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1、2013年长沙中考数学试卷解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的1.3相反数是（）AB3CD3解答：解：3相反数是3故选D2下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD解答：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误故选A3甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是（）ABC=D不能确定解答：解：根据方差的意义知
2、，射击成绩比较稳定，则方差较小，甲的成绩比乙的成绩稳定，有：S甲2S乙2故选A4一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，则下列符合条件的不等式组为（）ABCD解答：解：由图示可看出，从1出发向右画出的折线且表示1的点是实心圆，表示x1；从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示x2，所以这个不等式组的解集为1x2，即：故选：C5下列四边形中，两条对角线一定不相等的是（）A正方形B矩形C等腰梯形D直角梯形解答：解：根据正方形、矩形、等腰梯形的性质，它们的两条对角线一定相等，只有直角梯形的对角线一定不相等故选D6下列四个角中，最有可能与70角互补的是（）ABCD解答：解：70角的补角=1
3、8070=110，是钝角，结合各选项，只有D选项是钝角，所以，最有可能与70角互补的是D选项的角故选D7小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（）ABCD解答：解：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，正常匀速行驶的路程、时间图象是一条过原点O的斜线，修车时自行车没有运动，所以修车时的路程保持不变是一条平行于横坐标的水平线，修车后为了赶时间，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，此时的路程、时间图象仍是
4、一条斜线，只是斜线的倾角变大因此选项A、B、D都不符合要求故选C8已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OEDC交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为（）A6cmB4cmC3cmD2cm解答：解：四边形ABCD是菱形，OB=OD，CD=AD=6cm，OEDC，BE=CE，OE=CD=3cm故选C9某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（）成反比例图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）ABCD解答：解：设I=，那么点（3，2）适合这个函数解析式，则k=32=6，I=故选C10现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根
5、木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）A1个B2个C3个D4个解答：解：四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；只有3，7，9和4，7，9能组成三角形故选B二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）11已知函数关系式：y=，则自变量x的取值范围是x1解答：解：根据题意得，x10，解得x1故答案为：x112如图，在ABC中，A=45，B=60，则外角ACD=105度解答：解：A=45，B=60，ACD=A+B=45+60=105故答案为：10513若实数a、b满足|3a1|+b2=0，则ab的值为1解答：解：根据题意得，3a1=0，
6、b=0，解得a=，b=0，ab=（）0=1故答案为：114如果一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是m0解答：解：一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限，m0故答案为：m015任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是随机事件解答：解：抛掷1枚均匀硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛掷1枚均匀硬币正面朝上是随机事件故答案为：随机16在半径为1cm的圆中，圆心角为120的扇形的弧长是cm解答：解：扇形的弧长L=cm故答案为：cm17如图，ABCDEF，那么BAC+ACE+CEF=360度解答：解：ABCD，BAC+ACD=180，CDEF，CEF+ECD=180，+得
7、，BAC+ACD+CEF+ECD=180+180=360，即BAC+ACE+CEF=36018如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=2，B=60，则BC的长为4解答：解：过点A作AECD交BC于点E，ADBC，四边形AECD是平行四边形，AE=CD=2，AD=EC=2，B=60，BE=AB=AE=2，BC=BE+CE=2+2=4三、解答题：（本题共2个小题，每小题6分，共12分）19计算：解答：解：原式=2+23=020先化简，再求值：，其中a=2，b=1解答：解：原式=+=+=，把 a=2，b=1代入得：原式=2四解答题：（本题共2个小题，每小题8分，共16分）21某班数学科代表小
8、华对本班上期期末考试数学成绩作了统计分析，绘制成如下频数、频率统计表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：分组49.559.559.569.569.579.579.589.589.5100.5合计频数2a2016450频率0.040.160.400.32b1（1）频数、频率统计表中，a=8；b=0.08；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）小华在班上任选一名同学，该同学成绩不低于80分的概率是多少？解答：解：（1）a=50220164=5042=8，b=10.040.160.400.32=10.92=0.08；故答案为：8，0.08（2）如图所示；（3）该同学成绩不低于8
