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1、 3.4 微积分基本定理 考纲要求 1了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 2了解微积分基本定理的含义 1定积分的定义 设函数yf(x)定义在区间a，b上 用分点ax0 x1x2xn1xnb，把区间a，b分为n个小区间，其长度依次为 xixi1xi，i0,1,2，n1.记为这些小区间长度的最大者，当趋近于 0 时，所有的小区间长度都趋近于 0.在每个小区间内任取一点i，作和式Ini0n1f(i)xi.当0 时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作_，即abf(x)dxlim0i0n1f(i)xi.其中f(x)叫做被积函数，
2、a叫积分下限，b叫积分上限f(x)dx叫做被积式此时称函数f(x)在区间a，b上可积 2定积分的性质(1)abcfxdx_(c为常数)；(2)abf1xf2xdx_；(3)abfxdx_.3微积分基本定理 如果F(x)f(x)，且f(x)在a，b上可积，则abf(x)dxF(b)F(a)其中F(x)叫做f(x)的一个_ 由于F(x)cf(x)，F(x)c也是f(x)的原函数，其中c为常数 一般地，原函数在a，b上的改变量F(b)F(a)简记作_因此，微积分基本定理可以写成形式：abf(x)dxF(x)|baF(b)F(a)4定积分在几何中的应用(1)如图，当xa，b，f(x)0 时，由直线xa
3、，xb(ab)，y0 和曲线yf(x)围成的曲边梯形的面积S_.(2)如图，当xa，b，f(x)0 时，由直线xa，xb(ab)，y0 和曲线yf(x)围成的曲边梯形的面积S_.(3)如图，当xa，b，f(x)g(x)0 时，由直线xa，xb(ab)和曲线yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积S_.(4)若f(x)是偶函数，则aafxdx20afxdx；若f(x)是奇函数，则aafxdx0.5定积分在物理中的应用(1)匀变速运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sabv(t)dt.(2)变力做功公式 一物体在
4、变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F(x)相同的 方向从xa移动到xb(ab)(单位：m)，则变力F(x)所做的功WabF(x)dx.1.421xdx()A2ln 2 B2ln 2 Cln 2 Dln 2 2下列值等于 1 的积分是()A.10 xdx B.10(x1)dx C.101dx D.1012dx 3函数F(x)x0t(t4)dt在1,5上()A有最大值 0，无最小值 B有最大值 0，最小值323 C有最小值323，无最大值 D既无最大值也无最小值 4 如图，函数yx22x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()A1 B43 C
5、 3 D2 5根据定积分的几何意义计算定积分：31|x2|dx_.6(2012 山东高考)设a0，若曲线yx与直线xa，y0 所围成封闭图形的面积为a2，则a_.一、利用微积分基本定理计算定积分 【例 1】计算下列定积分：(1)31(3x22x1)dx；(2)e1x1x1x2dx；(3)设f(x)x2，x0，1，1x，x1，e，试求e0f(x)dx的值 方法提炼 计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用微积分基本定理求出
6、各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值 提醒：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算 请做演练巩固提升 2 二、定积分在物理中的应用【例 2】列车以 72 km 2 D2ln 2 2已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1030(12x)dx，S2017，则S30为()A15 B20 C25 D30 3设函数f(x)ax2c(a0)，若10f(x)dxf(x0)，其中1x00，则x0_.4一物体受到与它运动方向相反的力F(x)110exx
7、的作用，则它从x0 运动到x1 时F(x)所做的功等于_ 5求定积分101x2dx.参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1.()dbaf xx 2(1)()dbacf xx(2)1()dbaf xx2()dbafxx(3)()dcaf xx()dbcf xx(acb)3原函数()baF x 4(1)()dbaf xx(2)()dbaf xx(3)()()dbaf xg xx 基础自测 1D 解析：421dxxln x42 ln 4ln 2ln 2.2C 解析：101dxx10101.3B 解析：F(x)0 xt(t4)dt 0 x(t24t)dt13t32t20 x 13x32x2，函数F(x)
8、的极值点为x0，x4，F(1)73，F(0)0，F(4)323，F(5)253，故F(x)在1,5上有最大值 0，最小值323.4B 解析：由 yx22x1，y1，得x10，x22.S20(x22x11)dx 20(x22x)dx x33x22083443.5 1 解析：根据定积分的几何意义，所求的定积分就是函数y|x2|的图象、直线x1，x3 和x轴所围成的图形的面积，故S31|x2|dx121112111.6.49 解析：由题意可得曲线yx与直线xa，y0 所围成封闭图形的面积S0axdx32023ax3223aa2，解得a49.考点探究突破【例 1】解：(1)31(3x22x1)dx(x
9、3x2x)|3124.(2)e1x1x1x2dxe1xdxe11xdxe11x2dx12x2e1ln xe11xe1 12(e21)(ln eln 1)1e11 12e21e32.(3)e0f(x)dx10 x2dxe11xdx 13x310ln xe1 13ln e43.【例 2】解：因列车停在车站时，速度为 0，故应先求出速度的表达式，之后令v0，求出t，再根据v和t应用定积分求出路程 已知列车速度v072 km的前n项和，所以S10，S20S10，S30S20成等差数列，即 12,5，S3017 成等差数列，易得S3015.333 解析：10(ax2c)dx13ax3cx1013acf(x0)ax02c，x0213.又1x00，x033.4e1025 解析：由题意知F(x)所做的功为10110exxdx 110ex12x210e1025.5解：定积分101x2dx的几何意义就是圆x2y21 在第一象限同坐标轴围成的图形的面积，故101x2dx4.