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1、 本文由冬天在流浪贡献 p p t 文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。3.点 直线.3.点.直线.平面的投影 教学目标 3.1 点的投影 3.2 直线的投影 3.3 平面的投影 返回 31 点的投影 点、直线、平面是构成形体的基本几何元素 直线、A 点 线 面 D B C 3.1.1点的三面投影 3.1.1点的三面投影 点的三面投影 点的三面投影 过空间点A的投射线 过空间点 的投射线 与投影面P的交点即为点 的交点即为点A 与投影面 的交点即为点 面上的投影。在P面上的投影。面上的投影 P P A a B B1 B2 b 点在一个投影面上的投影 不
2、能确定点的空间位置。不能确定点的空间位置。解决办法 采用多面投影。采用多面投影。3.1.1点的三面的投影 点的三面的投影 投影面与投影轴 Z V V面与 面的交线 面与H面的交线 面与 面的交线OX轴 轴 H面与 面的交线 面与W面的交线 面与 面的交线OY轴 轴 V面与 面的交线 面与W面的交线 面与 面的交线OZ轴 轴 X O Y 3.1.1点的三面投影 点的三面投影 空间点的位置和直角坐标 空间点的位置，可由 空间点的位置，直角坐标值来确定，直角坐标值来确定，一般采用下列的书写 形式：A(x,y,z)。形式：A(x,y,z)。点到各投影面的 距离，距离，为相应的坐标 数值X 数值X，Y，
3、Z。空间点A 空间点A；空间点 的水平(H)投影 a 点A的水平 投影 点 的水平 投影;的正面(V)投影 a 点A的正面 投影 点 的正面 投影;的侧面(W)投影。投影。a 点A的侧面 点 的侧面 投影 V面不动 V a A X a X a Z 投影面展开 Z V a a x a a z O a W a Z W X YW a Op a g e 1 H a y a y YH H a Y Y H面向下旋转90 面向下旋转90 W面向右旋转90 面向右旋转90 点的三面投影规律:点的三面投影规律 三面投影规律 Z V a A X a X a XA a Z Z YA a a ZA XA a X X
4、ZA a Z W O a YW YW H a a Y a Y YA O a YH YH Aa=a a y=a a z=a x 0=x AA点到 面的距离 a A点到W面的距离 Aa=a ax=a a z=a y 0=y AA点到 面的距离 A点到V面的距离=a Aa =a x=a ay=a z 0=z AA点到 面的距离 A点到H面的距离 a a OX轴;a a OZ轴;轴 轴 a 到OX轴的距离 a 到OZ轴的距离 到 轴的距离=轴 已知A点的坐标值 例1:已知 点的坐标值 已知 点的坐标值A(12，10，15)，求作 点的，求作A点的 三面投影图。三面投影图。Z 步骤:步骤:a a a Z
5、 作投影轴；作投影轴；量取：量取：a X=12、=15、Oa x=12、Oa z=15、OaYH=Oa YW=10,X 得a x、a z、Oa YH、Oa YW等点；过a x、a z、a YH、a YW等点分别作 a 所在轴的垂线，交点a 所在轴的垂线，交点a、a、a 既为所求。既为所求。12 a YW O a YH YH YW 例2：已知点的两个投影，求第三投影。：已知点的两个投影，求第三投影。解法一:解法一 a a x a z a 通过作45线使 通过作 线使a a z=a a xp a g e 2 a 解法二:解法二 用圆规直接量取a 用圆规直接量取 a z=a a x a a x a
6、z a a 3.1.2点的空间位置 3.1.2点的空间位置 点在投影体系中有 四种位置情况：四种位置情况：在空间（1.在空间（X，Y，Z）X V a A a X H a Z a Z a O a Y W a X a Z a YW Y O YH 由于X 由于X，Y，Z均不为 零，对三个投影面都有 一定距离，所以点的三 一定距离，个投影都不在轴上。个投影都不在轴上。3.1.2点的空间位置 3.1.2点的空间位置 在投影面上：2.在投影面上：在H面上（X，Y，0）面上（面上（在V面上（X，0，Z）面上（在W面上（0，Y，Z）Z X b b O YH b X V Z C d D W d O b d Y
7、C C b C B H b c YW X c O YH YW X Z d O d YH d YW c 由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影 面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。3.1.3点的相对位置 3.1.3点的相对位置 3.1.3两点的相对位置 3.1.3两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的 上下、前后、左右位置关系 位置关系。上下、前后、左右位置关系。判断方法：判断方法：x 坐标大的在左；坐标大的在左；y 坐标大的在前；坐标大的在前
