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1、哈尔滨工程大学理学院，卜长江高等数学学习方法高等数学学习方法(FIC)系列讲座系列讲座4：不定积分的核心本质与解题方法总结不定积分的核心本质与解题方法总结卜长江卜长江Email:Tel:82519384（O）哈尔滨工程大学理学院应用数学系）哈尔滨工程大学理学院应用数学系2008.12.04哈尔滨工程大学理学院，卜长江高等数学高等数学FIC学习方法学习方法F：基础（基础知识）；I：思想（问题的核心、本质、体系）；C：分类解题（将数学问题分为若干类，研究 每一类问题的解法，对每一类问题用固定的 方法处理）。F：基础（基础知识）；I：思想（问题的核心、本质、体系）；C：分类解题（将数学问题分为若干类
2、，研究 每一类问题的解法，对每一类问题用固定的 方法处理）。哈尔滨工程大学理学院，卜长江F：基础知识：基础知识原函数概念 原函数概念 若若()()Fxf x=，则称，则称()F x是是()f x的原函数。的原函数。()f x的任意两个原函数相差一个常数，从而的任意两个原函数相差一个常数，从而()F xC+为为()f x的全体原函数，的全体原函数，记记()()F xCf x dx+=+=。1。1 不定积分第一换元法：不定积分第一换元法：()f x dx 中的中的dx是微分 2是微分 2 第二换元法:第二换元法:()()()()()()xtdtt df x dxtttff=3 3 分部积分公式：分
3、部积分公式：vvduvudu=4 4 背积分表 背积分表 哈尔滨工程大学理学院，卜长江I：思想，微积分体系的思想：思想，微积分体系的思想 关于关于()yA xox =+=+提出的两个问题：提出的两个问题：1、?A=记记dyAdx=，称，称dyAdx=y?2、()()?yy by a=()()()y by aA x dxdy=，其中，其中()yA x =。即即()()|()|bbaaf x dxF xf x dx=哈尔滨工程大学理学院，卜长江()s xxa b()()()SS bS adSS x dx=如何求微分？如何求微分？()yA xox=+=+成立成立()yA xoxxx =成立成立|0y
4、A xx 成立。成立。|0yA xx 成立成立dyA x=哈尔滨工程大学理学院，卜长江面积函数的微分：面积函数的微分：()yf x=()s x xa bs xdx+12()()()|fxfxSf xxxx 12|()()|0ff =，所以所以()dSf x dx=，()()()SdSf x dxS bS a=哈尔滨工程大学理学院，卜长江例：求曲线例：求曲线2yx=与区间与区间0,1所围曲边梯形面积。所围曲边梯形面积。2()dSf x dxx dx=，313Sx=21(1)(0)3SdSx dxSS=1哈尔滨工程大学理学院，卜长江曲线曲线()yf x=与区间与区间,a b所围曲边梯形面积。所围曲
5、边梯形面积。()()()()|()babaSdSf x dxS bS af x dxf x dx=?()()baf x dxf x dx?ba哈尔滨工程大学理学院，卜长江 总之微积分学讲了两件事：总之微积分学讲了两件事：1、dyydx?2、()()()|bbaaf x dxf x dxf x dx=?哈尔滨工程大学理学院，卜长江I：思想，凑微分的思想-核心是：思想，凑微分的思想-核心是统一中间变量！统一中间变量！111()dxd axba=+2 2()()()f x dxdF xdf x dx=?例：例：22221122xxxxe dxe deCx=+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江I：思想，
6、凑微分的思想-核心是：思想，凑微分的思想-核心是统一中间变量！统一中间变量！例：例：22(1)(1)xxxxxexeeedd=+=+2(1)xxxeede=+=+221(1)(1)xeuuuuuduuuud=+=+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江I：思想，凑微分的思想-核心是：思想，凑微分的思想-核心是统一中间变量！统一中间变量！例：例：2(1)xxdIe=+=+方法 方法 1：22(1)(1)xxxxxxddIexeeeee=+=+221(1)(1)xeuduuduuuuuu=+=+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江I：思想，凑微分的思想-核心是：思想，凑微分的思想-核心是统一中间变量！统一中
7、间变量！方法 2：方法 2：2222(1)(1)xxxxxexdeedIe =+=+22(1)(1)11xxxxxxeeeeedde=+=+211(1(1)1)1)xxxxd eed ee=+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江I：思想，凑微分的思想-核心是：思想，凑微分的思想-核心是统一中间变量！统一中间变量！例：例：lntancossinxdxIxx=解：解：2lncoslncossincossitatannn dxxdxIxxxxxx=tantancoslnsinxxxdx=tantantantantanlnlnlnxxxdxdx=2tan)1(ln2xC=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江C：
