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1、第二节 函数的单调性与最值 三年三年9 9考考 高考指数高考指数:1.1.理解函数的理解函数的单调单调性、最大性、最大值值、最小、最小值值及其几何意及其几何意义义；2.2.会利用函数的会利用函数的图图象理解和研究函数的性象理解和研究函数的性质质1.1.确定函数确定函数单调单调性、性、单调单调区区间间及及应应用函数用函数单调单调性求性求值值域、最域、最值值，比比较较或或应应用函数用函数值值大小，是高考的大小，是高考的热热点及重点点及重点.2.2.常与函数的常与函数的图图象及其他性象及其他性质质交交汇汇命命题题.3.3.题题型多以型多以选择题选择题、填空、填空题题形式出形式出现现，若与，若与导导数
2、交数交汇则汇则以解答以解答题题形式出形式出现现.1.1.增函数、减函数增函数、减函数一般地，一般地，设设函数函数f(xf(x)的定的定义义域域为为I I，区，区间间D DI,I,如果如果对对于任意于任意x x1 1,x,x2 2D,D,且且x x1 1xx2 2,则则都有都有:(1)f(x)(1)f(x)在区在区间间D D上是增函数上是增函数_；(2)f(x)(2)f(x)在区在区间间D D上是减函数上是减函数_.f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2)【即时应用即时应用】(1)(1)如果函数如果函数f(xf(x)在在a,ba,b上是增函数，上是增函数，对对于任意的于任意的x x1
3、1、x x2 2a,ba,b(x(x1 1xx2 2)，判断下列，判断下列结论结论的真假的真假(在括号内填在括号内填“真真”或或“假假”)；()()(x(x1 1-x-x2 2)f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0 0；()()f(af(a)f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)f(bf(b)；()()()()(2)(2)已知函数已知函数f(xf(x)为为R R上的减函数，若上的减函数，若mn,mn,则则f(m)_f(nf(m)_f(n););若若f(|xf(|x|)f(1),|)f(1),则实则实数数x x的取的取值值范范围围是是_._.(3)(3)若函数若函数y=axy=ax
4、与与 在在(0(0，+)+)上都是减函数，上都是减函数，则则y=axy=ax2 2+bxbx在在(0(0，+)+)上是上是_函数函数(填填“增增”或或“减减”).).【解析解析】(1)(1)当函数当函数f(xf(x)在在a,ba,b上是增函数时，对于任意的上是增函数时，对于任意的x x1 1、x x2 2a,ba,b(x(x1 1xx2 2)，能得出，能得出真，真，假假(2)(2)由减函数的定义知，若由减函数的定义知，若mn,m)f(nf(n););若若f(|xf(|x|)f(1),|)1,|x|1,得得:x1:x1或或x-1.x (2)x|xx|x11或或x-1x0),t=2x+1(t0),
5、因为因为y=logy=log5 5t t在在t(0,+)t(0,+)上为增函数，上为增函数，t=2x+1t=2x+1在在(，+)+)上上为增函数，为增函数，所以函数所以函数f(xf(x)=log)=log5 5(2x+1)(2x+1)的单调增区间为的单调增区间为(,+).(,+).答案：答案：(，+)+)(2)(2)方法一：定义法：设方法一：定义法：设x x1 1xx2 2-1,-1,则则y y1 1-y-y2 2=xx1 1xx2 2-1,x-1,x2 2-x-x1 10,x0,x+10,x2 2+10,+10,即即y y1 1-y-y2 20,y0,y1 1yy2 2.y=y=在在(-1,
6、+)(-1,+)上是减函数上是减函数.方法二：导数法：方法二：导数法：在在(-1(-1，+)+)上，上，y0,y0,故故y=y=在在(-1,+)(-1,+)上为减函数上为减函数.【反思反思感悟感悟】判断判断(或证明或证明)函数单调性函数单调性(区间区间)，一定要先确定，一定要先确定定义域，然后根据所给函数的结构特征及要求选择合适的方法求定义域，然后根据所给函数的结构特征及要求选择合适的方法求解，并且结果一定要写成区间的形式，当同增解，并且结果一定要写成区间的形式，当同增(减减)区间不连续时，区间不连续时，一般不能用并集符号连接一般不能用并集符号连接.应用函数的单调性应用函数的单调性【方法点睛方
