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1、力系的平衡条件与平衡方程力系的平衡条件与平衡方程力系的平衡条件与平衡方程力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程为：（基本形式）：（基本形式）1平面一般力系平衡方程还可表达为下列二种形式：平面一般力系平衡方程还可表达为下列二种形式：二力矩式二力矩式（ABAB不垂直于不垂直于X X轴轴)注意：注意：平衡方程中，投影轴和矩心可任意选取，可写出无数平衡方程中，投影轴和矩心可任意选取，可写出无数个平衡方程。但个平衡方程。但独立平衡方程只有三个独立平衡方程只有三个。三力矩式三力矩式(A(A、B B、C C三点不共线三点不共线)2若取汇交点为矩心，力矩方程自动满足。若取汇交点为
2、矩心，力矩方程自动满足。独立平衡方程只有独立平衡方程只有2 2个。个。平面汇交力系平面汇交力系:yx或或或或取取x轴垂直于各力，则轴垂直于各力，则x的投影方程满足。的投影方程满足。独立平衡方程也只有二个。独立平衡方程也只有二个。平面平行力系平面平行力系:yx或或AB连线与力不平行连线与力不平行3平衡方程的一般形式平衡方程的一般形式 投影方程投影方程力矩方程力矩方程空间任意力系空间任意力系:4 将原点取在汇交点，将原点取在汇交点，有有 Mx(F)0,My(F)0;Mz(F)0平衡方程平衡方程是：是：Fx x=0=0；Fy y=0=0；Fz z=0=0空间汇交力系空间汇交力系空间汇交力系空间汇交力
3、系xyzA 取取y y轴与各力平行，轴与各力平行，有有 Fx 0;Fz 0;My(F)0 。平衡方程平衡方程是：是：Fy y=0=0；Mx x(F F)=0)=0；Mz z(F F)=0)=0空间平行力系空间平行力系空间平行力系空间平行力系xzyA5物系平衡的特点：物系平衡的特点：物系中每个构件也是平衡的；物系中每个构件也是平衡的；每个构件最多可列每个构件最多可列3 3个独立的静力学平衡方程；个独立的静力学平衡方程；整个系统最多可列整个系统最多可列3 3n个独立的静力学平衡方程（设物系中个独立的静力学平衡方程（设物系中有有n个物体）。个物体）。解物系问题的一般方法：解物系问题的一般方法：由整体
4、由整体 局部局部（常用），由局部由局部 整体整体（用较少）解题时必须要写明研究对象是什么，再写平衡方程。解题时必须要写明研究对象是什么，再写平衡方程。6例例例例:求图示结构中铰链求图示结构中铰链求图示结构中铰链求图示结构中铰链A A A A、B B B B处的约束力。处的约束力。处的约束力。处的约束力。解解：1）以整体为研究对象，作）以整体为研究对象，作受力图如右所示。受力图如右所示。2 2）以）以BCBC为研究对象，作受力图如下：为研究对象，作受力图如下：列平衡方程：列平衡方程：Fx=0：FAx-FCcos30=0 F FC CF FA Ay yF FA Ax x Fy=0：FAy+FCsi
5、n30-1-2=0 MA(F)=0：FC.1-1.1-2.1.5=0 解方程得到解方程得到：FC=4kN;FAy=1kN;FAx=2kNxyABC2kN301m1kN0.5m 0.5mF FC CF FB B根据二力平衡公理有，根据二力平衡公理有，FB=FC;所以有：所以有：FB=4kN。7试求图示多跨刚架试求图示多跨刚架A A、B B、C C、D D处的约束反力。处的约束反力。8以以CDCD为研究对象，受力图如下：为研究对象，受力图如下：X=0：XD-10=0 所以所以XD=10kNMD=0：RC.4-2.4.2=0 所以所以RC=4kNME=0：-YD.4+2.4.2=0 所以所以YD=4
6、kNE9以整体为研究对象，受力图如下：以整体为研究对象，受力图如下：X=0：XA-10=0 所以所以XA=10kNMA=0：-6.12.6+RB.12-2.4.14+10.4+RC.16=0 所以所以RB=36.7 kNY=0：YA-6.12-2.4+RB+RC=0 所以所以YA=39.33kN101)小车小车小车小车为研究对象，列平衡方程：为研究对象，列平衡方程：MD(F)=0:2FE-W-5P=0 FE=(50+50)/2=50kN ME(F)=0:-2FD+W-3P=0 FD=10kN2)取取BCBC梁梁梁梁为研究对象，有：为研究对象，有：MC(F)=0:8FBy-FE=0 FBy=FE