8、；z 坐标大的在上。坐标大的在上。b a V 上 后 a b 左 Z A a 右 W O X B a 下 前 b Y Hb Z a b B点在 点的 点在A点 点在 前方。左、下、前方。X a bp a g e 3 O YW YH 两点重影 重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来 当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点，以示区别。以示区别。处于同一投射线上，处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影 a a 重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。重合在
9、一起，这两点称为对该投影面的重影点。V a b A B H a(b)Z W a O b Y a (b)YH b X O b YW X H面重影，被挡 面重影，面重影 住的投影加(住的投影加)3.2 直线的投影 3.2.1各种位置直线的投影特征 各种位置直线的投影特征 两点确定一条直线，两点确定一条直线，将两点的同 面投影用直线连接，面投影用直线连接，就得到直线的 投影。投影。Z b a b a YW b a A YH M B X O B A B A a b a b a b m 直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 a b AB c o s 类似性 直线平行于投影面 投影反映线段实长 a b=AB
10、 真实性 直线垂直于投影面 投影重合为一点 a b=0 积聚性 直线中的投影特性 直线在三个投影面中的投影特性 正平线（平行于 正平线（平行于面）侧平线（平行于 投影面平行线 侧平线（平行于面）平行于某一投影面而 水平线（平行于 水平线（平行于面）统称特殊位置直线 正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于 侧垂线（垂直于 侧垂线（垂直于面）垂直于某一投影面 铅垂线（垂直于 铅垂线（垂直于面）与其余两投影面倾斜 投影面垂直线 一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线 (1)一般位置直线 Z Z b b a YW b V a Xp a g e 4 b B b W X a O A Ha O b a a Y Y
11、H 投影特性：投影特性：三个投影都缩短了。三个投影都缩短了。即:都不反映空间线段的实 长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。(2)投影面平行线 a b O a b Z a b X YW 投影特性：投影特性：水平线的投影特征：水平线的投影特征：YH 1.水平线的 面投影反映线段实长。即：a b=AB;水平线的H面投影反映线段实长 面投影反映线段实长。对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。2.水平线的、W面投影分别平行于 面的两根轴。水平线的V、面投影分别平行于 面的两根轴。面投影分别平行于H面
12、的两根轴 轴 即 a b o x 轴，a b OYW轴；3.水平线的 面投影与 水平线的H面投影与 轴夹角反映该直线对 面的倾角；与 面投影与OX轴夹角反映该直线对 面的倾角；轴夹角反映该直线对V面的倾角 OYH轴的夹角，反映该直线对 面的倾角。轴的夹角，反映该直线对W面的倾角 面的倾角。投影面平行线 水平线 a a b 实长 a a b b b 正平线 a b a b a 侧平线 a 实长 b 实长 b a bp a g e 5 与H面的夹角 面的夹角:与V面的角 面的角:面的夹角 面的角 与W面的夹角 面的夹角:面的夹角 投 影 特 性：1.在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的
13、那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。并反映直线与另两投影面倾角。2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴 (3)投影面垂直线(3)投影面垂直线 a b X a(b)O Z a b YW 投影特性：投影特性：铅垂线投影特征:铅垂线投影特征 YH 1.H面投影积聚成一点；，可得出类似的投影特征。面投影积聚成一点；面投影积聚成一点 对正垂线和侧垂线作分析，对正垂线和侧垂线作分析 可得出类似的投影特征。2.V、W面投影反映实长，即a b=a b=AB；V、W 面投影反映实长，、面投影反映实长；、面投影
14、，分别垂直于H面的两面根轴 面的两面根轴，面投影，分别垂直于 面的两面根轴，即：a b o x 轴a b o z 轴。轴 轴 投影面垂直线 a b 铅垂线 a b 积聚 为点 正垂线 c(d)侧垂线 e f e(f)d c d c e f 积聚 为点 a(b)积聚 为点 投影特性:投影特性:1.在其垂直的投影面上，投影有积聚性。在其垂直的投影面上，投影有积聚性 在其垂直的投影面上 2.另外两个投影面上，投影反映线段实长。另外两个投影面上，投影反映线段实长。另外两个投影面上 且垂直于相应的投影轴。且垂直于相应的投影轴。例1：判断下列直线的空间位置：a b a C b d a C d d b b