8、分类解题：分类解题如何计算积分？如何计算积分？若是八种类型积分：按固定方法求 若不是八种类型积分：凑出来（核心是若是八种类型积分：按固定方法求 若不是八种类型积分：凑出来（核心是统一中间变量！统一中间变量！）八种类型积分：八种类型积分：4 种作变换类型 4 种作变换类型(1).被积函数含(1).被积函数含naxbcxd+,(2).被积函数含,(2).被积函数含22ax,(3).被积函数含,(3).被积函数含22ax+,(4).被积函数含,(4).被积函数含22xa。哈尔滨工程大学理学院，卜长江4 种分部积分类型4 种分部积分类型 公式:公式:udvuvvdu=.(1).(1).vudx?多项式
9、多项式三角函数或指数函数)三角函数或指数函数)(2).(2).?()()uvf xxdx?，其中，其中()f x的积分简单，的积分简单，()x 导数简单，导数简单，通常：通常：()f x是幂函数、指数函数，是幂函数、指数函数，()x 是对数、反三角、变是对数、反三角、变限限积分。积分。哈尔滨工程大学理学院，卜长江4 种分部积分类型 4 种分部积分类型 （3）.（3）.,u uv vd x?,指数函数)三角函数指数函数)三角函数(,两次分部积分,出现循环形式.（4）.抵消类型 被积函数含(,两次分部积分,出现循环形式.（4）.抵消类型 被积函数含21sincos,xxxxx eeexxx?哈尔滨
10、工程大学理学院，卜长江例例322ln(1)xdxIx=+=+解解23322tanlnlntan secsec(1)xtxdxttdtItx=+=+cos lntanttdt=lntansintdt=2secsin lntansintanttttdtt=1sin lntancosttdtt=哈尔滨工程大学理学院，卜长江例例1cossinxdxIx+=+=解：解：2cos2sinxdxIx=2cos22sincos22xdxdxxx=22sin2dxxdx=哈尔滨工程大学理学院，卜长江例例23sincosxIdxx=解 解2234sinsinsincoscosxxIdxdxxx=222sinsin
11、(1sin)xdxx=2sin22(1)txtdtt=222111()()1411tdtdtttt=+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江例例sincossincosxxIdxxx=+解 解12sincos2sincosxxIdxxx=+112sincos12sincosxxdxxx+111(sincos)22sincosxx dxdxxx=+=+12112(sincos)22sin()4xxdxx=+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江例例sin1cosxxIdxx+=+=+解 解sin1cos1cosxxIdxdxxx=+=+21(1cos)21coscos2xxddxxx=+=+1tan(1co
12、s)21cosxxddxx=+=+tantanln(1cos)22xxxdxx=+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江例例1(2cos)sinIdxxx=+=+解 解2sin(2cos)sinxIdxxx=+=+2cos1(2)(1)txdttt=+=+2122(2)(1)ttdttt+=+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江例例cot1sinxIdxx=+=+解 解cos(1sin)sinxIdxxx=+=+1sin(1sin)sindxxx=+=+1sinsinsin(1sin)sinxxdxxx+=+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江例例1xxxeIdxe=+解解lnln111xxt exxxxx
13、etIdededttee=+=+ln1ln1lntdttttdt=+=+=+=+1lntttdtt+=+=12121uttudtudutu=+=+=+=（即本题可作变换（即本题可作变换1xue=+）哈尔滨工程大学理学院，卜长江例例3sin2cossincosxxxxIedxx=解 解sinsin2sincoscosxxxIexxdxedxx=sinsinsinsecxxexdxedx=sinsinsecxxxdeedx=sinsinsinsin(sec)xxxxxeedxexedx=sinsinsecxxxeexC=+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江 例.2004，数 3，10 分，计算例.2
14、004，数 3，10 分，计算cosln xdx。分析：分析：lncoscoslnxIdxdxxxx=coslnlnxxdx=lncoslnlnxexdx=lncosttxetdt=：定式：定式 哈尔滨工程大学理学院，卜长江例 2007，数学 1，填空，4 分。例 2007，数学 1，填空，4 分。12311_xIe dxx=分析：分析：11221131121111txtxxIe dxe dte dtxxx=111111222|ttttdetee dt=哈尔滨工程大学理学院，卜长江2006，数学 2，11 分。2006，数学 2，11 分。arcsinxxeIdxe=分析：分析：arcsinarcsinxxxxeIdxee dxe=，xe 积分简单，积分简单，arcsinxe导数简单，导数简单，是八种类型积分之一。解 是八种类型积分之一。解 arcsiarcsinnxxxxIdxeeede =21arcsin1xxxeedxe=+=+，其中，其中2222111xxxxedxdxeee=2221111,2211xxxdedtttee=令令1ut=哈尔滨工程大学理学院，卜长江谢谢同学的耐心和关注！谢谢同学的耐心和关注！卜长江卜长江Email:Tel:82519384（O）哈尔滨工程大学理学院应用数学系）哈尔滨工程大学理学院应用数学系2008.12.04