7、/8=6.25kN 4mWP1m 1mDEF FE EF FD DC1m8mBF F E EF FC Cy yF FB By yF FC Cx x=0=0例例例例:梁梁梁梁ACBACB如图。梁上起重小如图。梁上起重小如图。梁上起重小如图。梁上起重小车重车重车重车重WW=50kN=50kN，吊，吊，吊，吊 重重重重 P P=10kN=10kN，求求求求A A、B B处的约束力。处的约束力。处的约束力。处的约束力。4mCA4m1m1m8mBWPF FB By yF FA Ax xF FA Ay yMMA A11由由由由(1)(1)知，知，知，知，F FA Ax x=0=0。列平衡方程：列平衡方程：
8、Fx=0:FAx=0 -(1)Fy=0:FAy+FBy-P-W=0 -(2)MA(F)=0:MA+12FBy-4W-8P=0 -(3)3)3)3)3)取系统整体为研究对象，画受力图。取系统整体为研究对象，画受力图。取系统整体为研究对象，画受力图。取系统整体为研究对象，画受力图。4mCA4m1m1m8mBWPF FB By yF FA Ax xF FA Ay yMMA A将将FBy代入代入(2)、(3)式，求得：式，求得：FAy=P+W-FBy=53.75 kN MA=4W+8P-12FBy=205 kN.m12例例例例 夹紧装置如图。设各处均为夹紧装置如图。设各处均为夹紧装置如图。设各处均为夹
9、紧装置如图。设各处均为光滑接触，求力光滑接触，求力光滑接触，求力光滑接触，求力F F作用下工件所作用下工件所作用下工件所作用下工件所受到的夹紧力。受到的夹紧力。受到的夹紧力。受到的夹紧力。以以以以A A、B B块和杆块和杆块和杆块和杆ABAB组成的系统为研组成的系统为研组成的系统为研组成的系统为研究对象究对象究对象究对象,受力如图。需要求的是受力如图。需要求的是受力如图。需要求的是受力如图。需要求的是F FC C。列平衡方程：列平衡方程：Fy=0:FB-F=0 FB=F 解解解解：方法一方法一方法一方法一:A BCF FyxO MA(F)=0:FB.ABcos-FC.ABsin=0 FC=Fc
10、tg。FBFCFAABF FyxO可见，可见，越小，夹紧力越大。越小，夹紧力越大。13 若将矩心取在若将矩心取在若将矩心取在若将矩心取在F FA A、F FB B二未二未二未二未知力交点知力交点知力交点知力交点OO，则由力矩方程直，则由力矩方程直，则由力矩方程直，则由力矩方程直接可得接可得接可得接可得:MMOO(F)=0(F)=0：F F.ABcosABcos -F FC C.ABsinABsin =0 =0 逐一讨论逐一讨论逐一讨论逐一讨论A A、B B，可解。，可解。，可解。，可解。ABFBAFCFBFABFAFA BCF FyxO方法二方法二方法二方法二:方法三方法三方法三方法三:FBF
11、CFAABF FyxO F FC=C=F Fctgctg 14解解：选整体研究受力如图选坐标列方程为:已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。求AC 杆内力？B点的反力？解方程得15受力如图 再研究CD杆 取E为矩心，列方程 解方程有：16物体物体Q Q重重1200N1200N，由三杆，由三杆ABAB、BCBC和和CECE所组成的构架和滑轮所组成的构架和滑轮E E支持，如图支持，如图所示。已知所示。已知AD=DB=2mAD=DB=2m，CD=DE=1.5mCD=DE=1.5m，不计杆和滑轮重量。求，不计杆和滑轮重量。求支承支承A A和和B B处的约
12、束反力，以及杆处的约束反力，以及杆BCBC的内力。的内力。Q1.5m 1.5m2m2mAEBDCTFAyFAxFB1.5mQ1.5m2m2mAEBDCABDFAyFAxFBSBFDyFDx（1）以整体为研究对象）以整体为研究对象（2）以）以AB为研究对象为研究对象17PA45BCRDEK已知已知AC=BC=CD=DE=2LAC=BC=CD=DE=2L，R=LR=L，不计杆和滑轮重量。求支承，不计杆和滑轮重量。求支承A A和和E E处的约束反力，以及杆处的约束反力，以及杆BDBD所受的力。所受的力。PA45BCRDEKFEyFExFBCDEKFEyFExSDFCyFCxT18构架构架ABCABC