15、d d a AB为水平线 AB为水平线 CD为侧平线 CD为侧平线p a g e 6 3.2.2直线与点的相对位置 直线与点的相对位置 3.2.2直线与点的相对位置 直线与点的相对位置 判别方法：判别方法：若点在直线上,则点的投影必在 若点在直线上 直线的同面投影上。即具有从属性 从属性。直线的同面投影上。即具有从属性。V c e b B C A D a 若点在直线上，若点在直线上，则点将线段的同 面投影分割成与空间直线相同的比例。面投影分割成与空间直线相同的比例。即具有定比性 定比性：即具有定比性：AC/CB=a c /c b =a c /c b?若点的投影有一个不在直线的同名 投影上，则该
16、点必不在此直线上。投影上，则该点必不在此直线上。a c e b H C点 点 在 直线AB上 直线 上 D点 不在 直线 上 点 直线AB上 是否在线段AB上 例2：判断点 是否在线段 上。：判断点K是否在线段 a k b a k b a k b 因k 不在 b 上，不在a 故点K不在 上。故点 不在AB上 不在 另一判断法是 应用定比定理 因a k:k b a k:k b 故点K不在 不在AB上 故点 不在 上。3.2.3两直线的相对位置 两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。两直线平行 b a c O b a c d d
17、X 投影特性：投影特性：空间两直线平行，则其各同面投影 空间两直线平行，则其各同面投影 必相互平行，反之亦然。必相互平行，反之亦然。例1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。a X b c c b d a 对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行，投影互相平行，空间 两直线就平行。两直线就平行。d 结论：结论：AB/CD 例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。c a d c b d a b b c a d 对于投影面平行线，对于投影面平行线，只 有两个同面投影互相平行，有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。空间直线不一定平行。若用 两个投影
18、判断，两个投影判断，其中应包括 反映实长的投影。反映实长的投影。如何判断 求出侧面投影p a g e 7 结论:AB与CD不平行 结论:AB与CD不平行:AB 2.两直线相交 2.两直线相交 V a X A a c c b d K D d k a 交点是两直线 的共有点 c b k d k C B b H a c k d b 判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相 判别方法：若空间两直线相交，交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。且交点的投影必符合空间一点的投影规律。相交。例3：过C点作水平线 与AB相交。：点作水平线CD与 相交 b c a k d a c k d b 先作正面投影
19、 3.两直线交叉 两直线交叉 a c 9 9 c AB与CD两直线相交吗 与 两直线相交吗 d 1(2)3 4 投影特性：投影特性：b 2 b d a 1 3(4)、是面的重影点，面的重影点，面的重影点。、是H面的重影点。面的重影点 同名投影可能相交，同名投影可能相交，交点”但“交点”不符合空间 一个点的投影规律。一个点的投影规律。“交点”是两直线上 交点”交点 重影点的投影，的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线 的空间位置。的空间位置。结论：与 两直线不相交 结论：AB与CD两直线不相交 两直线垂直相交（或垂直交叉）两直线垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：直角的投影特性：若直角有一
20、边平行于投影面，若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面 上的投影仍为直角。上的投影仍为直角。证明：证明：B 设直角边BC/H面 设直角边 面 C 同时BC 因BCAB,同时 Bb A 所以BC 所以 ABb a 平面 平面 b 又因BCb c 又因 a c 故b c ABb a 平面 平面 H b 因此 b c a b c a 即a b c 为直角 为直角 .b c a 结论:直线在 面上 结论 直线在H面上 直线在 的投影互相垂直p a g e 8 点作直线与AB垂直相交 例4：过C点作直线与 垂直相交。：点作直线与 垂直相交。a .d b c c AB为正平线 正面 为正平线,为正平线
