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1、精选优质文档-倾情为你奉上数学建模队员的选拔 摘要该模型解决了选拔参赛队员及确定最佳组队的问题。该问题涉及面很广，是我们身边经常会遇到的。本文主要采用了层次分析法，综合考虑个人的指标以及整队的技术水平，最终从15名队员中选出9名优秀队员组成三队，并建立了最佳组队的方案。问题二：在选拔队员时，我们全面考察了队员的七项指标，并按照相应的权重得到15名队员的综合排名，最后淘汰掉排名靠后的6 名队员,依次为：， ， ，。为了组成3个队，使得这三个队整体技术水平最高,我们首先引入了刻画每个队竞赛技术水平的函数：本问题就可以转化为寻找该函数的最大值。根据题目要求，为使三名队员的技术水平可以互补，参赛学生最
2、好来自不同专业，我们算得此种情况下有36种组合方式。经计算比较后得到最佳组合方案。如下表：分 组队员一队员二队员三该组水平第一组0.第二组0.第三组0.问题三，我们只考虑计算机能力而不再考察其它情况，选出最佳队员和。比较分析前面的综合排名，的综合能力排第七，而的综合能力排第十一。可见这种选拔方式，有可能影响队伍的总体水平，所以不可取。问题四：根据有违规记录的学生所在的位置来确定其对组队后整体技术水平的影响。经分析可得：如果被选入组队，对组队后三队整体水平有影响，三队整体水平降低。关键词：层次分析法；技术水平指标；最佳组队一、 问题重述一年一度的全国大学生数学建模竞赛是全国所有高校的重要赛事，如
3、何选拔最优秀的队员和科学合理组队问题是一个首先需要解决的数学模型问题。由于竞赛场地、后勤服务、经费设施等原因，需要选拔出优秀的同学代表学校参加全国大学生数学建模竞赛，以减少参赛成员因放弃、不遵守规则、合作不默契等造成的数学建模成绩的影响和学院资源的浪费。以数学建模选修课的笔试成绩，数学竞赛获奖记录，数学建模培训课签到记录，成绩的班级排名，上机操作与软件编程能力，思维敏捷程度以及知识面宽广为依据从15名学生中选拔出9名学生，分为3小组，每个学生的基本条件如表（见附录）需要解决的问题如下：1根据所了解的数学建模知识，明确选拔数学建模队员主要考察的相应素质以及考察方法。2根据基本条件表的信息，建立建
4、模队员选拔的数学模型，从中选出9位同学，并组成3个队，使得这三个队具有良好的知识机构。3判断直接录用一个计算机编程高手，而不再考察其它情况这种选拔方式是否可取。4建立有一个学生有违规记录（如晚提交论文或引用他人文献没有给出出处等）的危害模型。二、 问题分析2.1 问题一分析根据我们所了解的数学建模知识，在选拔数学建模队员时应考察学生的数学基础以及必要的数学建模的知识、良好的编程能力以及熟练地使用数学软件的能力、较强的语言表述能力和写作能力、良好的团队合作精神。同时还要求队员思维敏捷、不怕苦不怕累、对数学模型有较好的悟性。数学和计算机能力是建模的关键，组队时，我们应该优先考虑有这方面才能的人。数
5、学以及数学建模的知识可以通过学生的数学建模笔试成绩和数学竞赛获奖情况来考察，而计算机能力主要通过上机测试成绩来考察。2.2 问题二分析问题二就是在15名学生中剔除6名实力最弱的。由题意可知，该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，我们主要利用层次分析法，分别算出各指标对选择队员的权重，以及各队员对各指标的权重，然后综合考察每个队员的权重进行排名，最后剔除排名落后的六名学生。2.3 问题三分析问题三我们在前一问的基础上进行假设，假设计算机是队员选拔的关键因素，选拔出几名队员，与问题二的综合排名进行对比。通过结果确定直接录取而不考虑其他方面的做法是否可取。2.4 问题
6、四分析画出有违规记录学生所在的位置，分析他对组队后三队整体水平的影响。三、 模型假设1、假设参赛队员的外部环境相同，竞赛中不考虑其它的随机因素。在正式比赛对过程中队员都能正常的发挥自己的水平。2、假设竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件,且认为表中测量的数据都是客观公正的。3、假设数学建模选修成绩，机试成绩，数学竞赛获奖情况，思维敏捷程度，知识面宽广程度，数学建模选修课听课次数以及其他计算机应用情况，这7项对学生数学建模综合能力的影响占主要地位，且影响程度是依次递减的。4、假设在组队后各队的发挥是相互独立对，不受其他组的影响。5、假设组队后的整体水平由该队每项的最佳队员的指标表征。四、 符