13、由三杆由三杆AOAO、ABAB和和CDCD组成，如图所示。杆组成，如图所示。杆CDCD上的销子上的销子E E可在杆可在杆ABAB的槽内滑动。求在水平杆的槽内滑动。求在水平杆CDCD的一端作用铅直力的一端作用铅直力F F时，时，O O、C C、A A、E E和和B B处的约束反力。处的约束反力。a a a a a a a a F FFOyFOxFByFBxFAyFAxFEFByFBxFCyFCxFE19AB1m2mqM2mCAB1m2mqM2mCFAFCyFCxMCAB1m2mqFAFByFBx图示梁图示梁AB与与BC在在B处用中间铰连接，受分布荷载处用中间铰连接，受分布荷载q=15kN/m和集
14、中和集中力偶力偶M=20kN.m作用，试求作用，试求A、B、C处约束力。处约束力。20 A B C D1.5m 2m 1.5m PQmm一直径一直径d=120mm的传动轴受力如图所示，的传动轴受力如图所示，P=3kN，Q=6kN，m=3kNm，求，求A、B处约束反力。处约束反力。RDRA21如图所示，水平梁由如图所示，水平梁由ACAC和和CDCD两部分组成，它们在两部分组成，它们在C C处用铰链相连，处用铰链相连，梁的梁的A A端固定在墙上，在端固定在墙上，在B B处受滚动支座支持。已知：处受滚动支座支持。已知：Q=10kNQ=10kN，P P=20kN=20kN，均布载荷，均布载荷p=5kN
15、/mp=5kN/m，梁的，梁的BDBD段受线性分布载荷，在段受线性分布载荷，在D D端端为零，在为零，在B B处最大值处最大值q=6kN/mq=6kN/m，试求，试求A A和和B B处的约束反力。处的约束反力。22解解:取整体取整体,画受力图画受力图.解得解得解得解得P2=10kN10kN,已知已知:P=60kN,=60kN,P1=20kN20kN,风载风载F=10=10kN,尺寸如图尺寸如图;求求:A,B处的约束力处的约束力.取吊车梁取吊车梁,画受力图画受力图.解得解得取右边刚架取右边刚架,画受力图画受力图.解得解得解得解得对整体图对整体图6.1.3 连接件的强度设计连接件连接件连接件连接件
16、:用螺栓、铆钉、销钉、用螺栓、铆钉、销钉、用螺栓、铆钉、销钉、用螺栓、铆钉、销钉、键及零构件连接而成。键及零构件连接而成。键及零构件连接而成。键及零构件连接而成。故故 连接件可能的破坏形式连接件可能的破坏形式连接件可能的破坏形式连接件可能的破坏形式 有：有：1)连接件连接件(铆钉、螺栓铆钉、螺栓)沿剪切面沿剪切面剪切剪切破坏。破坏。2)连接件连接件和和被连接件被连接件接触面间的接触面间的挤压挤压破坏。破坏。F FF FF FF Fs s二个挤压面二个挤压面3)被连接件被连接件在危险截面处的在危险截面处的拉压拉压破坏。破坏。11F FF F2023/2/1625t=Fs/As 连接件的剪切强度条
17、件连接件的剪切强度条件连接件和被连接件的挤压强度条件连接件和被连接件的挤压强度条件 bs=Fbs/Abs bs被连接件的轴向拉压强度条件被连接件的轴向拉压强度条件 max=FN/A 2023/2/162627MT扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：右手螺旋法则（右手螺旋法则（Right-hand cordscrew ruleRight-hand cordscrew rule）右手四指表示扭矩的转向右手四指表示扭矩的转向,大拇指指向大拇指指向为为截面的外法线方向截面的外法线方向时时,该扭矩为该扭矩为正正,反之为负反之为负。TM扭矩的量纲：扭矩的量纲：N N.m m，kNkN.m m2023/2/16
18、28任一横截面上的扭矩等于保留段上所有外力偶矩的代数和，任一横截面上的扭矩等于保留段上所有外力偶矩的代数和，外力偶矩的正负号规定如下：外力偶矩的正负号规定如下：注意:l若保留段为若保留段为右右段，则根据右手螺旋法则确定的段，则根据右手螺旋法则确定的大拇指指向大拇指指向向右的外力偶取为正值向右的外力偶取为正值；l若保留段为若保留段为左左段，则根据右手螺旋法则确定的段，则根据右手螺旋法则确定的大拇指指大拇指指向向左的外力偶取为正值向向左的外力偶取为正值。2023/2/1629xT 4.786.379.56讨论：讨论：（1）由图知：）由图知：（2）若将主动轮）若将主动轮A和从动轮和从动轮D位置互换，
