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1、2.3.2 数学归纳法应用举例数学归纳法应用举例例例1用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：证明：（证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边=1，右边，右边=1，等式成立；等式成立；（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，即时，等式成立，即那么那么这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立，时，等式也成立，由（由（1）和（）和（2）可以断定，等式对任何）可以断定，等式对任何nN+都成立。都成立。例例2证明：平面上证明：平面上n个圆最多把平面分成个圆最多把平面分成n2n+2个区域。个区域。证明：（证明：（1）一个圆将平面分成）一个圆将平面分成2个区域，个区域，而当而当n=1时，时，n2n+2
2、=2，因此结论当，因此结论当n=1时成立；时成立；（2）假设当）假设当n=k时，结论成立，即时，结论成立，即k个圆最个圆最多把平面分成多把平面分成k2k+2个区域。个区域。在此基础上，为使区域最多，应使新增在此基础上，为使区域最多，应使新增加的圆与前加的圆与前k个圆都交于两点，于是新增个圆都交于两点，于是新增2k个交点，个交点，这这2k个交点将新圆分成个交点将新圆分成2k段弧，这段弧，这2k段段弧将所经过的区域一分为二，因此新增弧将所经过的区域一分为二，因此新增2k个个区域，这样区域，这样k+1个圆最多把平面分成个圆最多把平面分成(k2k+2)+2k=(k+1)2(k+1)+2个区域，个区域，
3、这就是说，当这就是说，当n=k+1时，结论也正确，时，结论也正确，由（由（1）和（）和（2）可以断定，结论对任何）可以断定，结论对任何nN+都正确。都正确。例例3求证：当求证：当n5时，时，2nn2，证明：（证明：（1）当）当n=5时，时，25=32，52=25，因，因此此2552，即，即n=5时，结论正确；时，结论正确；（2）假设当）假设当n=k(k5)时，这个命题是正时，这个命题是正确的，那么由确的，那么由2kk2得得这就是说，当这就是说，当n=k+1时，命题也是正确的时，命题也是正确的.由（由（1）和（）和（2）可以断定，这个命题对）可以断定，这个命题对于所有大于或等于于所有大于或等于5
4、的正整数的正整数n都正确。都正确。例例4求证：凸求证：凸n边形的对角线的条数为边形的对角线的条数为证明：（证明：（1）当）当n=4时，四边形的对角线时，四边形的对角线有有2条，条，f(4)=2，所以对于，所以对于n=2，命题成立，命题成立.（2）设凸）设凸k边形的对角线的条数为边形的对角线的条数为当当n=k+1时，时，k+1边形比边形比k边形多了一个顶点边形多了一个顶点,该顶点与原该顶点与原k边形中的边形中的(k2)个顶点可连个顶点可连成成(k2)条对角线，而原来的一条边也变成条对角线，而原来的一条边也变成对角线，故对角线，故(k+1)边形比边形比k边形增多了边形增多了(k1)条对角线条对角线
5、,所以所以即即n=k+1时，命题成立。时，命题成立。由（由（1）、（）、（2）可知，凸）可知，凸n边形的对角线边形的对角线的条数为的条数为例例5求证当求证当n为正奇数时为正奇数时7n+1能被能被8整除整除.证明：证明：(1)n=1时，时，71+1=8能被能被8整除；整除；(2)假设假设n=k(k为正奇数为正奇数)时时7k+1能被能被8整除整除(设设7k+1=8M，MN)则当则当n=k+2时，时，7k+2+1=727k+7272+1=72(7k+1)48=498m86=8(49M6)49M6N命题成立命题成立由（由（1）、（）、（2）可知当）可知当n为正奇数时为正奇数时7n+1能被能被8整除整除