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1、第第1 1篇篇 力学力学第第1 1章章 质点运动学质点运动学1.1 1.1 质点、参照系、坐标系质点、参照系、坐标系质点质点可以不计其形状与大小的物体。可以不计其形状与大小的物体。1.1.物体不变形，不作转动时（此时物物体不变形，不作转动时（此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体上任体上各点的速度及加速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动）。一点可以代表所有点的运动）。2.2.物体本身线度和它活动范围相比小物体本身线度和它活动范围相比小得很多得很多 （此时物体的变形及转动显得并不（此时物体的变形及转动显得并不重要）。重要）。可以将物体简化为质点的两种情况：可以将物体简化为质点的两种情况
2、：为了描述一个物体的运动，必须选择另一个为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物体作为参考，被选作参考的物体称为物体作为参考，被选作参考的物体称为参照系。参照系。坐标系坐标系日心系日心系地心系地心系XYoZ地面系地面系参照系参照系:22z2=xy+xyzrO（t)t)（矢径矢径）位置矢量位置矢量 r 一、位置矢量一、位置矢量 k ki ij ja1.2 1.2 位置矢量、位置矢量、质点运动函数、质点运动函数、位移位移P运动方程例子：运动方程例子：匀速率圆周运动：匀速率圆周运动：质点在运动时所描绘出的空间径迹。质点在运动时所描绘出的空间径迹。从运动方程中消去时间从运动方程中消去时间t t 可得轨
3、迹方程。可得轨迹方程。tx=y=cossintRR斜抛运动：斜抛运动：（运动方程（运动方程:）=xtv0 00 0ygtcossin0 0122 2t=xy0 0+v轨迹：轨迹：二、质点运动函数二、质点运动函数质点运动函数质点运动函数斜抛运动斜抛运动：匀速率圆周运动：匀速率圆周运动：消去消去 t t 得抛物线轨迹得抛物线轨迹：消去消去 t t 得圆轨迹：得圆轨迹：rArB2=+r+22zxyABzxyOr三、位移三、位移问题问题：rr=？1.3 速度速度rr(t+t)ABO一、平均速度一、平均速度二、瞬时速度二、瞬时速度?v 的方向的方向vr(t)三、速率三、速率平均速率平均速率:瞬时速率瞬时
4、速率:=vsrr(t+t)ABOr(t)路程路程:一、平均加速度一、平均加速度BvAvvABxyzo1.4 加速度加速度a?的方向的方向Av速度增量速度增量:平均加速度平均加速度:rBAri=ddddddtt+222222tjxyzk+=ddddddtttxyzivvvjk二、瞬时加速度二、瞬时加速度a?的方向指向曲线凹面BvAvvABxyzoAvrBAr总结总结：例例.质点沿质点沿x 轴运动，坐标与时间的关系为轴运动，坐标与时间的关系为：x=4t-2t3，式中式中x、t分别以分别以m、s为单位。试为单位。试计算计算：（1）在最初在最初2s内的平均速度内的平均速度，2s末的瞬时末的瞬时速度速度
5、；（2）1s末到末到3s末的位移末的位移、平均速度平均速度；（3）1s末到末到3s末的平均加速度末的平均加速度；此平均加此平均加速度是否可用速度是否可用+=2a1a2a（4）3s末的瞬时加速度。末的瞬时加速度。计算计算？0 x 解：解：x=4t-2t3（1）=x4t-2t3=48m=22 23=tv=xs=824=m62tv=dx=d4t226=4s20=m4=32 334 12 13()()44 m=x=x3x2（2）tv=xs=44322=m1362v=4t=6432s50=m2s24=m=1232s36=m162v=4t=6412s2=m(3)12ta=dv=dt(4)()1v3v1t3