9、0分的概率是：0.32+0.08=0.40=40%22如图，A，P，B，C是半径为8的O上的四点，且满足BAC=APC=60，（1）求证：ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD解答：解：（1）在ABC中，BAC=APC=60，又APC=ABC，ABC=60，ACB=180BACABC=1806060=60，ABC是等边三角形；（2）ABC为等边三角形，O为其外接圆，O为ABC的外心，BO平分ABC，OBD=30，OD=8=4五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）23以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2013年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖
10、南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个（1）求湖南省签订的境外，省外境内的投资合作项目分别有多少个？（2）若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道湖南省共引进资金多少亿元？解答：解：（1）设境外投资合作项目个数为x个，根据题意得出：2x（348x）=51，解得：x=133，故省外境内投资合作项目为：348133=215个答：境外投资合作项目为133个，省外境内投资合作项目为215个（2）境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，湖南
11、省共引进资金：1336+2157.5=2410.5亿元答：东道湖南省共引进资金2410.5亿元24如图，已知正方形ABCD中，BE平分DBC且交CD边于点E，将BCE绕点C顺时针旋转到DCF的位置，并延长BE交DF于点G（1）求证：BDGDEG；（2）若EGBG=4，求BE的长解答：（1）证明：将BCE绕点C顺时针旋转到DCF的位置，BCEDCF，FDC=EBC，BE平分DBC，DBE=EBC，FDC=EBE，DGE=DGE，BDGDEG（2）解：BCEDCF，F=BEC，EBC=FDC，四边形ABCD是正方形，DCB=90，DBC=BDC=45，BE平分DBC，DBE=EBC=22.5=FD
12、C，BDF=45+22.5=67.5，F=9022.5=67.5=BDF，BD=BF，BCEDCF，F=BEC=67.5=DEG，DGB=18022.567.5=90，即BGDF，BD=BF，DF=2DG，BDGDEG，BGEG=4，=，BGEG=DGDG=4，DG=2，BE=DF=2DG=4六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）25在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工已知生产这种产品的成本价为每件20元经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之
13、间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：（年获利=年销售收入生产成本投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销
14、售单价的范围解答：解：（1）252830，把28代入y=40x得，y=12（万件），答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；（2）当 25x30时，W=（40x）（x20）25100=x2+60x925=（x30）225，故当x=30时，W最大为25，及公司最少亏损25万；当30x35时，W=（250.5x）（x20）25100=x2+35x625=（x35）212.5故当x=35时，W最大为12.5，及公司最少亏损12.5万；对比1，2得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；（3）当 25x30时，W=（40x）（x
15、201）12.510=x2+59x782.5令W=67.5，则x2+59x782.5=67.5化简得：x259x+850=0 x1=25；x2=34，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，25x30；当30x35时，W=（250.5x）（x201）12.510=x2+35.5x547.5，令W=67.5，则x2+35.5x547.5=67.5，化简得：x271x+1230=0 x1=30；x2=41，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30x35，答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是25x30或30x3526如图半径分别为m，n（0mn）的两圆O1和O2
16、相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，O2与x轴，y轴分别切于点R，点H（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由解答：解：（1）由题意可知O1（m，m），O2（n，n），设过点O1，O2的直线解析式为y=kx+b，则有：（0mn），解得，所求直线的解析式为：y=x（2）由相交两圆的性质，可知
17、P、Q点关于O1O2对称P（4，1），直线O1O2解析式为y=x，Q（1，4）如解答图1，连接O1QQ（1，4），O1（m，m），根据两点间距离公式得到：O1Q=又O1Q为小圆半径，即QO1=m，=m，化简得：m210m+17=0 如解答图1，连接O2Q，同理可得：n210n+17=0 由，式可知，m、n是一元二次方程x210x+17=0 的两个根，解得：x=5，0mn，m=5，n=5+O1（m，m），O2（n，n），d=O1O2=8（3）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx+c，因为开口向下，所以a0如解答图2，连接PQ由相交两圆性质可知，PQO1O2P（4，1），Q（1，4），PQ=，又O1O2=8，S1=PQO1O2=8=；又S2=（O2R+O1M）MR=（n+m）（nm）=；=1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1抛物线过点P（4，1），Q（1，4），解得，抛物线解析式为：y=ax2（5a+1）x+5+4a，令y=0，则有：ax2（5a+1）x+5+4a=0，设两根为x1，x2，则有：x1+x2=，x1x2=，在x轴上截得的线段长为1，即|x1x2|=1，（x1x2）2=1，（x1+x2）24x1x2=1，即（）24（）=1，化简得：8a210a+1=0，解得a=，可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a0）矛盾，不存在这样的抛物线- 12 -