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1、 1/8 2017 年镇海中学数学竞赛模拟试卷（1）姓名_ 一、填空题 1、已知函数1)1(ln)(22axxaxf)0(a,则)1(ln)(lnafaf_。2、A，B 两点分别在抛物线xy62和1)2(:22yxC上,则AB的取值范围是_。3、若20tan3tan，则的最大值为_.4、已知 ABC 等腰直角三角形，其中C 为直角，AC=BC=1，过点 B 作平面 ABC 的垂线DB，使得 DB=1，在 DA、DC 上分别取点 E、F，则 BEF 周长的最小值为_.5、已知函数xxxf3)(3，对任意的2,2m，0)2()8(xfmxf恒成立,则正实数x 的取值范围为_.2/8 6、已知向量c
2、,b,a满足)(3:2|:|:|*Nkkcba，且)(2bcab，若为c,a的夹角，则cos的值为_。7、现有一个能容纳 10 个半径为 1 的小球的封闭的正四面体容器,则该容器棱长最小值为_.8、将 10 个小球（5 个黑球和 5 个白球）排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球,黑球的个数总不少于白球个数的概率为_。二、解答题 9.（本小题满分 14 分)在 ABC 中，内角 A,B,C 对边的边长分别是 a，b,c,向量BCAsin,sinsinp，向量),(abcaq，且满足qp.(）求 ABC 的内角 C 的值;(）若 c=2，2sin2A+sin(2B+C)=sin
3、C，求 ABC 的面积。3/8 10.(本小题满分 14 分）已知数列 na满足：nnnaa,aa22211.（1)求证：数列)1lg(na是等比数列,并求 na的通项公式；（2）若211nnnaab,且数列 nb的前 n 项和为nS，求证：1nS.11.(本小题满分 14 分）设aaxexfx)(。（e 是自然对数的底数）(）若0)(xf对一切1x恒成立，求 a 的取值范围；（）求证:211008)20162015(e。4/8 12.(本小题满分 15 分）设正数 x,y 满足yxyx33，求使122 yx恒成立的实数的最大值。13.（本小题满分 15 分）已知椭圆12:22 yxC及点)2
4、1,1(P，过点 P 作直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，过 A、B 两点分别作 C 的切线交于点 Q。(1)求点 Q 的轨迹方程；(2)求 ABQ 的面积的最小值。5/8 2017 年高中数学竞赛模拟试卷（1）答案 1.【解析】22)1ln(2)1ln()1ln()()(22222222xaxaaxxaaxxaxfxf.2.【解析】由于1 ACAB，则只需要考虑AC的范围。，故又2,0,3)1(426)2()2(min222222ACxxxxxxyxAC故AB的取值范围为，1.3.【解析】6tan33tan3tan12tan31tan2tantan1tantantan2.2020，.
5、6 4.【解析】由题意可知，4CDB，且BDA 与CDA之和为2.如图，将侧面 BDA 和侧面 CDB 分别折起至面DAB1和DCB2,且与侧面 ADC 位于同一个平面上.则 BEF周长的最小值即面CDBAB21上两点21,BB之间的线段长.由前面的分析可知,43422121CDBADCDABDBB,由余弦定理可得，.DBBDBDBDBDBBB2222211cos22121222121 所以，BEF 周长的最小值为22.5.【解 析】xxxf3)(3为 奇 函 数 且 为 增 函 数0)2()8(xfmxf等 价 于)2()2()8(xxffmxf即xmx28即082xmx对任意的2,2m成立
6、即08220822xxxx,所以4020 xx，即0 x2 6.【解析】由)(2bcab得cab3231所以cacab949491222，又3:2|:|:|kcba，所以964,916cos9249402k,又*Nk，所以 k=2,所以cos的值为61。7.【解析】这 10 个小球成棱锥形来放，第一层 1 个，第 2 层 3 个，第 3 层 6 个，即每一条棱是 3 个小球，于是正四面体的一条棱长就应该是 4 倍的小球的半径加上 2 倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上的射影的长度，又球心到顶点的距离为 3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为36,故容器棱长的最小值为62436324.8.【解析】
7、法 1：如果只有 2 个小球（1 黑 1 白）,则黑球的个数总不少于白球个数的概率为21；6/8 如果只有 4 个小球（2 黑 2 白）,则黑球的个数总不少于白球个数的概率为31;如果只有 6 个小球（3 黑 3 白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为41；以此类推，可知将 10 个小球（5 个黑球和 5 个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球.无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为61；法 2：直接从 10 个小球入手分类讨论。9.【解析】(）由题意qp，所以,0sinsinsinBabCAca.由正弦定理，可得 0babcaca.整理得abbca222.由余弦定理
8、可得，212cos222abcbaC,又，C0，所以，3C 6 分(）由CCBAsin2sin2sin2可得,ABABAAsinsincossin4。整理得，ABABABAAcossin2sinsincossin4。当0cosA时，2A，此 时，3323cot2b。所 以 ABC的 面 积 为33221bcSABC当0cosA时，上式即为ABsin2sin,有正弦定理可得 b=2a，又422abba，解 之 得,332a，334b，所 以 ABC的 面 积 为332sin21CabSABC。综上所述，ABC 的面积为332sin21CabSABC.14 分 10.【解析】(1）由已知得nnna
9、aa221，2111nnaa，因为21a，所以11na，两边取对数得nnaa1lg21lg1，即21lg1lg1nnaa，故1lgna为以 lg3 为首项，2 为公比的等比数列，即3lg21lg1nna，即1312nna。5 分(2)法 1：由nnnaaa221两边取倒数得2112111nnnaaa，所以12121nnnaaa，即1112nnnaab，10 分 故1312122nnS，故1nS.14 分 法 2：)131131(2133213113122222211nnnnnnnb，则11312122nnS.11.【解析】（）1110)(xxeaeaxxfx，7/8 令1)(xexhx，则2)
10、1()(xxexhx，由0)1()(2xxexhx得 x0.所以 h（x)在，0上单调递增，h（x）在（1,0)单调递减.所以11)0()(xhxh，由此得：1a.又 x=1 时，xeax1即为10ea，此时 a 取任意值都成立。综上得：1a.8 分()201612016121100820161120162015)20162015(eee.由（）知，当 a=1 时0)(xf对一切1x恒成立，即1 xex（x=0 时取等号)。取20161x，得20161201611e.即证得：211008)20162015(e。14 分 12【解析】由正数 x，y 满足yxyx33，知0 yx.令1yxt.不等
11、式122 yx等价于yxyxyx3322，等价于 yxyyxxyxyxy322332，等价于 232yyxyyx 等价于 112222ttyxyyx。因为22212)1(2212)1(211)(2tttttttf，等号仅当121tt，即21t时成立，所以，实数的最大值为222.15 分 13.【解析】（1)设),(),(),(002211yxQyxByxA，则12:11yyxxQA过Q，有120101yyxx；12:22yyxxQB,有120202yyxx，故直线12:00yyxxAB过点)21,1(P，则有 21220000yxyx故 Q 的轨迹方程为 x+y=2。5 分(2)对直线 AB,当斜率不存在时，即为 x=1,此时)0,2(),22,1(),22,1(QBA 221221ABQS 斜率存在时,设直线kkxyxkyAB21)1(21:.kkxyyx212222联立,消掉y 得0)2322()21(2)12(222kkxkkxk。于是有12232212)12(22221221kkkxxkkkxx 8/8 又,得到0200kyx与式联立,可解得)212,124(kkkQ。10 分