19、合理否？位置互换，合理否？B C A DmB mC mA mD注意注意:1)扭矩图画在载荷图的对应位置上扭矩图画在载荷图的对应位置上2)标注数值大小、单位和正负号；标注数值大小、单位和正负号；3)阴影线垂直于横坐标阴影线垂直于横坐标,不是斜线不是斜线4)封闭的实线图封闭的实线图2023/2/1630二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小：A0：平均半径所作圆的面积。：平均半径所作圆的面积。2023/2/1631acddxb dy tz 剪应力互等定理（剪应力双生定理）剪应力互等定理（剪应力双生定理）:物体内任一点处两物体内任一点处两相互相互垂直垂直的截面上的截面上,剪应力总是剪应力总
20、是同时存在同时存在的的,它们大小相等它们大小相等,方向是方向是共共同指向或背离同指向或背离两截面的交线。两截面的交线。Adxdy纯剪切应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态:微元各面只有剪应力作用的应力状态。微元各面只有剪应力作用的应力状态。三三、剪应力互等定理（、剪应力互等定理（theorem of conjugate shearing stress)：2023/2/1632T横截面上的扭矩横截面上的扭矩(twisting moment/internal torque at the cross section)该点到圆心的距离该点到圆心的距离(radial distance fr
21、om the axis of the shaft)Ip截面对圆心的极惯性矩截面对圆心的极惯性矩(polar moment of inertia of the cross-sectional area),只与截面几何相关。只与截面几何相关。单位单位：mm4，m4。（1 1）仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截）仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截 面直杆。面直杆。讨论讨论:（2）尽管由实心尽管由实心圆轴圆轴(solid circular shaft)推出，但同样适用于推出，但同样适用于 空心空心圆轴圆轴(cored/hollow circular shaft),只是只是I
22、p值不同。值不同。2023/2/1633(3)最大和最小切应力(maximumandminimumshearstress)WT抗扭截面系数（抗扭截面模量）section modulus intorsion,单位：mm3或m3。最大切应力在圆轴表面处,且有=0时,=0;=max=r 时,=max2023/2/1634(4)应力分布应力分布Stress distributionSolid circular shaftcored/hollow circular shaft2023/2/1635知：长为知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为为6.4.3 圆轴扭转时的变形圆轴扭
23、转时的变形Deformation of torsion of circular shaft1）应用于）应用于T、G、Ip相同的一段；相同的一段；2）T代入代数值代入代数值2023/2/1636单位扭转角单位扭转角 ：or the angle of twist per unit lengthGIptorsional stiffness截截面面的的抗抗扭扭刚刚度度，反反映映了了截截面面抵抵抗扭转变形的能力抗扭转变形的能力Extensional rigidity（抗拉（压）刚度）（抗拉（压）刚度）2023/2/1637hereallowable shear stress许用切应力6.5.2强度条件(
24、Strengthcondition)(1)Checkstrength：(2)Designdimensionofsection：(3)Determinateallowableload：三大作用:2023/2/1638or isnamedastheallowableangleoftwistperunitlength.刚度条件StiffnessConditioninaCircularShaft2023/2/167.1 Concept of bending弯曲的概念弯曲的概念(1)External load:垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。)Bending弯
