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1、.绝密启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）（理工农医类）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设 a、b、c、dR，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 A.adbc=0 B.acbd=0 C.ac+bd=0 D.ad+bc=0(2)在等差数列an中，已知 a1=2,a2+a3=13，则 a4+a5+a6等于 A.40 B.42 C.43 D.45(3)已知(2,)，sin=53,则 tan(4)等于 A.71 B.7 C.71 D.7 (4)已知全
2、集 U=R,且 A=xx12,B=xx26x+80)B.y=122xx(x0)D.y=xx212 (x0)在区间3,4上的最小值是2，则的最小值等于 A.32 B.23 C.2 D.3 .(10)已知双曲线12222byax(a0,bAB.其中真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置.(13)(x2x1)2展开式中 x2的系数是 (用数字作答)(14)已知直线 xy1=0 与抛物线 y=ax2相切，则 a=(15)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数 0，两个面上
3、标以数 1,一个面上标以数 2，将这个小正方体抛掷 2 次，则向上的数之积的数学期望是 （16）如图，连结ABC 的各边中点得到一个新的A1B1C1，又连结的A1B1C1各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC，A1B1C1，A2B2C2，这一系列三角形趋向于一个点 M，已知 A(0,0),B(3,0),C(2,2)，则点 M 的坐标是 .二、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。.（17）（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)=sin2x+3xcosx+2cos2x,xR.（I）求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间；（）函数
4、 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到？（18）（本小题满分 12 分）如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别 BD、BC 的中点,CA=CB=CD=BD=2（）求证：AO平面 BCD；（）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；（）求点 E 到平面的距离.（19）（本小题满分 12 分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y（升）关于行驶速度 x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=880312800012xx(0 x120).已知甲、乙两地相距 100 千米。（）当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
5、（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？（20）（本小题满分 12 分）已知椭圆1222 yx的左焦点为 F，O 为坐标原点。（）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程；（）设过点 F 且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围.（21）（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)=x2+8x,g(x)=6lnx+m（）求 f(x)在区间t,t+1上的最大值 h(t);（）是否存在实数 m，使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？.若存在，求出 m 的
6、取值范围；，若不存在，说明理由。（22）（本小题满分 14 分）已知数列an满足 a1=1,a1n=2an+1(nN)（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足 4k1-14k2-14k-1=(an+1)km(nN*),证明:bn是等差数列;（）证明:231213221naaaaaannn(nN*).数学试题(理工农医类)参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分.(1)D (2)B (3)A (4)C (5)D (6)A(7)C (8)A (9)B (10)C (11)B (12)B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分，满分 1
7、6 分.(13)10 (14)41 (15)94 (16)(32,35)三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)本小题主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本识，以及推理和运算能力，满分 12 分.解:（1）f(x)=)2cos1(2sin2322cos1xxx =232cos212sin23xx =sin(2x+)623.f(x)的最小正周期 T=22=.由题意得 2k-22x+6,kZ,f(x)的单调增区间为k-3,kZ.(2)方法一：先把 y=sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度，得到 y=s
8、in(2x+6)的图象，再把所得图象上所有的点向上平移23个单位年度，就得到 y=sin(2x+6)+23的图象.方法二：把 y=sin 2x 图象上所有的点按向量 a=(-32,12)平移，就得到 y=sin(2x+6)+23的图象.(18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分.方法一:(1)证明：连结 OC.BO=DO,AB=AD,AOBD.BO=DO,BC=CD,COBD.在AOC 中，由已知可得 AO=1,CO=3.而 AC=2,AO2+CO2=AC2,AOC=90,即 AOOC.,0
9、OCBD AB平面 BCD.（）解：取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE，由 E 为 BC 的中点知 MEAB,OEDC.直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角.在OME 中，,121,2221DCOEABEM OM是直角AOC 斜边 AC 上的中线，,121ACOM,42cosOEA 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为.42arccos（）解：设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.CDEAACDAVV,h31SACD=31AOSCDE.在ACD 中，CA=CD=2,AD=2,.SACD=,2722222132 而 AO=1,SCDE=,2324
