)5 15 4 f(x)max5，f(x)min15.4.S6 解析：
12、设圆柱形金属饮料罐的底面半径为R，高为h.S2Rh2R2 x1，f(e)e，且f(e)2，函数yf(x)在xe 处的切线方程为y2(xe)e，即y2xe.(2)F(x)1a(ln x1)，令F(x)0 得x1e.当x0，1e时，F(x)0，F(x)单调递减；当x1e，时，F(x)0，F(x)单调递增 当a1e时，F(x)在a,2a上单调递增，F(x)minF(a)ln a；当a1e2a，即12ea1e时，F(x)在a，1e上单调递减，在1e，2a上单调递增，F(x)minF1e1ea；当 2a1e，即 0a12e时，F(x)在a,2a上单调递减 F(x)minF(2a)2ln 2a.【例 12
13、】解：(1)由题意得f(x)3ax22xb.因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意实数x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，从而 3a10，b0，解得a13，b0.因此f(x)13x3x2.(2)由(1)知g(x)13x32x，所以g(x)x22.令g(0)0，解得x1 2，x2 2，则当x 2或x 2时，g(x)0，从而g(x)在区间(，2，2，)上是减函数；当 2x 2时，g(x)0，从而g(x)在 2，2上是增函数 由前面讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最
14、小值只能在x1，2，2 时取得，而g(1)53，g(2)4 23，g(2)43.因此g(x)在区间1,2上的最大值为g(2)4 23，最小值为g(2)43.【例 2】(1)解：由f(x)ex2x2a，xR 知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0 f(x)单调递减 2(1ln 2a)单调递增 故f(x)的单调递减区间是(，ln 2，单调递增区间是ln 2，)，f(x)在xln 2 处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明：设g(x)ex
15、x22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21 时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在 R 内单调递增 于是当aln 21 时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0，即 exx22ax10，故 exx22ax1.【例 31】63d 解析：下图为圆木的横截面，b2 xcos x)12ex(cos xsin x)excos x.0 x2，f(x)0，f(x)在0，2上不恒为 0，f(x)在0，2上为增函数，f(x)的最大值为f221e2，f(x)的最小值为
16、f(0)12，f(x)21 1,e2 2.2D 解析：设鱼塘长、宽分别为y米、x米，依题意xy10 000.设占地面积为S，则S(3x8)(y6)18x80 000 x30 048，令S1880 000 x20，得x2003.此时y150.3 31 解析：f(x)x2a2x2(x2a)2ax2(x2a)2，当xa时，f(x)0，f(x)单调递减，当axa时，f(x)0，f(x)单调递增，若当xa时，f(x)maxa2a33，a321，不合题意 f(x)maxf(1)11a33，a 31.4解：(1)因f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b，由于f(x)在点x2 处取得极值c16，故有 f(
17、2)0，f(2)c16，即 12ab0，8a2bcc16，化简得 12ab0，4ab8，解得a1，b12.(2)由(1)知f(x)x312xc；f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2,2)上为减函数；当x(2，)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数 由此可知f(x)在x12 处取得极大值f(2)16c，f(x)在x22 处取得极小值f(2)c16.由题设条件知 16c28 得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)
18、在3,3上的最小值为f(2)4.5 解：(1)由题意知f(x)的定义域为(0，)，f(x)a1x2ax2ax2a1x.当a0 时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a1 时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当1a0 时，令f(x)0，解得xa12a.则当x0，a12a时，f(x)0；xa12a，时，f(x)0.故f(x)在0，a12a上单调递增，在a12a，上单调递减 (2)证明：不妨假设x1x2.由(1)知当a2 时，f(x)在(0，)上单调递减所以|f(x1)f(x2)|4|x1x2|等价于f(x2)f(x1)4x14x2，即f(x2)4x2f(x1)4x1.令g(
19、x)f(x)4x，则g(x)a1x2ax42ax24xa1x.于是g(x)4x24x1x(2x1)2x0.从而g(x)在(0，)上单调递减，故g(x1)g(x2)，即f(x1)4x1f(x2)4x2，故对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.6解：由于DNANDCAM，则AM3xx2，故SAMPNANAM3x2x2.(1)由SAMPN32 得3x2x232，因为x2，所以 3x232x640，即(3x8)(x8)0，从而 2x83或x8，即x的取值范围是2，83(8，)(2)令y3x2x2，则y6x(x2)3x2(x2)23x(x4)(x2)2，因为当x3,4)时，y0，所以函数y3x2x2在3,4)上为单调递减函数，从而当x3 时y3x2x2取得最大值，即花坛AMPN的面积最大为 27 平方米，此时AN3 米，AM9 米