25、曲弯曲(2)Deformation:原为直线的轴线变为曲线。原为直线的轴线变为曲线。)(3)Element:梁：以弯曲变形为主要变形的杆件。梁：以弯曲变形为主要变形的杆件。)2023/2/1639平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。对称轴对称轴纵向对称面纵向对称面平面弯曲梁平面弯曲梁挠曲线挠曲线2023/2/1640内力内力 右截面正向右截面正向 左截面正向左截面正向 微段变形（正）微段变形（正）内力的符号规定内力的符号规定内力的符号规定内力的符号规定左上右下错动左上右下错动Fs向上凹向上凹M左上右下，左上右下，Fs为
26、正为正左顺右逆，左顺右逆，M为正为正内力按正向假设！内力按正向假设！2023/2/1641梁的弯曲内力：梁的弯曲内力：剪力和弯矩剪力和弯矩横截面上的剪力在数值上等于保留段上横截面上的剪力在数值上等于保留段上所有所有横向外力（不包括力偶）横向外力（不包括力偶）的代数和的代数和。横向外力的正负号按如下规定：。横向外力的正负号按如下规定：保留段若为保留段若为右右段，则向段，则向下下的横向外力，引起的横向外力，引起正正的剪力的剪力;向上的横向外力向上的横向外力引起负的剪力：引起负的剪力：保留段若为保留段若为左左段，则向段，则向上上的横向外力，引起的横向外力，引起正正的剪力，向下的横向外力的剪力，向下的
27、横向外力引起负的剪力：引起负的剪力：2023/2/1642横截面上的弯矩，在数值上等于保留段上所有外力横截面上的弯矩，在数值上等于保留段上所有外力（包括力偶）（包括力偶）对截对截面形心取矩的代数和。外力对截面形心取矩的正负号按如下规定：面形心取矩的代数和。外力对截面形心取矩的正负号按如下规定：对于横向力引起的弯矩：不论保留段是左段还是右段，向对于横向力引起的弯矩：不论保留段是左段还是右段，向上上的横向外的横向外力对截面形心之矩均引起力对截面形心之矩均引起正正的弯矩；的弯矩；对于力偶引起的弯矩：若保留段是对于力偶引起的弯矩：若保留段是左左段，则段，则顺顺时针的力偶引起时针的力偶引起正正的弯的弯矩
28、；若保留段是矩；若保留段是右右段，则段，则逆逆时针的力偶引起时针的力偶引起正正的弯矩。的弯矩。2023/2/1643example please write the internal force equations and draw the internal force diagram of the following beam.solutionsolutionsolutionsolution：determine reactionslABqRARB write shear and moment equationsxRAxqFS(x)M(x)draw shear and moment diagr
29、amif FS=0 then M has a maximumql/2+ql 2/8+-ql/2FSxMx2023/2/1644 外外力力Uniform load part均布荷载作用段均布荷载作用段Concentrated load集中力作用处集中力作用处Concentrated couple集中力偶作用处集中力偶作用处No load空载段空载段q=0FS图图特特征征M图图特特征征CPCmxFS0水平直线水平直线FS0水平直线水平直线xxCFS1FS2FS1FS2=P有突变有突变,从左往右画从左往右画时时,遇到向上的集中遇到向上的集中力力,向上突变向上突变 x FS2-FS1=ql 斜向上直线
30、斜向上直线FS2FS1x FS1-FS2=ql斜向下直线斜向下直线FS2FS1xMM1M2M1-M2=m有突变有突变,从左往右画时从左往右画时,遇到遇到顺时针力偶向上突变顺时针力偶向上突变,遇到逆时针力偶向下突变遇到逆时针力偶向下突变q0lxM斜向上直线斜向上直线xM斜向下直线斜向下直线xM开口向上抛物线开口向上抛物线,FS=0处有极值处有极值xC无影响无影响xM无影响无影响,有尖角有尖角xM开口向下抛物线开口向下抛物线,FS=0处有极值处有极值2023/2/16451 First moments of area and centroid 静矩和形心静矩和形心1.1 First moments