6、ta=50213vd=rtd8tkj+ad=vtd8j例例 一质点的运动方程为一质点的运动方程为 式中式中r、t分别以分别以m、s为单位为单位.试求：试求：（1）它的速度与加速度；）它的速度与加速度；（2）它的轨迹方程。）它的轨迹方程。4rtkji2=t+=1x4t2t=y=z解：解：4z2=y=1x轨迹方程：轨迹方程：1x=轨迹为在轨迹为在平面的一条抛物线。平面的一条抛物线。（1）以）以 t 为变量，写出位矢的表达式；为变量，写出位矢的表达式；（2）描绘它的轨迹；）描绘它的轨迹；（3）式中）式中 t 以以s为单位，为单位，x、y以以m为单位，为单位，求求:质点在质点在t=4 时的速度的大小和
7、方向。时的速度的大小和方向。5x=+3t例例 一质点的运动方程为一质点的运动方程为234ty2=+t173=atg66.80=av=2732+7.61m/s=5x=+3t234ty2=+t1()rji=+5+3t1234t2+t()(1)解：解：+4y=5x1232()5x3()3(2)v3()ji=+3+t3ji=+7(3)例例1 1 已知质点的运动方程为已知质点的运动方程为求：求：（1）轨道方程；（）轨道方程；（2）t=2秒时质点的位置、速度秒时质点的位置、速度以及加速度；（以及加速度；（3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？解：解：解：解：(1)消去时间参数消
8、去时间参数（2）方向沿方向沿 y 轴的负方向轴的负方向（3）（4）两矢量垂直两矢量垂直在求解第二类问题过程中还必须已知在在求解第二类问题过程中还必须已知在 t=0时刻质点时刻质点的速度及位置坐标，这一条件称为的速度及位置坐标，这一条件称为初始条件初始条件。第二类问题第二类问题：(积分问题积分问题)初始条件：初始条件：t=0 xyyzzx=000vvvvvv000 xxyyzz第一类问题第一类问题：(求导问题求导问题)va=(t)a=(t)rr=(t)v求：求：已知：已知：、=rr=()ta a=vv()t(t)求：轨迹求：轨迹已知：已知：、1.5 运动学的两类问题运动学的两类问题所以：所以：v
9、vat=+0因为：因为：12xxv tat=+002vxx0v0t=0 时刻，其时刻，其=、。加速度为一常量加速度为一常量 a，求其运动规律。已知在，求其运动规律。已知在一质点作直线运动，其一质点作直线运动，其第二类问题的例子：第二类问题的例子：第二类问题的变式：第二类问题的变式：解：解：分离变量有分离变量有等式两边积分得等式两边积分得例如，对于匀加速直线运动，例如，对于匀加速直线运动，a(x)a(x)=a a=常量常量则：则：例例：一物体沿：一物体沿X X轴作直线运动，轴作直线运动，求任意位置的求任意位置的 V。解：解：例例.设某一质点以初速度设某一质点以初速度 作直作直线运动，其加速度为线
10、运动，其加速度为 。问：质点。问：质点在停止前运动的路程有多长？在停止前运动的路程有多长？解：解：解：解：两边积分：两边积分：两边积分：两边积分：两边积分：两边积分：抛体运动是竖直方向抛体运动是竖直方向和水平方向两种运动和水平方向两种运动叠加的结果。叠加的结果。在抛体运动中，水平方在抛体运动中，水平方向的运动对竖直方向的向的运动对竖直方向的运动丝毫没有影响。反运动丝毫没有影响。反之亦然。两个运动是互之亦然。两个运动是互相独立的。相独立的。0 0v各自独立进行的运动叠加而成。各自独立进行的运动叠加而成。1.6 1.6 运动叠加原理运动叠加原理运动叠加原理运动叠加原理一个运动可以看成几个一个运动可