7、法点睛】应应用函数的用函数的单调单调性可求解的性可求解的问题问题(1)(1)由由x x1 1,x,x2 2的大小，可比的大小，可比较较f(xf(x1 1)与与f(xf(x2 2)的大小；的大小；(2)(2)知知f(xf(x1 1)与与f(xf(x2 2)的大小关系，可得的大小关系，可得x x1 1与与x x2 2的大小关系；的大小关系；(3)(3)求解析式中参数的求解析式中参数的值值或取或取值值范范围围；(4)(4)求函数的最求函数的最值值；(5)(5)得到得到图图象的升、降情况，画出函数象的升、降情况，画出函数图图象的大致形状象的大致形状.【例例2 2】(1)(1)若若f(xf(x)为为R
8、R上的增函数，上的增函数，则满则满足足f(2-m)f(mf(2-m)f(m2 2)的的实实数数m m的取的取值值范范围围是是_._.(2)(2)已知函数已知函数y=y=f(xf(x)是偶函数，是偶函数，y=f(x-2)y=f(x-2)在在0,20,2上是上是单调单调减函数，减函数，试试比比较较f(-1),f(0)f(-1),f(0)，f(2)f(2)的大小的大小.【解题指南解题指南】(1)(1)根据根据f(xf(x)的单调性，得到的单调性，得到2-m2-m与与m m2 2的大小关系，的大小关系，从而求解从而求解.(2)(2)根据函数根据函数f(xf(x)的性质先得到的性质先得到y=y=f(xf
9、(x)在在0,20,2上的单调性或上的单调性或-2,2-2,2上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小小.【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为f(xf(x)为为R R上的增函数，且上的增函数，且f(2-m)f(mf(2-m)f(m2 2)，则有则有:2-mm:2-m0.+m-20.解得解得:m-2:m1.m1.所以所以m m的取值范围为的取值范围为:(-,-2)(1,+).:(-,-2)(1,+).答案：答案：(-,-2)(1,+)(-,-2)(1,+)(2)(2)方法一：因为方法一：因为y=f(x-2)y=f(x-2)的图象可由的
10、图象可由y=y=f(xf(x)的图象向右平移的图象向右平移2 2个个单位而得到，而单位而得到，而y=y=f(xf(x)为偶函数，其图象关于直线为偶函数，其图象关于直线x=0 x=0对称，对称，函数函数y=f(x-2)y=f(x-2)的图象关于直线的图象关于直线x=2x=2对称，对称，又又y=f(x-2)y=f(x-2)在在0,20,2上单调递减上单调递减,函数函数y=f(x-2)y=f(x-2)在在2,42,4上单调递增，上单调递增，因此因此,y=,y=f(xf(x)在在0,20,2上单调递增，上单调递增，又又f(-1)=f(1),f(-1)=f(1),01f(-1)f(0).01f(-1)f
11、(0).方法二：由方法一可得函数方法二：由方法一可得函数y=y=f(xf(x)在在-2,2-2,2上图象的大致形状上图象的大致形状为为由图象知由图象知f(2)f(-1)f(0).f(2)f(-1)f(0).1 12 2-1-1-2-2x xy yf(0)f(0)f(2)f(2)f(-1)f(-1)【反思反思感悟感悟】1.1.根据函数的单调性，解含有根据函数的单调性，解含有“f f”号的不等式号的不等式时，要根据函数的性质，转化为如时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(xf(g(x)f(h(xf(h(x)”的形式，的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域再利用单调性，转
12、化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域.2.2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.求函数的最值求函数的最值【方法点睛方法点睛】求函数最值的常用方法求函数最值的常用方法(1)(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点