31、 of area1.1 First moments of area静矩静矩对y 轴的静矩：对z 轴的静矩：大小:正,负,0量纲:长度3Sz、Sy的值随y轴或z轴的改变而改变。GeometricPropertiesofPlaneAreas2023/2/16461.2Centroid形心即图形对形心轴的静矩为0。HereycandzcarecentroidalcoordinateSz=0yc=0z轴是形心轴（centroidalaxis）Sy=0zc=0y轴是形心轴（centroidalaxis）GeometricPropertiesofPlaneAreas几何形心=等厚均质薄片重心2023/2/
32、16471.3 Firstmomentsandcentroidofcompositeareas 组合截面图形的静矩和形心(1)Firstmomentsofcompositeareas组合截面图形的静矩(2)Centroidofcompositeareas组合截面图形的形心GeometricPropertiesofPlaneAreas2023/2/16482Secondmomentsofareaandinertiaradius二次矩和惯性半径2.1Secondmomentsofarea二次矩对y 轴的轴惯性矩：对z 轴的轴惯性矩：极惯性矩：Iz,Iythemomentsofinertia(轴惯性
33、矩)ofanareaaboutz-andy-axes;IpthepolarmomentofinertiaofanareaaboutpointO（极惯性矩）Iyztheproductofinertiaofanarea(惯性积)GeometricPropertiesofPlaneAreas惯性积：2023/2/1649(1)量纲:L4大小:Iz,Iy,Ip:正Iyz:正,负，0(2)Iz,Iy,相对于一个坐标轴Iyz是相对于一对坐标轴,Ip是相对于一个点(3)Ip=Iy+IzO点是y轴、z轴的交点。GeometricPropertiesofPlaneAreas（4）y轴或z轴是对称轴时Iyz=02
34、023/2/1650(4)secondmomentsofseveralcommonareas常用截面的二次矩GeometricPropertiesofPlaneAreas2023/2/1651GeometricPropertiesofPlaneAreas（5）secondmomentsofcompositeareas组合截面图形的二次矩2023/2/16522.2inertiaradius惯性半径对y轴的惯性半径：对z 轴的惯性半径：GeometricPropertiesofPlaneAreas2023/2/1653Iyz=0Iyz=0且y轴和z轴的交点与截面形心重合y轴或z轴是对称轴（axi
35、sofsymmetry）Iyz=0butIyz=0y轴或z轴是对称轴（axisofsymmetry）GeometricPropertiesofPlaneAreasy轴和z轴是主惯性轴（principalaxis），简称主轴。y轴和z轴称为形心主惯性轴（centroidalprincipleaxis），简称形心主轴，截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。2023/2/1654GeometricPropertiesofPlaneAreas（1）截面对某轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩和两轴间距离的平方与截面面积的乘积之和。（2）在一组相互平行的轴中，截面对各轴的惯性矩中以形心轴的惯性
36、矩为最小。2023/2/1655形心主轴：形心主轴：2023/2/1656惯性矩、惯性积的转轴公式：惯性矩、惯性积的转轴公式：形心主惯性矩：形心主惯性矩：形心主惯性矩小者为截面对所有轴的惯性矩中的最小值。形心主惯性矩小者为截面对所有轴的惯性矩中的最小值。3、求截面形心主惯性矩的方法、建立坐标系。、计算面积和静矩、求形心位置:、求形心主惯性矩、求形心主轴方向0:、建立形心坐标系，求2023/2/1657平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲纵向对称面纵向对称面纵向对称面纵向对称面F Fq8 梁的弯曲应力与强度计算梁的弯曲应力与强度计算8.1 梁弯曲时横截面上的正应力梁弯曲时横截面上的正应力2023/2