11、以看成几个例：宽为例：宽为D D的平直河道，河水流水流速靠岸处为的平直河道，河水流水流速靠岸处为0 0，河，河 心处最大为心处最大为V V，从岸边到中心流速线性增加，某船，从岸边到中心流速线性增加，某船 以恒速垂直于水流方向离岸驶去，求船的运动方以恒速垂直于水流方向离岸驶去，求船的运动方 程和运动轨迹。程和运动轨迹。xyD/2Vuy积分：积分：轨迹为：轨迹为：例：路灯离地高例：路灯离地高H H，一身高为，一身高为h h的人，在灯下水平路面的人，在灯下水平路面 上以上以v vo o匀速前进。求当人与灯的水平距离为匀速前进。求当人与灯的水平距离为x x时，时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小
12、他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小.HxsPh 例例 人以恒定速率人以恒定速率0hh0 0rXYvx求求:任一位置船之速度、加速度。任一位置船之速度、加速度。运动，船之初速为运动，船之初速为v0r=xhijrr=xh2 22 2+rtdd=vhOh0 0rXYvxxtddi rtdd=xhtdd2 22 2+2 22 2xxxht+dd=0v=rxtt=iddddv xh2 2i+0 x2 2v t=add=v iddx2 22 2=t hix3 302 22 2v 例例 长度为长度为5m的梯子，顶端斜靠在竖直的梯子，顶端斜靠在竖直的墙上。设的墙上。设 t=0 时，顶端离地面时，顶端离地面
13、4m,当顶端当顶端以以2m/s的速度沿墙面匀速下滑时，求：的速度沿墙面匀速下滑时，求：（1）梯子下端的运动方程；并画出梯子下端的运动方程；并画出xt 图图和和vt图（设梯子下端与上端离墙角的距离图（设梯子下端与上端离墙角的距离分别为分别为 x 和和 y）。）。（2）在在 t=1s 时，时，下端的速度。下端的速度。5m4mv0=0txl2=y2+2ty0=y0v20=+2ydyxdxt0=y0v0vl2()2t0y0v()=421=0.87m/s将此式微分得：将此式微分得：4y0=y=dtdy0=vdxdt=dtdyxyxy=0v()5mv0 xyl=BA用用 y0=4,v0=2,t=1代入，得
14、得B端端的速度的速度。v=1649+2tt48tx=1649+2ttxt5324.5vt3838例例 在质点运动中，已知在质点运动中，已知 x=aekt ,dy/dt=-bke-kt,当当 t=0,y=y0=b求：质点的加速度和轨道方程。求：质点的加速度和轨道方程。解：解：ybdk=ekttdydy=c=bk ekttd+=b ektc+=yt=0bc+=b=t0当当.c=0轨迹方程：轨迹方程：=aexkt=y bektax=ybtxadkd=ekttxadkd=ekt222+aak=ekt2bk ekt2ij.tybdkd=ekt=yt=0b=aexkt已知：已知：tybdkd=ekt222
15、 选择质点选择质点 P 所在的位置为坐标原点，速所在的位置为坐标原点，速度方向为切向坐标方向，指向曲率中心的方度方向为切向坐标方向，指向曲率中心的方向为法向坐标方向。向为法向坐标方向。一.圆周运动、自然坐标圆周运动、自然坐标法向单位矢量法向单位矢量 切向单位矢量切向单位矢量Pnvn 1.7 1.7 圆周运动、曲线运动圆周运动、曲线运动(t)(t+dt)d0ABdAvvBRAB=dsd 为向心为向心加速度加速度为切向为切向加速度加速度a aa an nt ta av v aantav太阳太阳近日点近日点远日点远日点aa)加速区域加速区域 90vvv曲率半径曲率半径a2n=vyy23=()1+0n
