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1、-2018 年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）1.行列式4125的值为 【解析】18 2.双曲线2214xy的渐近线方程为 【解析】12yx 3.在71x的二项展开式中，2x项的系数为 【解析】21 4.设常数aR，函数 2logf xxa若 f x的反函数的图像经过点3,1，则a 【解析】7 5.已知复数z满足117i zii 是虚数单位，则z 【解析】5 6.记等差数列 na的前n项和为nS若30a，6714aa，则7S 【解析】14 7.已知1 12,1,1,2,32
2、 2 若幂函数 f xx为奇函数，且在0,上递减，则 【解析】1 8.在平面直角坐标系中，已知点1,0A、2,0B，E、F是y轴上的两个动点，且2EF，则AE BF的最小值为 【解析】3-9.有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是 【解析】15 10.设等比数列 na的通项公式为1*1nnaa qnN，前n项和为nS若11lim2nnnSa，则q 【解析】3q 11.已知常数0a，函数 22xxf xax的图像经过点61,55P pQ q、若236p qpq，则a 【解析】6a 12.22111x
3、y，22221xy，12120.5x xy y，则11221122xyxy的最大值为 【解析】利用两向量乘积、单位圆、点到直线:10l xy 距离公式，可得32 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）13.设P是椭圆22153xy上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）（A）2 2 （B）2 3 （C）2 5 （D）4 2【解析】（C）14.已知aR，则“1a”是“11a”的（）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件【解析】（A）15.九章算术 中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马 设1AA是正六棱柱
4、的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）（A）4 （B）8 （C）12 （D）16-【解析】（D）16.设D是含数 1 的有限实数集，f x是定义在D上的函数若 f x的图像绕原点逆时针旋转6后与原图像重合，则在以下各项中，1f的可能取值只能是（）（A）3 （B）32 （C）33 （D）0 【解析】（B）三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）17.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为 2，（1）设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积；（2）设4PO，O
5、AOB、是底面半径，且90AOB，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB 所成的角的大小【解析】（1）8 33V；（2）arctan17 18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）A1AOMPBA-设常数aR，函数 2sin22cosf xaxx（1）若 f x为偶函数，求a的值；（2）若314f，求方程 12f x 在区间,上的解 【解析】（1）0a；（2）115131924242424x、19.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班
6、族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当S中%0100 xx的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：30,0301800290,30100 xf xxxx单位：分钟，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为 40 分钟试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间 g x的表达式；讨论 g x的单调性，并说明其实际意义 【解析】（1）45100 x；（2）240,0301011358,301005010 xxg xxxx，g x在0,32.5x时单调递减，在32.5,100 x时单调递增实际意义
7、为：当S中32.5%的成员自驾时，该地上班族S的人均通勤时间达到最小值36.875分钟 -20.（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）设常数2t，在平面直角坐标系xOy中，已知点2,0F，直线l：xt，曲线：28yx0,0 xt y，l与x轴交于点A、与交于点B，P、Q分别是曲线与线段AB上的动点（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设3t，2FQ，线段OQ的中点在直线FP上，求AQP的面积；（3）设8t，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由 【解析】（1）2BFt；（2）
8、7 36AQPS；（3）2 4 5,55P 21.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）给定无穷数列 na，若无穷数列 nb满足：对任意n*N，都有1nnba，则称 nb与 na“接近”（1）设 na是首项为 1，公比为12的等比数列，11nnba，n*N，判断数列 nb是否与 na接近，并说明理由；（2）设数列 na的前四项为：11a，22a，34a，48a，nb是一个与 na接近的数列，记集合|,1,2,3,4iMx xb i，求M中元素的个数m；（3）已知 na是公差为d的等差数列，若存在数列 nb满足：nb与 na接近，且在21bb，32bb，201200bb中至少有 100 个为正数，求d的取值范围 【解析】（1）1112nnnba，所以 nb与 na“接近”；（2）10,2b，21,3b，33,5b，47,9b，|,1,2,3,4iMx xb i元素个数34m 或；（3）2d 时，10,1,2,200kkbbk，即21bb，32bb，201200bb中没有正数；当2d 时，存在12201,b bb使得210bb，320bb，430bb，540bb，2001990bb，2012000bb，即有 100 个正数，故2d -