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1、 学子之家圆梦高考 客服QQ：2496342225河北省20182019学年度上学期衡水中学高三年级四调考试数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列命题正确的个数为梯形一定是平面图形；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A0 B1 C2 D32已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）A B3 C D43已知双曲线与抛物线有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D4如图，一
2、只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条A40 B60 C80 D1205函数的图象大致是（ ）6若，则（ ）A B2 C D7某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为（ ）A72 B56 C57 D638一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D9已知函数，下列结论不正确的是（ ）A的图象关于点中心对称 B既是奇函数，又是周期函数 C的图象关于直线对称 D的最大值
3、为10如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ）A B C D11已知的准线交轴于点，焦点为，过且斜率大于0的直线交于，则（ ）A B C4 D312已知是减函数，且有三个零点，则的取值范围为（ ）A B C D二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知向量夹角为，且，则 .14已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为 .15某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起
4、，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 种. 16三棱锥中，平面，为正三角形，外接球表面积为，则三棱锥的体积的最大值为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17数列满足，（）.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前999项和.18.在四棱锥，平面平面，分别是中点.（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.19在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，且，求.20.如图，直线平面，直线平行四边形，四棱锥的顶点在平面上，分别是与的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.21如图，椭圆：的左右焦点分别为，离
5、心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，当时，点在轴上的射影为，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，设.（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）求的取值范围.22已知函数的图象的一条切线为轴.（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证：.河北省20182019学年度上学期衡水中学高三年级四调考试数学（理）试题答案解析【题号】1【答案】C【解题思路】由于梯形是有一组对边平行的四边形，易知两平行线确定一平面，所以梯形可以确定一个平面，故对；若两条直线和第三条直线所成的角相等，比如等腰三角形，直线与直线所成的角相等，而直线不平行，故错；两两相交的三条直线，比如墙角处的三条
6、交线可以确定三个平面，故对；如果两个平面有三个公共点，比如两平面相交有一条公共直线，如果这三个公共点不共线，则这两个平面重合，故错.综上，选C.【知识点、能力点】考查空间直线与平面的位置关系，线线、面面的位置关系，以及确定平面的条件，并考查了举一反三的能力.【题号】2【答案】C【解题思路】是公差为1的等差数列，解得，则，故选C.【知识点、能力点】考查等差数列的通项公式及其前项和公式以及推理能力与计算能力.【题号】3【答案】A【解题思路】抛物线的焦点为双曲线的一个焦点为，双曲线的渐近线方程为所以选项是正确的.【知识点、能力点】考查抛物线的标准方程及几何性质、双曲线的标准方程及几何性质；并考查了推
7、理能力与计算能力.【题号】4【答案】B【解题思路】由题意，从到最短路径有条，由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点，最短路径有条，它可以爬行的不同的最短路径有条，所以选项是正确的.【知识点、能力点】考查排列组合中的组合问题，并考查了分析解决问题的能力. 【题号】5【答案】B【解题思路】通过将所给函数转化成两个函数之差，通过在一个坐标系下画出和的图象，通过图象之间的上下距离也就是函数之差判断选项.【知识点、能力点】函数与方程思想、图象的平移变换、观察与分析能力.【题号】6【答案】C【解题思路】将题干所给等式利用两角和差公式打开，然后求出的值，再利用的二倍角公式求出.【知识点、能力点】公式应用能
8、力、运算能力、三角恒等变换公式.【题号】7【答案】A【解题思路】先将两个全科老师用排列的方式分给语文一个，数学一个，然后再进行分组，最后分给两个学校，运用的是先分组后分人的排列组合模型.【知识点、能力点】分析问题能力、逻辑思维能力、排列组合知识与运算能力.【题号】8【答案】D【解题思路】将三视图分成左右两部分观察，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式进行求解.【知识点、能力点】空间想象能力、公式运用、锥体体积公式.【题号】9【答案】D【解题思路】A：，正确；B：，为奇函数，周期函数，正确；C：，正确；D：，错误.【知识点、能力点】三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断
9、函数最值.【题号】10【答案】B【解题思路】设小圆柱体底面半径为，所以高为，时，选B.【知识点、能力点】空间想象能力，利用导数判断函数最值【题号】11【答案】B【解题思路】设，因为，即，整理化简得，代入余弦定理整理化简得：，又因为，所以，选B.【知识点、能力点】设计变量，并找到变量间的等式关系，利用余弦定理解决.【题号】12【答案】D【解题思路】设，即时，得，此时由题意知：与图象有三个交点当时，只有一个交点，当时，由题意知，和为两个图象交点，只需在有唯一零点，时，即有唯一解令，时，时，所以要使在有唯一解，只需或，故选D.【知识点、能力点】分段函数单调性，函数零点问题，利用导数判断函数最值.【题
