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1、.精品.求轨迹方程的六种常用技法 轨迹方程的探求是解析几何中的根本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一.学生解这类问题时，不善于提醒问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进展无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助.本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法.1直接法 根据条件及一些根本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程.例 1线段6AB，直线BMAM,相交于M，且它们的斜率之
2、积是49，求点M 的轨迹方程.解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，那么(3,0),(3,0)AB，设点M的坐标为(,)x y，那么直线AM的斜率(3)3AMykxx，直线BM的斜率(3)3AMykxx 由有4(3)339yyxxx 化简，整理得点M的轨迹方程为221(3)94xyx 练习：1平面内动点P到点(10,0)F的距离与到直线4x 的距离之比为 2，那么点P的轨迹方程是 .2设动直线l垂直于x轴，且与椭圆2224xy交于A、B两点，P是l上满足1PA PB的点，求点P的轨迹方程.3.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的
3、轨迹是 A直线 B椭圆 C抛物线 D双曲线 2定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理.例 2假设(8,0),(8,0)BC为ABC的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和是30，那么ABC的重心轨迹方程是_.解：设ABC的重心为(,)G x y，那么由AC和AB两边上的中线长之和是30可得 230203BGCG，而点(8,0),(8,0)BC为定点，所以点G的轨迹为以,B C 为焦点的椭圆.所以由220,8ac可得2
4、210,6abac.精品.故ABC的重心轨迹方程是221(0)10036xyy 练习：4方程222(1)(1)|2|xyxy表示的曲线是 A椭圆 B双曲线 C线段 D抛物线 3点差法 圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其根本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x yB xy的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12xx，12yy，12xx，12yy等关系式，由于弦AB的中点(,)P x y的坐标满足122xxx，122yyy且直线AB的斜率为2121yyxx，由此可求得弦AB中点的轨迹方程.例 3椭圆22142xy中,过(1,1)P的弦恰被P点平分,那么该弦所在直
5、线方程为_.解：设过点(1,1)P的直线交椭圆于11(,)A x y、22(,)B xy，那么有 2211142xy 2222142xy 可得12121212()()()()042xxxxyyyy 而(1,1)P为线段AB的中点，故有12122,2xxyy 所以12121212()2()210422xxyyyyxx，即12ABk 所以所求直线方程为11(1)2yx 化简可得230 xy 练习：5以(2,2)P为圆心的圆与椭圆222xym交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.6双曲线2212yx，过点(1,1)P能否作一条直线l与双曲线交于,A B两点，使P 为线段AB的中点？4转移法 转
6、移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的.当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：某个动点P在方程的曲线上移动；另一个动点M随P的变化而变化；在变化过程中P和M满足一定的规律.例 4 P是以12,F F为焦点的双曲线221169xy上的动点，求12FF P的重心G 的轨迹方程.解：设 重心(,)G x y，点 00(,)P xy，因为12(4,0),(4,0)FF.精品.那么有30003044yyxx，故yyxx3030代入19201620yx 得所求轨迹方程 2291(0)16xyy 例 5抛物线24xy的焦点为F,过点(0,1)作直线l交抛物线A
7、、B两点,再以AF、BF为邻边作平行四边形AFBR，试求动点R的轨迹方程.解法一：转移法设(,)R x y，(0,1)F，平行四边形AFBR的中心为1(,)22x yP，将1ykx，代入抛物线方程,得2440 xkx，设1122(,),(,)A x yB xy，那么 21212121216160|14444kkxxkxxkx xx x 222212121212()24244xxxxx xyyk，P为AB的中点.1222122222121kyyykxxx3442kykx，消去k得 24(3)xy，由得，|4x，故动点R的轨迹方程为24(3)(|4)xyx.解法二：点差法设(,)R x y，(0,