7、号说明一致性指标随机一致性指标一致性检验指标准则层对目标层的特征向量方案层对准则层的特征向量方案层对目标层的特征向量最大特征值队员的第项水平指标队员组队的第项水平指标技术水平指标有违规记录的学生15名队员的编号五、 模型的建立与求解5.1 问题二模型的建立及求解5.1.1参赛队员的选取：由每个学生的基本条件表可知，该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题。为了从15名队员中选出9名参赛者，我们主要利用层次分析法，分别算出各指标对选择队员的权重，以及各队员对各指标的权重，然后综合考察每个队员的权重进行排名。根据题目给出的八项指标，我们首先将各指标量化，为了区分各项条件
8、中的档次差异，确定量化原则如下：选修笔试成绩按照满分10分计；思维敏捷、机试和知识面的A、B、C、D等级分别按4分、3分、2分、1分计算；数学竞赛没获奖按1分来计算，获三等奖1次为2分，获三等奖2次为3分，获二等奖2次为5分，获一等奖1次为6分，获一等奖2次为7分；听课次数按一次1分计；其他情况如考过程序员，学过MATLAB的各加1分，过计算机三级的加2分；班级排名情况由于统计的不是很全，所以不好进行量化，因此这项指标可以不用考虑。 表（）15名学生量化分数表学生选修笔试机试数学竞赛获奖思维敏捷知识面听课次数其他情况9.63744219.33143639.21222418.23334418.2
9、2133318.236416183523517.93144427.82242427.73143527.64123617.42144217.84131217.63144516.6312361运用层次分析法： 将从15名学生中选拔9名优秀队员看作一个目标，作为目标层。将刻画队员的7个指标作为标准层。将15名学生作为方案层。如图（1）选拔优秀队员选修成绩机试成绩竞赛获奖思维敏捷知识面听课次数其他情况. . . . . . . . . .目标层：准则层：方案层：图（1）：层次结构图 由题目已知及假设可得，准则层的七项指标依次递减，并认为相邻两项的差距不大，且都假设是相等的，这里都认为相差为1，于是两两
10、对比得如下比较矩阵：这里我们用和法来计算，以下为步骤：将的每一列向量归一化得将按行求和得将归一化得 为近似特征向量；计算最大特征值；由以上公式计算可得最大特征值。特征向量根据一致性指标公式 可得：一致性指标随机一致性指标可根据表（2）查得：。表（2） 随机一致性指标的值n234567891011RI00.580.91.121.241.321.411.451.491.51根据公式得到随机一致性比率：，我们认为成对比较矩阵具有满意的一致性，所以通过一致性检验。我们也可以用MATLAB编程计算得到（见附录程序1）。根据问题的条件和模型的假设，对每个人各项条件的量化指标能够充分反映出每个人的综合实力。
11、由此可以分别构造层对准则的比较矩阵：其中，。显然，所有的均为一致阵。由一致阵的性质可知：的最大特征值，其任一列向量都是的特征向量。将其归一化可得对的权重向量。记作，记为层对层的权重，且一致性比率指标为，表（3）为层的特征向量：表（3）：层的特征向量C-P0.07920.07140.20590.08160.09090.03130.05000.07670.07140.02940.08160.06820.09380.15000.07590.02380.05880.04080.04550.06250.05000.06770.07140.08820.06120.09090.06250.05000.067
