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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 1 随机变量的概念随机变量的概念随机事件可以采取数量的标识。如：抽样检查产品时废品的个数。掷骰子出现的点数。对没有数量标识的事件，可以人为加上数量标志。如产品为优质品记为1，次品记为2，废品记为3。天气下雨记为1，不下雨记为0。例如：(1)射击击中目标记为1分，未中目标记0分。用表示射击的得分，它是随机变量，可取0和1两个值。(2)抛一枚硬币，表示正面出现的次数，它是随机变量，可取0和1两个值。(3)某段时间内候车室旅客数目记为，它可取0及一切不大于最大容量M的自然数。(4)一块土地上农作物的产量是随机变量，它可以取区间0，T的一切值。(5)沿
2、数轴运动的质点，它的位置是随机变量，可以取任何实数，即 (-,+)随机变量按取值情况分为两类：(1)离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值。(2)非离散型随机变量可以在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实数区间的全部值。非离散型随机变量中最常用的是连续型随机变量。即取值于一个连续区间全部数值的随机变量。以后，只研究离散型与连续型随机变量。定义2 若是一个随机变量，对任何实数x，令F(x)=P(x)称为F(x)是随机变量的分布函数。对任意实数ab,有P(a b)=P(b)-P(a)=F(b)-F(a)分布函数完整地描述了随机变量的变化情况。注意 P(a b)=P(=a)+P(a b)=P(
3、=a)+F(b)-F(a)P(a b)=P(a b)-P(=b)=F(b)-F(a)-P(=b)分布函数具有如下的性质：F(x)是概率，取值在0与1之间(2)F(x)是x的不减函数。x所含基本事件个数不会随x增大而减少(4)F(x)至多有可列个间断点，在其间断点上右连续。2 随机变量的分布随机变量的分布(一)离散型随机变量的分布定义1 如果随机变量只取有限个或可列个可能值，而且以确定的概率取这些不同的值，则称为离散型随机变量。一般列成概率分布表：也可写成P(=xk)=Pk(k=1,2,)称之为概率函数。x1,=x2,=xk,构成完备事件组。离散型随机变量的分布是指概率分布表或概率函数。性质：P
4、k0,k=1,2,例1 一批产品的废品率为5，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量描述废品出现的情况。解：用表示废品的个数。1表示产品的废品，0表示产品的合格品。或P(=k)=(0.05)k(0.95)1-k,(k=0,1)分布函数的图形：x010.951称为两点分布称为0-1分布例2 产品有一、二、三等品及废品4种，其一、二、三等品率和废品率分别为60，10，20，10，任取一个产品检验其质量，用随机变量描述检验结果。解：用 k表示产品为k等品，k1，2，3 4表示产品为废品概率分布表为0.1123401p12340.10.61例3 用随机变量描述掷骰子的试验情况。解：令表示掷一颗骰子出现的
5、点数。其分布函数为其图形为离散型随机变量的分布函数图形是阶梯曲线。在的取正概率的点xk处有跳跃，跃度为概率pk在任一连续点x上，取值x的概率都是零。10123456解：在跳跃点的跃度就是概率。故概率分布表为解：概率之和应为112a+3a+a+2a+a+a=10a故 a=0.1概率表应为=0.8=0.6这种随机变量称为几何分布。例7 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡，其中10个螺口，5个卡口，灯口向下放着。现在需要1个螺口灯泡，从盒中任取一个，如果取到卡口灯泡就不再放回去。求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数的分布。解：0表示第一个就取到了螺口灯泡。1表示第一个取到卡口，第二个才取到螺口灯
6、泡。故的分布为若本题改为取到卡口再放回去。则每次取灯泡时的情况完全相同。k表示前k次取到卡口灯泡，第k1次取到螺口灯泡。k0，1，2，例8 一袋中装有编号为1，2，3，4，5的五个小球，任取3个，用表示球上的最大号码，求的分布。解：至少为3故的概率分布为(二)连续型随机变量的分布例9 在区间4，10上任意抛掷一个质点，用表示这个质点与原点的距离，则是一个随机变量。若这个质点落在4,10上任一子区内的概率与这个区间长度成正比，求的分布函数。图形为F(x)1x410取任何一个具体值的概率都是零。概率密度的基本性质：由于P(=a)=P(=b)=0,故对连续型随机变量。P(a b)=P(ab)=P(a b)=F(b)-F(a)=0=1x0时00 x2时1P(1.52.5)=F(2.5)-F(1.5)=0.0625或者0.0625x0时0 x0时故分布函数为=1-(2+1)e-2-0=1-3e-2实际上，对任意一点xP(=x)=0