21、投影反映直角。投影反映直角。a d b 3.3.1平面的表示法 平面的表示法 3.3平面的投影 平面的投影 s a s 3.3.1平面的表示法 平面的表示法 a a c s a s d a b s a b s a b c b s a b s a d a p a g e 9 b b b a b b a s a s a c s a s 不在同一 直线上的 三个点 b b b d b b 直线及线 外一点 两平行直线 两相交直线 平面图形 3.3.2各种位置平面的投影特性 各种位置平面的投影特性 3.3.2各种位置平面的投影特性 各种位置平面的投影特性 平面对一个投影面的投影特性 平行 垂直 倾斜
22、实形性 积聚性 类似性 投 影 特 性 平面平行投影面投影就把实形现 投影就把实形现 平面平行投影面 平面垂直投影面投影积聚成直线 投影积聚成直线 平面垂直投影面 平面倾斜投影面投影类似原平面 投影类似原平面 平面倾斜投影面 平面在三投影面体系中的投影特性 平面对于三投影面的位置可分为三类：平面对于三投影面的位置可分为三类：垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面 投影面垂直面 特殊位置平面p a g e 10 正垂面 侧垂面 铅垂面 正平面 侧平面 水平面 平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面 投影面平行面 一般位置平面 与三个投影面都倾斜 投影面垂直面 Z
23、a X a b c YH b a c c O b YW 1.H面投影积聚成一直线；2.、反映平面对V、W面的倾角。投影面垂直面 类似性 ABC为什么 为什么 位置的平面 a b c c b a 类似性 铅垂面 为什么？为什么？a c b 投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直 线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面 与另外两投影面夹角的大小。与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。积聚性 投影面平行面 Z V b c C a A a c O B c a b W H b Y 2.投影面平行面 2.投影面平行面 a b c a c b
24、积聚性 a 积聚性 实形性 b c 结论：水平面 结论：投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。一般位置平面 Z V b a c A X B b C c a c b Y a H 一般位置平面p a g e 11 b c a b a c a b c 投影特性：投影特性：三个投影都类似。三个投影都类似。4.3.3平面上的直线和点 4.3.3平面上的直线和点 3.3.3平面上的直线和点 平面上的直线和点 平面上取任意直线 判断直线在平面 内的方法 定 理 一 若一直线过平
25、面 上的两点，上的两点，则此 直线必在该平面 内。定 理 二 若一直线过平面上的 一点，一点，且平行于该平 面上的另一直线，面上的另一直线，则 此直线在该平面内。此直线在该平面内。所确定，例1：已知平面由直线、AC所确定，试：已知平面由直线AB、所确定 在平面内任作一条直线。在平面内任作一条直线。根据定理一 根据定理二 解法一：解法一：m a m a b n c 解法二：解法二：a b c d b a n c b d c 有多少解 有无数解。有无数解。内作一条水平线，例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到 内作一条水平线 H面的距 离为 面的距 离为10m m。a m 10 b b
26、m a n n 有多少解 c 唯一解！唯一解！c 平面上取点 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线 先找出过此点而又在平面内的一条直线作 为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。点在平面ABC上，求K点的水平投影。点的水平投影。例1：已知 点在平面：已知K点在平面 上 点的水平投影 k a a k b b c b d k a b a c k d c 利用平面的积聚性求解 c 通过在面内作辅助线求解 为正平线，例3：已知 为正平线，补全平行四边形：已知AC为正平线 ABCD的水平投影。的水平投影。的水平投影 解法一 a d d a c k b a
27、b k b c p a g e 12 解法二 a d d b c c 解题方法：解题方法：分析已给条件的空间情况，分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物 体与投影面的相对位置，体与投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几 何元素（面等）。何元素（点、线、面等）。根据要求得到的结果，根据要求得到的结果，确定出有关几何元素处于 什么样的特殊位置（垂直或平行），），据此选择正确 什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确 的解题思路与方法。的解题思路与方法。本章学习难度较大，建议多做练习，本章学习难度较大，建议多做练习，多进行空间 分析和想像，以培养空间思维能力。分析和想像，以培养空间思维能力。1p a g e 13