12、70.04760.02940.06120.06820.04690.05000.06770.07140.17650.08160.02270.09380.05000.06600.07140.14710.04080.06820.07810.05000.06520.07140.02940.08160.09090.06250.01000.06440.04760.05880.08160.04550.06250.01000.06350.07140.02940.08160.06820.07810.01000.06270.09520.02940.04080.06820.09380.05000.06110.047
13、60.02940.08160.09090.03130.05000.06440.09520.02940.06120.02270.03130.05000.06350.07140.02940.08160.09090.07810.05000.05450.07140.02940.04080.06820.09380.0500由于标准层对目标层的权重为，方案层 对标准层权重为，则对的权重为：其组合一致性比率指标为：因此，组合权重可作为目标决策的依据。根据权重，得到15人的排序结果见表（4）。表（4）：15人的最终排序结果特征向量0.095430.084910.077730.072020.070980.065
14、490.064230.06403队 员S1S6S7S4S2S8S11S10特征向量0.064020.061070.060930.055710.055370.054720.05355队 员S14S9S13S15S12S5S3由表可以作队员的权重图 见图(2)：图（2）15名队员权重图根据题目要求，在15名学生中选取9名参赛队员，即选取权重排前9名的学生。由图表可知，依次为：S1, S6, S7, S4, S2, S8, S11, S10, S14。5.1.2最佳组队方案的确定：第二小问是确定最佳的组队，使竞赛技术水平最高。显然是要考虑队员之间各项指标的互补性，找到三人让其各项权重达到最大值。组队
15、原则：三名队员的技术水平可以互补（最好来自不同专业），技术水平最高则为该队的水平指标。任取3名队员组合，求出相应的技术水平指标之和的最佳组队方案对分组的影响主要取决于前四项指标：数学建模选修成绩，机试成绩，数学竞赛获奖情况，思维敏捷程度。9名学生分为3组，总共有种组队方式。按照不同专业学生分在不同组的原则，有36种组队方式。：三名队员组成的一个队。：队员的第项水平指标。：队员组队的第项水平指标：技术水平指标。经计算得出组队结果：分 组队员一队员二队员三该组水平第一组0.第二组0.第三组0.5.2 问题三解答直接录用编程高手而不考虑其他情况，这种做法是不可取的。根据我们所建立的上述选取模型可知，
16、我们是根据学生综合情况来选取的，而不是考虑某一项。如果只考虑计算机能力这一点，可得到与的计算机能力最强。但是，的综合能力排第七，而的综合能力排第十一，如果老师直接录取，有可能影响队伍的总体水平，而且也有失公平选拔这一原则。由此说明，直接录用一个计算机编程高手，而不再考察其它情况这种选拔方式是不可取的。5.3 问题四模型建立及求解假设有违规记录的学生为，若该学生处在被排除的人中，则对整体竞赛水平没有影响，若该队员处在被选中的人中，则整体竞赛水平需根据以下模型计算。，分别为当X处在A，B，C组时，三组的整体水平。且假设X处在各组中时对该组的影响概率相同都为，（）。当不考虑X违规时的三组的水平分别，
17、。则如果不考虑违规的影响，组队后整体水平为，考虑违规的影响时：大于，。可知在被选中的9人之中时，其有违规记录都会影响组队之后的整体水平使整体水平降低。六、 模型的评价及推广6.1 模型的优点运用了层次分析法，对各队员的选拔具有了较高的公平性。在考虑组队的思想上还是加入了权重，建立了刻画各队竞赛技术水平的指标函数，形象的说明了各队的优劣状况。而且在考虑组队的过程中，尽量让问题简化，只是在剩余的队员中找最佳组，让问题很明了，思路很清晰。也达到了问题的求解6.2 模型的缺点对于问题四，我们没有提出一个更好的办法与思想来求解，我们的解法在一定程度上还是不够精确，存在偏差。应该在问题三模型一与二上找到一
