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1、 新课标 2022 版高考数学总复习第九章第九节第1课时圆锥曲线中的范围、最值问题练习文新人教 A 版 2 第 1 课时 圆锥曲线中的范围、最值问题 A 组 根底题组 1.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点O 是坐标原点,那么|AF|BF|的最小值是()A.2 B.2 C.4 D.22 答案 C 设直线 AB 的倾斜角为,可得|AF|=21-cos,|BF|=21+cos,那么|AF|BF|=21-cos21+cos=4sin24,当=90时取得等号.2.过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 且斜率为43的直线交抛物线于 A,B 两点,假设=(1),那么
2、的值为 .答案 4 解析 根据题意设 A(x1,y1),B(x2,y2),由=,得(2-1,-1)=(2-2,2),故-y1=y2,即=-12.设直线 AB 的方程为 y=43(-2),联立直线方程与抛物线方程,消元得 y2-32py-p2=0.故 3 y1+y2=32p,y1y2=-p2,(1+2)212=12+21+2=-94,即-1+2=-94.又1,故=4.3.椭圆 C:22+22=1(ab0)的焦距为 4 且过点(2,-2).(1)求椭圆 C 的方程;(2)过椭圆焦点的直线 l 与椭圆 C 分别交于点 E,F,求 的取值范围.解析(1)由题意知椭圆的焦点坐标是(0,-2),(0,2)
3、,2a=2+0+2+16=42,所以 a=22,b=2,所以椭圆 C 的方程是28+24=1.(2)假设直线 l 垂直于 x 轴,令 E(0,22),F(0,-22),那么 =-8.假设直线 l 不垂直于 x 轴,不妨设 l 过该椭圆的上焦点,那么 l 的方程为 y=kx+2,E(x1,y1),F(x2,y2).将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程得到(2+k2)x2+4kx-4=0,那么 x1+x2=-42+2,x1x2=-42+2,所以 =x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=-4-422+2+-822+2+4=202+2-8.4 因为 0202+210,所以
4、-8b0)的左,右焦点分别为 F1,F2,以 F1F2为直径的圆与直线ax+2by-3ab=0 相切.(1)求椭圆 C 的离心率 e;(2)如图,过 F1作直线 l 与椭圆分别交于 P,Q 两点,假设PQF2的周长为 42,求2P 2Q 的最大值.解析(1)由题意知|-3ab|2+42=c,那么 3a2b2=c2(a2+4b2),即3a2(a2-c2)=c2a2+4(a2-c2),所以 a2=2c2,所以 e=22.(2)因为PQF2的周长为 42,所以 4a=42,即 a=2.由(1)知 b2=c2=1,故椭圆方程为22+y2=1,且焦点为 F1(-1,0),F2(1,0).5 假设直线 l
5、 的斜率不存在,那么 lx 轴,故直线方程为x=-1,P(-1,22),Q(-1,-22),2P=(-2,22),2Q=(-2,-22),故2P 2Q=72.假设直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),由=(+1),2+22=2消去 y,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),那么 x1+x2=-4222+1,x1x2=22-222+1.因为2P 2Q=(x1-1,y1)(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2,所以2P 2Q=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1,所以2P 2Q=(k2+
6、1)22-222+1+(k2-1)(-4222+1)+k2+1=72-122+1=72-92(22+1).令 t=2(2k2+1)(t2),那么2P 2Q=72-9(t2),所以2P 2Q(-1,72).结合,得2P 2Q(-1,72,所以2P 2Q 的最大值是72.6 2.(2022惠州第二次调研)C为圆(x+1)2+y2=8的圆心,P是圆上的动点,点 Q 在圆的半径 CP 上,且有点 A(1,0)和 AP 上的点 M,满足 =0,=2.(1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹方程;(2)假设斜率为 k 的直线 l 与圆 x2+y2=1 相切,与(1)中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点
7、 F,H,O 是坐标原点,且34 45,求 k 的取值范围.解析(1)由题意知 MQ 是线段 AP 的垂直平分线,所以|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=22|CA|=2,所以点Q的轨迹是以点C,A为焦点,焦距为2,长轴长为22的椭圆,所以 a=2,c=1,b=2-2=1,故点 Q 的轨迹方程是22+y2=1.(2)设直线 l:y=kx+t,F(x1,y1),H(x2,y2),直线 l 与圆 x2+y2=1 相切|2+1=1t2=k2+1.联立,得22+2=1,=+(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-2)=8(2k2-t2+1)=8k20k0,7 x1+x2=-41+22,x1x2=22-21+22,所以 =x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=(1+2)(22-2)1+22+kt-41+22+t2=(1+2)221+22-42(2+1)1+22+k2+1=1+21+22,所以341+21+224513k21233|k|22,所以-22k-33或33k22.故 k 的取值范围是-22,-3333,22.