16、vaddt=tv二、任意曲线运动二、任意曲线运动例如对于斜抛运动例如对于斜抛运动,讨论质点运动在不同位置处的讨论质点运动在不同位置处的曲线曲率半径曲线曲率半径 g gO O在出发点在出发点 y yx xv v0 00 0g g y yx xv v0 00 0g g1.1.角位置，角位移角位置，角位移 角位置角位置角位移角位移2.2.角速度角速度3.3.角加速度角加速度AB0 x四、圆运动的角量表示四、圆运动的角量表示平均角平均角速度速度平均角平均角加速度加速度角速度：角速度：角加角加速度速度总结：总结：xva4.线量和角量的关系线量和角量的关系r=vrsrat=ra2=nr r=v vr ra
17、 at t=r ra a2 2=n n例：一质点作半径例：一质点作半径r=0.5mr=0.5m的圆周运动，运动方程的圆周运动，运动方程 求求t=2st=2s时的时的解：解：例例.一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周运动，其路程的圆周运动，其路程s随时间随时间t 的变化规律为的变化规律为 ，式中，式中b，c为大于零为大于零的常数，且的常数，且 。求（。求（1）质点的切向加速度）质点的切向加速度和法向加速度。（和法向加速度。（2）经过多长时间，切向加速度）经过多长时间，切向加速度等于法向加速度。等于法向加速度。解：解：解：解：（1 1）（2 2）解得解得例例 如图所示，杆如图所示，杆AB以匀角速度
18、以匀角速度 绕绕A点转动，并带动水平杆点转动，并带动水平杆OC上的质点上的质点M运动。运动。设起始时刻杆在竖直位置，设起始时刻杆在竖直位置，OA=h 。（1）列出质点）列出质点M沿水平杆沿水平杆OC的运动方程；的运动方程；（2）求质点）求质点M沿杆沿杆OC沿动的速度和加速沿动的速度和加速度的大小。度的大小。qABCMOxh xtg=hq=tght xvd=tdxad=td22=2secht 2tgt 2=2secht t q=q0=+t 解：解：0q0=OA h=已知：已知：qABCMOxh 例：一质点作半径例：一质点作半径r r的圆周运动，且的圆周运动，且 定不变，定不变，初速度为初速度为v
19、 v0 0,求求解：解：分离变量并积分分离变量并积分rZ地地XY雨雨PrY车车XZrrr=+0=vvv+0r0v车车,地地v,雨雨地地rrrttt=+dddddd01.8 相对运动相对运动vvv=+车车车车地地地地雨雨雨雨,v地地,车车雨雨v,地地v雨雨,车车通常情况下，为便于讨论，可分别对参照系一、通常情况下，为便于讨论，可分别对参照系一、参照系二和质点用参照系二和质点用1 1，2 2，3 3 表示，则：表示，则：质点相对参照系一的速度质点相对参照系一的速度质点相对参照系二的速度质点相对参照系二的速度参照系二相对参照系一的速度参照系二相对参照系一的速度则：则：求导得：求导得：例例.某人骑自行
20、车以速率某人骑自行车以速率v向东行驶。今有风以同样向东行驶。今有风以同样的速率由北偏西的速率由北偏西30方向吹来。问：人感到风是从方向吹来。问：人感到风是从那个方向吹来？那个方向吹来？解：解：北偏西北偏西3030例：一带蓬卡车高例：一带蓬卡车高h=2mh=2m，当它停在马路上时雨滴可，当它停在马路上时雨滴可 斜向落入车内达到蓬前方斜向落入车内达到蓬前方d=1md=1m，当它以，当它以v=15km/hv=15km/h 速度沿马路行驶，雨点恰好不能落入车内，求雨滴速度沿马路行驶，雨点恰好不能落入车内，求雨滴 的速度。的速度。h hd d 解：解：设：雨为设：雨为1 1、车为、车为2 2 地为地为3 3 例：一人向东前进，其速率为例：一人向东前进，其速率为v v1 1=50m/min=50m/min，觉得风从，觉得风从 正南方吹来。若速度增为正南方吹来。若速度增为v v2 2=70m/min=70m/min，觉得风，觉得风 从正东南吹来从正东南吹来,求风速。求风速。E ES SN N解：解：设：风为设：风为1 1，人为，人为2 2，地为，地为3 3