8、1)F，平行四边形AFBR的中心为1(,)22x yP，设1122(,),(,)A x yB xy，那么有 2114xy 2224xy 由得12121212()()4()4lxxxxyyxxk 而P为AB的中点且直线l过点(0,1)，所以1211322,22lyxyxxx kxx 代入可得34yxx，化简可得22124124xxyy 由点1(,)22x yP在抛物线口内，可得221()48(1)22xyxy 将式代入可得222128(1)16|44xxxx.精品.故动点R的轨迹方程为24(3)(|4)xyx.练习：7(1,0),(1,4)AB，在平面上动点Q满足4QA QB，点P是点Q关于直线
9、2(4)yx的对称点，求动点P的轨迹方程.5参数法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化将其转化为寻求变量间的关系.在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进展讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等.例 6过点(2,0)M 作直线l交双曲线221xy于A、B两点，OPOAOB.1求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；2是否存在这样的直线l，使OAPB矩形？假设存在，求出l的方程；假设不存在，说明理由.解
10、：当直线l的斜率存在时，设l的方程为(2)(0)y k xk，代入方程221xy，得2222(1)4410kxk xk 因为直线l与双曲线有两个交点，所以210k，设1122(,),(,)A x yB xy，那么 22121222441,11kkxxx xkk 21212122244(2)(2)()4411kkkyyk xk xk xxkkkk 设(,)P x y，由OPOAOB 得212122244(,)(,)(,)11kkx yxxyykk 2224141kxkkyk 所以xky，代入241kyk可得241()xyyxy，化简得 2240 xyx即22(2)4xy 当直线l的斜率不存在时，
11、易求得(4,0)P 满足方程，故所求轨迹方程为22(2)4(0)xyy，其轨迹为双曲线.也可考虑用点差法求解曲线方程 2平行四边OPAB为矩形的充要条件是0OA OB即12120 x xy y 当k不存在时，A、B坐标分别为(2,3)、(2,3)，不满足式 当k存在时，2221 2121 2121 212(2)(2)(1)2()4x xy yx xk xk xkx xkxxk 2222222(1)(14)244011kkkkkkk化简得22101kk，此方程无实数解，故不存在直线l使OPAB为矩形.练习：8设椭圆方程为1422yx,过点(0,1)M的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满
12、足)(21OBOAOP,点N的坐标为)21,21(,当l绕点M旋转时,求:.精品.(1)动点P的轨迹方程；(2)|NP的最小值与最大值.9设点A和B为抛物线24(0)ypx p上原点O以外的两个动点，且OAOB，过O作OMAB于M，求点M的轨迹方程.6交轨法：假设动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程.例 7MN是椭圆12222byax中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线MA和NB的交点P的轨迹方程.解 1:(利用点的坐标作参数)令11(,)M x y，那么11(,)N xy 而(,0),(,0)AaB
13、 a.设AM与NB的交点为(,)P x y 因为,A M P共线，所以axyaxy11 因为,N B P共线，所以axyaxy11 两式相乘得22121222axyaxy，而1221221byax即2)212(221axaby代入 得22222abaxx，即交点P的轨迹方程为 12222byax 解 2:(利用角作参数)设(cos,sin)M ab，那么(cos,sin)N ab 所以 aabaxycossin ,aabaxycossin 两式相乘消去 即可得所求的P点的轨迹方程为 12222byax.练习：10两条直线01 yax和)1(01aayx的交点的轨迹方程是_ _.总结归纳 1要注
14、意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性和“纯粹性，即轨迹假设是曲线的一局部，应对方程注明x的取值范围，或同时注明,x y的取值范围.2“轨迹与“轨迹方程既有区别又有联系，求“轨迹时首先要求出“轨迹方程，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏和“去掉增多的点，假设轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性.精品.练习参考答案 122(2)11648xy 2解：设P点的坐标为(,)x y，那么由方程2224xy，得242xy 由于直线l与椭圆交于两点A、B，故22x 即A、B两点的坐标分别为2244(,),(,)
