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1、2012 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷 注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事件 A,B
2、 胡斥，那么 P(AUB)=P(A)+P(B).棱柱的体积公式 V=Sh.其中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高。圆锥的体积公式 V=13Sh 其中 S 表示圆锥的底面面积，H 表示圆锥的高。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）i 是虚数单位，复数534ii=（A）1-i （B）-1+I （C）1+I （D）-1-i【解析】复数iiiiiiii1171717)4)(4()4)(35(435，选C.【答案】C （2）设变量 x,y 满足约束条件01042022xyxyx,则目标函数 z=3x-2y 的最小值为 （A）-5 （B）-4 （C）-2 （D）3
3、【解析】做出不等式对应的可行域如图，由yxz23 得223zxy，由图象可知当直线223zxy经过点)2,0(C时，直线223zxy的截距最大，而此时yxz23 最小为423yxz，选 B.【答案】B （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（A）8 （B）18 （C）26 （D）80【解析】第一次循环2,2330nS，第二次循环3,83322nS，第三次循环4,2633823nS，第四次循环满足条件输出26S，选 C.【答案】C （4）已知 a=21.2，b=12-0.2，c=2log52，则 a，b，c 的大小关系为（A）cba （B）cab C）bac （D）bc12
4、”是“2x2+x-10”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【解析】不等式0122 xx的解集为21x或1x，所以“21x”是“0122 xx”成立的充分不必要条件，选 A.【答案】A (6)下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为(A)y=cos2x，xR (B)y=log2|x|，xR 且 x0(C)y=2xxee，xR (D)y=x3+1，xR【解析】函数xy2log为偶函数，且当0 x时，函数xxy22loglog为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选 B.【答案】B (7)将函数 f(x)=sinx（其中0
5、）的图像向右平移4个单位长度，所得图像经过点（34，0），则的最小值是（A）13 （B）1 C）53 （D）2【解析】函数向右平移4得到函数)4sin()4(sin)4()(xxxfxg，因为此时函数过点)0,43(，所以0)443(sin，即,2)443(k所以Zkk,2,所以的最小值为 2，选 D.【答案】D (8)在ABC 中，A=90，AB=1，设点 P，Q 满足AP=AB，AQ=(1-)AC，R。若BQCP=-2，则=（A）13 （B）23 C）43 （D）2【解析】如图，设cACbAB,，则0,2,1cbcb，又cbAQBABQ)1(，bcAPCACP，由2CPBQ得2)1(4)1
6、()()1(22bcbccb，即32,23，选 B.【答案】B 第卷 注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共 12 小题，共 110 分。二.填空题：本答题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）集合|25AxR x中最小整数位 .【解析】3不等式52 x，即525x，73x，所以集合73xxA，所以最小的整数为3。【答案】3 （10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积 3m.【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积为24243，五棱柱的体积是6412)21(，所以几何体的总体积为
7、30。【答案】30 （11）已知双曲线)0,0(1:22221babyaxC与双曲线1164:222yxC有相同的渐近线，且1C的右焦点为(5,0)F,则a b 【解析】双曲线的116422yx渐近线为xy2，而12222byax的渐近线为xaby，所以有2ab，ab2，又双曲线12222byax的右焦点为)0,5(，所以5c，又222bac，即222545aaa，所以2,1,12baa。【答案】1，2 （12）设,m nR,若直线:10l mxny 与x轴相交于点 A,与 y 轴相交于 B，且 l 与圆224xy相交所得弦的长为 2，O 为坐标原点，则AOB面积的最小值为 。【解析】直线与两
8、坐标轴的交点坐标为)0,1(),1,0(mBnA，直线与圆相交所得的弦长为 2，圆心到直线的距离d满足3141222 rd，所以3d，即圆心到直线的距离3122nmd，所以3122 nm。三角形的面积为mnnmS211121，又312122nmmnS，当且仅当61 nm时取等号，所以最小值为3。【答案】3 （13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于D.过点C作BD的平行线与圆交于点E,与AB相交于点F,3AF,1FB,32EF,则线段CD的长为 .【解析】如图连结 BC，BE，则1=2，2=A 1A，又B=B，CBFABC，ACCFABCBBCBFABCB,
9、代入数值得 BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得FBAFCDAC,解得 CD=34.【答案】34 （14）已知函数211xyx的图像与函数ykx的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是 .【解析】函数1)1)(1(112xxxxxy，当1x时，11112xxxxy，当1x时，1,111,11112xxxxxxxy，综上函数1,111,111112xxxxxxxxy，做出函数的图象，要使函数y与kxy 有两个不同的交点，则直线kxy 必须在蓝色或黄色区域内，如图，则此时当直线经过黄色区域时)2,1(B，k满足21 k，当经过蓝色区域时，k满足10 k，综上实数的取值范围是10 k或21
10、k。【答案】10 k或21 k。三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15 题）（本小题满分 13 分）某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查。（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。（II）若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，（1）列出所有可能的抽取结果；（2）求抽取的 2 所学校均为小学的概率。、（16）（本小题满分 13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的分别是 a,b，c。已知 a=2.c=2,cosA=2-4.
11、（I）求 sinC 和 b 的值；（II）求 cos（2A+3）的值。17.（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，ADPD，BC=1，PC=23，PD=CD=2.（I）求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值；（II）证明平面 PDC平面 ABCD；（III）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。（18）（本题满分 13 分）已知错误!未找到引用源。是等差数列，其前n项和为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。是等比数列，且错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。
12、=10（I）求数列错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的通项公式；（II）记错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。，（n 错误!未找到引用源。,n2）。（19）（本小题满分 14 分）已知椭圆错误!未找到引用源。（ab0）,点 P（错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。）在椭圆上。（I）求椭圆的离心率。（II）设 A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ的斜率的值。（20）（本小题满分 14 分）已知函数aaxxaxxf232131)(，x 错误!未找到引用源。其中 a0.（I）求函数)(xf的单调区间；（II）若函数)(xf在区间（-2，0）内恰有两个零点，求 a 的取值范围；（III）当 a=1 时，设函数)(xf在区间3,tt上的最大值为 M（t），最小值为 m（t）,记 g(t)=M(t)-m(t),求函数 g(t)在区间 1,3上的最小值。