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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标 2 卷）文科数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（）A B C D 1【答案】D【解析】2i 23i2i3i32i ，故选 D 2已知集合，则（）A B C D 2【答案】C【解析】1,3,5,7A，2,3,4,5B，3,5AB，故选 C 3函数的图像大致为（）3【答案】B【解析】0 x，2e
2、exxfxfxx，f x为奇函数，舍去 A，11ee0f，舍去 D；243eeee22 e2 exxxxxxxxxxfxxx，2x，0fx，所以 舍去 C；因此选 B 4已知向量，满足，则（）A4 B3 C2 D0 4【答案】B【解析】因为 2222212 13 aabaa ba，所以选 B i 23i32i32i32i 32i 1,3,5,7A 2,3,4,5B AB 353,51,2,3,4,5,7 2eexxf xxab|1a1 a b(2)aab 5从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（）A B C D 5【答案】D【解析】设
3、2 名男同学为1A，2A，3 名女同学为1B，2B，3B，从以上 5 名同学中任选 2人 总共有12A A，1 1A B，12A B，13A B，21A B，22A B，23A B，12B B，13B B，23B B共 10 种可能，选中的 2 人都是女同学的情况共有共12B B，13B B，23B B三种可能则选中的 2 人都是女同学的概率为30.310P，故选 D 6双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A B C D 6【答案】A【解析】3cea，2222221312bcaeaa ，2ba，因为渐近线方程为byxa，所以渐近线方程为2yx，故选 A 7在中，则（）A B C D 7【答案
4、】A【解析】因为2253cos2cos121255CC ，所以22232cos1252 1 5325cababC ，4 2c，选 A 8 为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）0.60.50.40.322221(0,0)xyabab32yx3yx22yx 32yx ABC5cos25C1BC 5AC AB 4 230292 511111123499100S A B C D 8【答案】B【解析】由11111123499100S 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减因此在空白框中应填入2ii，选 B 9在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A B C D
5、 9【答案】C【解析】在正方体1111ABCDA B C D中，CDAB，所以异面直线AE与CD所成角为EAB，设正方体边长为2a，则由E为棱1CC的中点，可得CEa，所以5BEa，则55tan22BEaEABABa故选 C 10若在是减函数，则的最大值是（）A B C D 10【答案】C【解析】因为 cossin2cos4fxxxx，所以由0224kxk，k Z 得32244kxk，k Z，因此30,44a，04a，从而a的最大值为4，故选 C 11已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（）A B C D 11【答案】D 开始0,0NTSNTS输出1i 100i 1NNi1
6、1TTi结束是否1ii 2ii 3ii 4ii 1111ABCDABC DE1CCAECD22325272()cossinf xxx0,aa42341F2FCPC12PFPF2160PF FC3122331231【解析】在12F PF中，1290F PF，2160PF F，设2PFm，则1222cF Fm，13PFm，又由椭圆定义可知12231aPFPFm则离心率2231231ccmeaam，故选 D 12已知是定义域为的奇函数，满足若，则（）A B0 C2 D50 12【答案】C【解析】因为 f x是定义域为,的奇函数，且11fxfx，所以11fxf x，311fxf xf x，4T，因此
7、1235012123412ffffffffff，因为 31ff，42ff，所以 12340ffff，222fff，20f，从而 1235012fffff，选C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。、13曲线在点处的切线方程为_ 13【答案】22yx【解析】由 2lnyf xx，得 2fxx，则曲线2lnyx在点1,0处的切线的斜率为 12kf，则所求切线方程为021yx，即22yx 14若满足约束条件 则的最大值为_ 14【答案】9【解析】不等式组表示的可行域是以5,4A，1,2B，5,0C为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数zxy的最大值必在顶点处取得，易知当5x
8、，4y 时，max9z 15已知，则_()f x(,)(1)(1)fxfx(1)2f(1)(2)(3)fff(50)f502lnyx(1,0),x y250,230,50,xyxyxzxy51tan()45 tan 15【答案】32【解析】5tantan5tan114tan541tan51tantan4，解方程得3tan2 16已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为_ 16【答案】8【解析】如下图所示，30SAO，90ASB，又211822SABSSA SBSA，解得4SA，所以122SOSA，222 3AOSASO，所以该圆锥的体积为 2183VO