15、22xxA xB x 2244(0,),(0,)22xxPAy PBy 由题知1PA PB即2244(0,)(0,)122xxyy 22412xy 即2226xy 所以点P的轨迹方程为221(22)63xyx 3D【解析】在长方体1111ABCDABC D中建立如下图的空间直角坐标系，易知直线AD与11DC是异 面垂直的两条直线，过直线AD与11DC平行的平面是面ABCD，设在平面ABCD内动点(,)M x y满足到 直线AD与11DC的距离相等，作1MMMP于1M，MNCD于N，11NPDC于P，连结MP，易知MN 平面111,CDDC MPDC，那么有1MMMP，222|yxa(其中a是异
16、面直线AD与11DC 间的距离)，即有222yxa，因此动点M的轨迹是双曲线，选 D.4A 5解 设(,)M x y，1122(,),(,)A x yB xy 那么12122,2xxx yyy，由myx21221，myx22222 两式相减并同除以12()xx得 121212121122yyxxxxxyyy ,而1212AByykxx 22PMykx,又因为PMAB所以1ABPMkk 12122xyyx 化简得点M的轨迹方程240 xyxy 6先用点差法求出210 xy，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在.中点弦问题，注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进展检验，而双曲线
17、必须进展检验.7解：设(,)Q x y，那么(1,),(1,4)QAxy QBxy 由4(1,)(1,4)4(1)(1)()(4)4QA QBxyxyxxyy 即222(2)3xy 所以点Q的轨迹是以(0,2)C为圆心，以 3 为半径的圆.M O P B A y x.精品.点P是点Q关于直线2(4)yx的对称点.动点P的轨迹是一个以000(,)Cxy为圆心，半径为 3 的圆，其中000(,)Cxy是点(0,2)C关于直线2(4)yx的对称点，即直线2(4)yx过0CC的中点，且与0CC垂直，于是有 00002210202422yxyx 即000000240821802yxxyxy 故动点轨迹方
18、程为22(8)(2)9xy.8解：(1)解法一:直线l过点(0,1)M，设其斜率为k,那么l的方程为1ykx 记),(11yxA、),(22yxB由题设可得点A、B的坐标),(11yx、),(22yx是方程组 14122yxkxy 的解 将代入并化简得,032)4(22kxxk,所以.48,42221221kyykkxx于是 ).44,4()2,2()(21222121kkkyyxxOBOAOP 设点P的坐标为),(yx那么.44,422kykkx消去参数k得0422yyx 当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程,所以点P的轨迹方程为2240 xyy 解法二:设点P的坐标为)
19、,(yx,因),(11yxA、),(22yxB在椭圆上,所以 ,142121yx .142222yx 得0)(4122212221yyxx,所以 .0)(41)(21212121yyyyxxxx 当21xx 时,有.0)(4121212121xxyyyyxx 并且.1,2,221212121xxyyxyyyyxxx 将代入并整理得.0422yyx 当21xx 时,点A、B的坐标为(0,2),(0,2)，这时点P的坐标为(0,0)也满足,所以点P的轨迹方程为221()2111164yx (2)解:由点P的轨迹方程知2116x，即1144x所以 .精品.127)61(3441)21()21()21
20、(|222222xxxyxNP 故当41x,|NP取得最小值,最小值为61;41x当时,|NP取得最大值,最大值为216 9解法 1：(常规设参)设(,)M x y，1122(,),(,)A x yB xy，那么 xpyyypyyxyxxyyxyxypxypxy42121621121211221124221421 由,A M B共线得)421(2141pyxyypyy 那么2121214yyyyxyypy 把代入上式得ypxyxy42化简得M的轨迹方程为2240(0)xypxx)解法 2：(变换方向)设OA的方程为(0)ykx k，那么OB的方程为1yxk 由pxykxy22 得222(,)p
21、pAkk，由pxyxky221 得2(2,2)Bpkpk 所以直线AB的方程为 2(2)1kyxpk 因为OMAB，所以直线OM的方程为21 kyxk 即得M的轨迹方程:2240(0)xypxx 解法 3：(转换观点)视点M为定点,令00(,)M xy，由OMAB可得直线AB的方程为0000()xyyxxy,与 抛 物 线24ypx联 立 消 去y得2220000044()0pypyyxyxx,设1122(,),(,)A x yB xy，那么22120004()py yxyx 又因为OAOB，所以21621pyy 故2220004()16pxypx 即2200040 xypx 所以M点的轨迹方程为2240(0)xypxx 10)0,0(022yxyxyx