13、，求图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；出最值；(3)(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相一正二定三相等等”的条件后用基本不等式求出最值；的条件后用基本不等式求出最值；(4)(4)导导数法：先求数法：先求导导，然后求出在，然后求出在给给定区定区间间上的极上的极值值，最后，最后结结合合端点端点值值，求出最，求出最值值；(5)(5)换换元法：元法：对对比比较较复复杂杂的函数可通的函数可通过换过换元元转转化化为为熟悉的函数，熟悉的函数，再用相再用相应应的方法求最的方法求最值值 【例例3 3】(1)(1)已知函数已知函
14、数f(xf(x)=,)=,则则f(xf(x)在在 ,2,2上的最大上的最大值为值为_，最小，最小值为值为_._.(2)(2)函数函数y=y=的最大的最大值为值为_._.(3)(2012(3)(2012珠海模珠海模拟拟)已知函数已知函数f(xf(x)=kx)=kx3 3-3kx-3kx2 2+b+b在在-2,2-2,2上上最大最大值为值为3,3,最小最小值为值为-17,-17,求求k k、b b的的值值.【解题指南解题指南】(1)(1)可用单调性法；可用单调性法；(2)(2)选用换元法，转化为二次函选用换元法，转化为二次函数求解最值数求解最值.(3).(3)求导后求导后,对对k k分大于分大于0
15、 0和小于和小于0 0讨论讨论,确定单调区间确定单调区间,根据最值列出含有根据最值列出含有k k、b b的方程组的方程组,解方程组可得解方程组可得.【规范解答规范解答】(1)f(x)=(1)f(x)=在在 ,2,2上为减函数，上为减函数，f(x)f(x)minmin=f(2)=f(2)=f(x)f(x)maxmax=答案答案:(2)(2)令令则则y=y=当当t=t=时，时，y ymaxmax=.=.答案答案:(3)(3)由题设知由题设知k0k0且且f(xf(x)=3kx(x-2),)=3kx(x-2),0 x20 x2时时,x(x-2)0;,x(x-2)0;x0 x2x2时时,x(x-2)0;
16、,x(x-2)0;x=0 x=0和和x=2x=2时时,f(xf(x)=0,)=0,由题设知由题设知-2x2,f(-2)=-20k+b,f(0)=b,-2x2,f(-2)=-20k+b,f(0)=b,f(2)=-4k+b.f(2)=-4k+b.k0k0时时,-2x0,-2x0时时,f(xf(x)0;0 x2)0;0 x0,)0,f(xf(x)在在(-2,0)(-2,0)上递减上递减,在在(0,2)(0,2)上递增上递增,x=0 x=0为为f(xf(x)的极小值点的极小值点,也是最小值点也是最小值点;f(-2)f(2),f(-2)f(2),f(xf(x)的最大值是的最大值是f(-2).f(-2).
17、解解 解得解得k=-1,b=-17.k=-1,b=-17.k0k0时时,-2x0,-2x0;0 x0;0 x2时时,f(xf(x)0,)0,f(xf(x)在在(-2,0)(-2,0)上递增上递增,在在(0,2)(0,2)上递减上递减,x=0 x=0为为f(xf(x)的极大值点的极大值点,也是最大值点也是最大值点;f(-2)f(2),f(-2)f(2),f(xf(x)的最小值是的最小值是f(-2),f(-2),解解 解得解得k=1,b=3,k=1,b=3,综上综上,k=-1,b=-17,k=-1,b=-17或或k=1,b=3.k=1,b=3.【反思反思感悟感悟】求函数的最值常结合解析式的特点而选
18、取适当的求函数的最值常结合解析式的特点而选取适当的方法方法.(1)(1)单调性法：若所给函数在某个区间上单调性已知或能确定，单调性法：若所给函数在某个区间上单调性已知或能确定，则该函数在这个区间上的最值一般在端点处取得；则该函数在这个区间上的最值一般在端点处取得；(2)(2)基本不等式法：当函数的解析式可化为和为定值或积为定值基本不等式法：当函数的解析式可化为和为定值或积为定值时可用此法；时可用此法；(3)(3)导数法：当函数解析式较复杂时，可考虑用此法；导数法：当函数解析式较复杂时，可考虑用此法；(4)(4)数形结合法：所给函数易画出其图象时，可结合图象求最值；数形结合法：所给函数易画出其图