9、ASO 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值 17【答案】（1）29nan；（2）16【解析】（1）设 na的公差为d，由题意得13315ad 由17a 得2d，所以 na的通项 公式为29nan（2）由（1）得228416nSnnn 所以当4n 时，nS取得最小值，最小值为16 18（12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额（单
10、位：亿元）的折线图 SSASBSA30SAB8nSnan17a 315S nanSnSy 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为）建立模型：；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为）建立模型：（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 18【答案】（1）模型226.1亿元，模型256 5亿元；（2）模型，见解析【解析】（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的
11、预测值为 30.413.5 19226.1y （亿元）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 9917 59256 5y（亿元）（2）利用模型得到的预测值更可靠 理由如下：（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5yt 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势
12、，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型9917 5yt可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 2261 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 19（12 分）如图，在三棱锥中，为的中点 ytt1,2,1730.413.5yt t1,2,79917.5ytPABC2 2ABBC4PAPBPCACOAC （1）证
13、明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离 19【答案】（1）见解析；（2）4 55【解析】（1）因为4APCPAC，O为AC的中点，所以OPAC，且2 3OP 连结OB 因为22ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，122OBAC 由222OPOBPB知，OPOB由OPOB，OPAC知PO 平面ABC （2）作CHOM，垂足为H又由（1）可得OPCH，所以CH 平面POM 故CH的长为点C到平面POM的距离 由题设可知122OCAC，24 233BCCM，45ACB 所以2 53OM，sin4 55COC MCAMHCBO 所以点C到平面POM的距离为4 55 20（1
14、2 分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线 与交于，两点，（1）求 的方程 （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程 20【答案】（1）1yx；（2）223216xy或22116144xy【解析】（1）由题意得1,0F，l的方程为1yk x，0k 设11,A x y，22,B xy由214yk xyx得2222240k xkxk 216160k，故212224kxxk 所以 21224411kABAFBFxxk PO ABCMBC2MCMBCPOM24Cyx：FF(0)k k lCAB|8AB lABC由题设知22448kk，解得1k （舍去），1k 因此l的方程为1yx（2）由（1）得AB的中
15、点坐标为3,2，所以AB的垂直平分线方程为 23yx，即5yx 设所求圆的圆心坐标为00,xy，则 0022000511162yxyxx，解得0032xy或00116xy，因此所求圆的方程为223216xy或22116144xy 21（12 分）已知函数 （1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点 21【答案】（1）2,33，32 3,单调递增，32 3,32 3单调递减；（2）见解析【解析】（1）当3a 时，3213333f xxxx，263xxfx 令 0fx解得32 3x 或32 3x 当323,x32 3,时，0fx；当32 3,32 3x时，0fx 故 f x在2,33，32
16、3,单调递增，在32 3,32 3单调递减（2）由于210 xx，所以()0f x 等价于32301xaxx 设()g x=3231xaxx，则 22222310 xxxxxgx，仅当0 x 时 0gx，所以 g x 在，单调递增，故 g x至多有一个零点，从而 f x至多有一个零点 又22111631260366aaafa，03131fa，故 f x有一个零点 综上，f x只有一个零点 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线 的参数方程为
17、（为参数）（1）求和 的直角坐标方程；（2）若曲线截直线 所得线段的中点坐标为，求 的斜率 32113f xxa xx3a()f x()f xxOyC2cos,4sinxyl1cos,2sinxtyt tClCl(1,2)l22【答案】（1）221416xy，当cos0，tan2tanyx；当cos0，1x；（2）2【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为221416xy 当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x （2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程 221 3cos4 2cossin80tt 因为曲线C截直线l所得线段的中点