10、号】13【答案】【解题思路】反复利用模的平方等于向量的平方，以及向量的数量积解题.因为，所以，解得，又因为，所以.【知识点、能力点】平面向量的数量积【题号】14【答案】【解题思路】求解异面直线所成角一般两种方法： 一是向量法（理科首选），根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解； 二是传统法，即平移法，就是将异面直线通过作平行线的方式转移到同一平面上，找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解平行线往往是利用平行四边形、作三角形中位线等 以垂直于的方向为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系则，由于，则，所以，设异面直线与所成角为，所以.【知识
11、点、能力点】异面直线所成角.【题号】15【答案】120【解题思路】本题利用捆绑法和先排有特殊要求的元素两个知识点.（1）当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有种；（2）当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有种；（3）当甲在第三位，前两位分为是丙丁和不是丙丁两种情况，共种，因此共种.【知识点、能力点】排列与组合.【题号】16【答案】【解题思路】本题考查外接球，首先选取一个面，使得这个图形的外心容易被找到，常见的选取面有直角三角形（斜边中点），正三角形（内心）等.如图所示，令，则，在中，即，即，得令，在单调递增，在单调递减，所以时，.【知识点、能力点】外接球【题号】17【答案】（1）数列满足：，所以，
12、即是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）得，解得，所以，前项和即【解题思路】（1）题干求证数列是等差数列，利用定义法，结合已知条件，推导出等于一个定值即可；（2）由（1）中数列是等差数列，求得，进而化简得，再利用裂项相消法求得前项和即可.【知识点、能力点】（1）第一问求证考查利用定义法来判断一个数列为等差数列，即后一项与前一项差值为定值；（2）数列通项结合对数函数基本运算公式，再利用裂项相消法求得前项和得简化形式，进而求解.【题号】18【答案】（1）取中点为，则由平面与平面（*），连接，在直角梯形中，易求得，而，则，即与可得平面（*），故平面.（2）以为原点，方向分别为轴，轴，轴正方向建
13、立如图的空间直角坐标系，则，.平面的法向量为，故所求线面角的正弦值为【解题思路】（1）题干中给出平面平面，根据面面垂直性质定理可知，需要在其中一个平面内找到垂直于它们交线的直线，结合已知条件，则可取的中点，接着易证；要证平面，则还需在平面中找到一条直线，证明其垂直于，由已知条件锁定目标证明，即要证平面，即要证，在直角梯形中，易证，故可证；（2）建系，套用空间向量法计算线面角的公式即可. 【知识点、能力点】本题主要考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理及利用空间向量法计算线面角，难度适中.【题号】19【答案】（1） （2）详解：（1）因为，所以即，由正弦定理得，即，.（2），即。.【解题思路
14、】（1）题目给出的条件左侧明显出现了余弦定理的分子形式，故应直接想到余弦定理，而等式右侧给出的形式均有边，所以考虑可能会用到正弦进行边角转换或通过右边的余弦定理化简来消去边，以达到化简的目的。经过操作后发现通过余弦定理的化简出现了等式左右两侧每一项都有边，故想到用正弦定理来完成边角转换，把所有的边都转化成角度来进行运算，从而完成角度的求解，最后根据正余弦互补角度的性质来进行具体角度的求值即可；（2）题干中给出的条件是求解三角形面积，而对于此题我们的切入点只有通过正弦定理来进行面积的求解，由于第一问已经知道A的角度，故可以通过公式推出两条邻边的乘积，再利用余弦定理导出两个邻边平方得加和，目的在于
15、导出两个邻边的加和。本题的难点在于学生要知道把结果利用正弦定理进行转化求解，不要单一的在问题上进行化简，转化后才能得到相应的过程与思路。【知识点、能力点】（1）正弦定理的基本内容；（2）余弦定理的基本内容；（3）利用正弦定理进行边角转换；（4）利用正弦定理求解三角形面积；（5）完全平方公式的灵活应用【题号】20【答案】（1）连接，底面为平行四边形，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，平面平面，平面，平面；（2）由平面，平行四边形平面底面，四边形为矩形，且底面，过作，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系（如图）由，知，设平面的法向量，则，取，即，设平面的法向量，则，取，即，二面角的平面角的余
16、弦值.【解题思路】（1）利用中位线定理，证明，再利用面面平行的判定定理，可知平面平面，由于平面，平面； （2）根据题干相关信息以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据位置关系确定空间内点的坐标，求出平面的法向量，平面的法向量，根据夹角公式即可求出二面角的平面角的余弦值.【知识点、能力点】中位线定理、面面平行的判定、线面平行的判定、利用空间向量求二面角的余弦值【题号】21【答案】（1）由抛物线定义可得，点在抛物线上，即又由，得，将上式代入，得，解得，所以曲线的方程为，曲线的方程为.（2）设直线的方程为，由消去整理得，设，则，设，则，所以，设直线的方程为（），由，解得，所以，由可知，用代替，可得
17、，由，解得，所以，用代替，可得，所以，当且仅当时等号成立.所以的取值范围为.【解题思路】（1）通过抛物线定义可得，并代入抛物线方程可得之间的关系，结合离心率及之间的关系联立方程组可求出参数的值，从而求得方程；（2）联立直线与抛物线及椭圆的方程，可用表示出，利用三角形的面积公式可得的表达式，利用基本不等式可得结论.【知识点、能力点】本题考查椭圆及抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等. 【题号】22【答案】（1）设切点坐标为，由题意得，解得（2），令，则，当时，又可以写成，当时，因此在上大于0，在上单调递增，又，因此在上小于0，上大于0，且在单调递减，在上单调递增，当时，记，记函数的导数为，则故在上单调递增，所以，所以，不妨设，则，而，由单调性知，即.【解题思路】第（1）问，采用基本公式，利用切线与导数几何意义之间的关系求解，属于基础题目第（2）问，考察极值点偏移问题，属于双变量型问题，利用极值点两侧函数单调增减快慢的差异，进行问题的证明，关键在于两个变量之间关系的转换【知识点、能力点】（1）导数的几何意义（2）函数的单调性含参讨论（3）构造函数的基本方法（4）分析法证明结论售后更新QQ：2496342225 欢迎举报倒卖者，核实有奖！