10、3212 h=,72127231ACDCDESSAO 点 E 到平面 ACD 的距离为721.方法二：（）同方法一：（）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，3，0)，A(0,0,1),E(21,23,0),).0,3,1(),1,0,1(CDBA ,42,cosCDBACDBACDBA 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为.42arccos（）解：设平面 ACD 的法向量为 n=(x,y,z),则 ,0)1,3,0(),(,0)1,0,1(),(zyxACnzyxADn.03,0zyzx 令 y=1，得 n=(-3,1,3)是平面
11、ACD 的一个法向量.又),0,23,21(EC 点 E 到平面 ACD 的距离 h=.72173|nnEC.(19)本小题主要考查函数，导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 12 分.解:(1)当 x=40 时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100小时,要耗油()(5.175.28408034012800013升）.答：当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5 升.(2)当速度为 x 千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了,100小时x设耗油量为 h(x)升，衣题意得 h(x)=(880312800013xx)1200(41580
12、0128011002xxxx,h(x)=233264080800640 xxxx(0 x120 令 h(x)=0，得 x=80.当 x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数;当 x(80,120)时，h(x)0,h(x)是增函数.当 x=80 时，h(x)取到极小值 h(80)=11.25.因为 h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升.(20)本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合能力.满分 12 分.解(1)a2=2,b2
13、=1,c=1,F(-1,0),l:x=-2.圆过点 O、F.圆心 M 在直线 x=-.21上 设 M(-t,21),则圆半径 r=|(-21)-(-2)|=23.由|OM|=r,得.23)21(22t 解得 t=2,.所求圆的方程为(x+21)2+(y2)2=49.(2)设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k0),代入22x+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.直线 AB 过椭圆的左焦点 F,方程有两个不等实根.记 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 N(x0,y0),则 x1+x1=-,12422kk x0=,12)1(122)(212002221
14、kkxkykkxx AB 垂直平分线 NG 的方程为).(100 xxkyy 令 y=0，得.241211212122222222200kkkkkkkkyxxC.021,00 xk 点G 横坐标的取值范围为（0,21）。（21）本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分 12 分。解：（I）f(x)=x2+8x=(x4)2+16,当 t+14，即 t4 时，f(x)在t，t+1上单调递减，h(t)=f(x)=t2+8t.综上，h(t)=,8,16,7622tt
15、tt （II）函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数 xg(x)f(x)的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。xx8x+16ln x+m,xx8+),0()3)(1(268262xxxxxxxx t4.当 x(0,1)时，x，x是增函数；当 x(1,3)时，x，x是减函数；当 x(3,+)时，x，x是增函数；当 x=1，或 x=3 时，x；x极大值1m7,x极小值3m+6ln 315.当 x 充分接近时，x，当 x 充分大时，x0.要使x的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须,0153ln6)(,07)(极小值极大值mxmx 既 7m
16、6ln 3.所以存在实数 m，使得函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为（7，156ln 3）.（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分 14 分。（I）解：an+1=2 an+1（nN）,an+1+1=2(an+1),|an+1|是以 a1+1=2 为首项，2 为公比的等比数列。an+1=2n，既 an=2n1(nN)。（II）证法一：4b114 b224 bn1=(a+1)bn，4k1+k2+kn=2nk,2(b1+b2+bn)-n=nb,2(b1+b2+bn+1)-(n+1)=(n+1)bn+1
17、 -,得 2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nb,即(n-1)bn+1-nbn+2=0.nbn+2=(n+1)bn+1+2=0.-，得 nbn+2-2nbn+1-nbn=0,即 bn+2-2bn+1+b=0,bn-2-bn+1=bn(nN*),bn是等差数列.证法二：同证法一，得(n-1)bn+1=nbn+2=0 令 n=1，得 b1=2.设 b2=2+d(dR),，下面用数学归纳法证明 bn=2+(n-1)d.(1)当 n=1,得 b1=2.(2)假设当 n=k(k2)时，b1=2+(k-1)d,那么 bk+1=.)1)1(212)1(2(1121dkkdkkkkbkk 这就是说，当
18、n=k+1 时，等式也成立.根据(1)和(2)，可知 bn=2(n-1)d 对任何 nN*都成立.bn+1-bn=d,bn是等差数列.(3)证明：,.,2,1,21)212(212121211nkaakkkkkk.213221naaaaaann 222 3121)12(21211212111kkkkkkkaa3121(k21),k=1,2,n,数 学（文史类）第卷(选择题 共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直，则 a 等于 A.2 B.1 C.0 D.-1(2)在等差数列an中，已知 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6等于 A.40 B.42 C.43 D.45(3)“tan a=1”是“a=4”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件