18、1,2在C内，所以有两个解，设为1t，2t，则120tt 又由得1224 2cossin13costt，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k 23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数 （1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围 23【答案】（1）|23xx；（2）,62,【解析】（1）当1a 时，24,12,1226,2xxf xxxx ，可得 0f x 的解集为|23xx （2）1f x 等价于24xax，而22xaxa，且当2x 时等号成立故 1f x 等价于24a，由24a 可得6a 或2a，所以a的取值范围是,62,()5|2|f xxax1a()0f x()1f
19、 x a绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 1D 2C 3B 4B 5D 6A 7A 8B 9C 10C 11D 12C 二、填空题 13y=2x2 149 15 168 三、解答题 17解：（1）设an的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15 由 a1=7 得 d=2 所以an的通项公式为 an=2n9（2）由（1）得 Sn=n28n=（n4）216 所以当 n=4 时，Sn取得最小值，最小值为16 18解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为=30.4+13.519=226.1（亿元）利用模型，该地区 20
20、18 年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.59=256.5（亿元）（2）利用模型得到的预测值更可靠 理由如下：（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型=99+17
21、.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 19解：（1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OPAC，且 OP=连结 OB 因为 AB=BC=，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB=2 由知，OPOB 由 OPOB，OPAC 知 PO平面
22、ABC 32yyy2 322AC12AC222OPOBPB（2）作 CHOM，垂足为 H又由（1）可得 OPCH，所以 CH平面 POM 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离 由题设可知 OC=2，CM=，ACB=45 所以 OM=，CH=所以点 C 到平面 POM 的距离为 20解：（1）由题意得 F（1，0），l 的方程为 y=k（x1）（k0）设 A（x1，y1），B（x2，y2）由得，故 所以 由题设知，解得 k=1（舍去），k=1 因此 l 的方程为 y=x1（2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为，即 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0
23、），则 解得或 因此所求圆的方程为 或 21解：（1）当 a=3 时，f（x）=，f（x）=令 f（x）=0 解得 x=或 x=当 x（，）（，+）时，f（x）0；当 x（，）时，f（x）0 12AC23BC4 232 53sinOC MCACBOM4 554 552(1)4yk xyx2222(24)0k xkxk216160k 212224kxxk212244(1)(1)kABAFBFxxk22448kk2(3)yx 5yx 00220005(1)(1)16.2yxyxx，0032xy，00116.xy，22(3)(2)16xy22(11)(6)144xy3213333xxx263xx32
24、 332 332 332 332 332 3故 f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（2）由于，所以等价于 设=，则 g（x）=0，仅当 x=0 时 g（x）=0，所以g（x）在（，+）单调递增故 g（x）至多有一个零点，从而 f（x）至多有一个零点 又 f（3a1）=，f（3a+1）=，故 f（x）有一个零点 综上，f（x）只有一个零点 22解：（1）曲线的直角坐标方程为 当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为（2）将 的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于 的方程 因为曲线截直线 所得线段的中点在内，所以有两个解，设为，则 又由得，故，于是直线 的斜率 23解：（
25、1）当时，可得的解集为（2）等价于 而，且当时等号成立故等价于 由可得或，所以的取值范围是 32 332 332 332 3210 xx()0f x 32301xaxx()g x3231xaxx2222(23)(1)xxxxx22111626()0366aaa 103C221416xycos0ltan2tanyxcos0l1x lCt22(13cos)4(2cossin)80ttCl(1,2)C1t2t120tt1224(2cossin)13costt 2cossin0ltan2k 1a 24,1,()2,12,26,2.xxf xxxx ()0f x|23xx()1f x|2|4xax|2|2|xaxa2x()1f x|2|4a|2|4a 6a 2a a(,62,)