18、定的算法，让问题更具有说服力。6.3 模型的推广在日常生活中经常会遇到各式各样的选拔，比如足球队员的选拔，三好学生的选拔等等，都可以用本模型。类似地还可以推广到人们对于较复杂，较模糊问题的决策上，比如物种的保留，基因的研究，人才的录用，成绩的评定等。在一些科研、教育领域，都可以运用本模型。七、 对建模选拔机制的建议根据前面所建的模型，我们认为用此模型来选拔队员非常公平，合理。因此，我们对学校提出如下建议： 学校可以参考本题，尽可能地将报名参赛的同学信息统计完整以便于更好地选取队员。 对本题题目所统计的信息，我们认为应该稍加改进，有些指标相对于其他指标对队员的影响较弱的我们可以不进行统计，比如说
19、听课的次数以及在班级里的排名情况，这对数学建模的影响不是很大。这样做，可以有效提高统计的效率。 对于其他几项我们要进行着重的调查，比如说数学的功底，计算机的实际操作能力（包括编程、计算机的工作软件的应用和与数学建模相关的数学软件的应用），这两项是数学建模的基础能力，也是主要的能力。我们建议在这两方面我们可以进行一个全方位的调查，可以根据平时的总体表现来定位，而不是只依照一次或者几次的考试成绩来判断，我想这可以用数学建模中统计的方法来进行定量的运算。 当确定每项指标的定量数据之后，我们就可以用到上述的层次分析方法对每一个学生进行定量的计算和分析，以此来选拔数学建模的优秀人才。（对此模型的优点我们
20、已经在第六点“模型的评价及推广中”介绍过） 最后我们在选出的几位同学中进行组队，学校可以组织一个实力最强的队伍。其余的同学可以用动态规划的方法，分决策过程为n个阶段（n为所要组成的队伍数），按组队原则完成，每一阶段确定一个决策变量，然后建出模型进行最优化组合。八、 参考文献1. 陈东彦，李冬梅，数学建模,北京：科学出版社，2007。2. 姜启源，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003。 3. 韩中庚，最佳组队方案及模型，数学的实践与认识，1997，27（2）：133-144。 九、 附录15名学生的部分信息表学生专业选修笔试竞赛获奖班级排名听课次数其它情况思维敏捷机试知识面S1通信
21、理工96一等2次22ABAS2电子信息936过计算机三级ABBS3机械92三等1次4CDCS4机械82三等2次104上过建模选修课BBAS5通信理工823BCBS6电子信息82一等1次36ABDS7市场营销理工80二等2次75CBBS8通信理工794考过程序员ABAS9电子信息78三等1次124学过MATLABACCS10电子信息775学过MATLABABBS11市场营销理工766CABS12市场营销理工742ACAS13计算机782BADS14计算机765ABAS15计算机666CBB程序1：clear allclose allclca=1 2 3 4 5 6 7 1/2 1 2 3 4 5
22、 6 1/3 1/2 1 2 3 4 5 1/4 1/3 1/2 1 2 3 4 1/5 1/4 1/3 1/2 1 2 3 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1 2 1/7 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1;n=7;%第一步：每一列向量标准化for i=1:n for j=1:n x=0; for k=1:n x=x+(a(k,j); end b(i,j)=a(i,j)/x; endendb;%第二步：按行相加for i=1:n y=0; for j=1:n y=y+b(i,j); end c(i,1)=y;endc;%第三步：得到特征向量for i=1:n w(i,1)=c(i)/sum(c);endw%第四步：求AWAW=a*w;%第五步：计算最大特征值r=0;for i=1:n r=r+1/n*AW(i)/w(i);endr%计算一致性指标CICI=(r-n)/(n-1)%计算随机性指标RIif (n=7) RI=1.32;endRI%计算一致性检验CRCR=CI/RI专心-专注-专业