19、象时，可结合图象求最值；(5)(5)对于一些根式、分式、高次式等常先用换元法，转化为以上对于一些根式、分式、高次式等常先用换元法，转化为以上四种情况中的某种再求最值四种情况中的某种再求最值.【易错误区易错误区】确定与确定与应应用分段函数用分段函数单调单调性中的性中的误误区区【典例典例】(2012(2012南京模南京模拟拟)已知函数已知函数 则满则满足足不等式不等式f(1-xf(1-x2 2)f(2x)f(2x)的的x x的取的取值值范范围围是是_._.【解题指南解题指南】可结合函数可结合函数 的图象以及的图象以及f(1-xf(1-x2 2)f(2x)f(2x)的条件，得出的条件，得出1-x1-
20、x2 2与与2x2x之间的大小关系，进而求得之间的大小关系，进而求得x x的取值的取值范围范围.也可分也可分1-x1-x2 200，1-x1-x2 200讨论求解讨论求解.【规范解答规范解答】方法一：画出方法一：画出 的图象，的图象，由图象可知，由图象可知，若若f(1-xf(1-x2 2)f(2x)f(2x)，则则即即 得得xx方法二：当方法二：当x=-1x=-1时，时，1-x1-x2 2=0,=0,则则f(0)=1,f(0)=1,f(-2)=1,f(-2)=1,无解无解;当当-1x0-10,f(1-x0,f(1-x2 2)f(2x)f(2x)化为化为(1-x(1-x2 2)2 2+11+11
21、，恒成立，恒成立,当当0 x100,0,2x0,原不等式化为原不等式化为(1-x(1-x2 2)2 2+1(2x)+1(2x)2 2+1,+1,即即(x+1)(x+1)2 22,2,当当1-x1-x2 20f(2x)f(2x)，得，得1-1-x x2 22x,2x,却忽略了却忽略了1-x1-x2 200而失误而失误.备备考考建建议议解决分段函数的单调性问题时，还有以下几点，在备解决分段函数的单调性问题时，还有以下几点，在备考中要高度关注：考中要高度关注：(1)(1)抓住对变量所在区间的讨论；抓住对变量所在区间的讨论；(2)(2)保证各段上同增保证各段上同增(减减)时，要注意上、下段间端点时，要
22、注意上、下段间端点值间的大小关系值间的大小关系.(3)(3)弄清最终结果取并还是交弄清最终结果取并还是交.1.(20111.(2011新新课标课标全国卷全国卷)下列函数中，既是偶函数又在下列函数中，既是偶函数又在(0(0，+)+)上上单调递单调递增的函数是增的函数是()()(A)y=x(A)y=x3 3 (B)y=|x|+1(B)y=|x|+1(C)y=-x(C)y=-x2 2+1 (D)y=2+1 (D)y=2-|x|-|x|【解析解析】选选B.B.函数函数y=xy=x3 3是奇函数，故可排除是奇函数，故可排除A A，当，当x x0 0时，时，y=|x|+1=x+1y=|x|+1=x+1，是
23、增函数，是增函数，y=-xy=-x2 2+1+1是减函数，是减函数，y=2y=2-|x|-|x|=2=2-x-x=为减函数为减函数.2.(20122.(2012深圳模深圳模拟拟)函数函数 的的单调单调减区减区间为间为()()(A)(0,+)(B)(0,4)(A)(0,+)(B)(0,4)和和(4,+)(4,+)(C)(-,4)(C)(-,4)和和(4,+)(D)(-,+)(4,+)(D)(-,+)【解析解析】选选C.C.函数函数 ,f(4)=,f(4)=故函故函数的单调减区间为数的单调减区间为(-,4)(-,4)和和(4,+).(4,+).3.(20123.(2012江江门门模模拟拟)已知函数已知函数 若若f(2-af(2-a2 2)f(af(a)，则实则实数数a a的取的取值值范范围围是是 ()()(A)(-,-1)(2,+)(A)(-,-1)(2,+)(B)(-1,2)(B)(-1,2)(C)(-2,1)(C)(-2,1)(D)(-,-2)(1,+)(D)(-,-2)(1,+)【解析解析】选选C.f(xC.f(x)=)=由由f(xf(x)的图象可知的图象可知f(xf(x)在在(-,+)(-,+)上是单调增函数，由上是单调增函数，由f(2-af(2-a2 2)f(af(a)得得2-a2-a2 2a,a,即即a a2 2+a-20,+a-20,解得解得-2a1.-2a1.