37、/1658 shear-bow横力（剪切）弯曲横力（剪切）弯曲(AC、DB段段)：FS0，Mconst Pure bending/simple bending纯弯曲纯弯曲(CD段段)：FS=0，M=const0PPal-2aaCDAB+PaM+PP-FS2023/2/1659式式中中1/为为梁梁弯弯曲曲后后轴轴线线的的曲曲率率，EIz为为梁梁的的抗抗弯弯刚刚度度(bending stiffness)。讨论：讨论：Wz=Iz/ymax 抗弯截面系数抗弯截面系数section modulus in bending，单位为，单位为:L3（1）同一横截面上的最大正应力和最小正应力）同一横截面上的最大正
38、应力和最小正应力Mxyz距中性轴最远处，正应力最大；中性轴上，正应力为距中性轴最远处，正应力最大；中性轴上，正应力为0，最小。，最小。（2）按绝对值计算正应力按绝对值计算正应力 的大小，依据弯曲后的拉压情况的大小，依据弯曲后的拉压情况判断正负。判断正负。2023/2/1660（3）application of the formula:The linear elastic material of the pure bending纯弯曲的线弹性材料纯弯曲的线弹性材料The linear elastic material of the shear-bow of the ratio of span t
39、o height l/h is larger than 5 跨高比大于跨高比大于5的横力弯曲的线弹性材料的横力弯曲的线弹性材料Apply Hookes law平面假设与单向受力假设平面假设与单向受力假设For rectangle section,Wz=bh2/6（4）Wz of common sectionFor solid circular section:Wz=D D3/32For hollow/cored circular section:Wz=D D3(1-4 4)/32=d/D2023/2/1661（5）横截面上正应力分布律横截面上正应力分布律Normal stress distri
40、bution of cross section翼缘翼缘 Flange腹板腹板web t,maxt,max =c,maxc,max 也可以表示为也可以表示为+max=-max M2023/2/1662弯曲正应力弯曲正应力强度条件：强度条件：处处均应满足强度条件。处处均应满足强度条件。处处均应满足强度条件。处处均应满足强度条件。8.2 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件Strength condition of normal stress of bending2023/2/1663危险截面危险截面critical cross-section:|M|max 截面截面(1)plastic mat
41、erial/ductile material(2)brittle material2023/2/1664若中性轴是横截面的对称轴，则危险截面为：若中性轴是横截面的对称轴，则危险截面为：|M|max 截面截面若中性轴不是横截面的对称轴，则危险截面为：若中性轴不是横截面的对称轴，则危险截面为：M+max 或或 M-max 截面截面M2023/2/1665切应力分布及最大切应力切应力分布及最大切应力Shear stress distribution and maximum shear stressShear stress distribution and maximum shear stressNo
42、矩形截面矩形截面圆形截面圆形截面工字钢截面工字钢截面空心圆截面空心圆截面切切应应力力分分布规律布规律 最最大大切切应力应力 2023/2/1666(2)strength condition of shear stress(2)strength condition of shear stress剪应力强度条件剪应力强度条件Critical point Critical point 危险点：危险点：In generalIn general，Critical section Critical section 危险截面危险截面：F FSmaxSmaxpoint at the point at the
43、neutral axisneutral axis of critical section of critical section危险截面的中性轴上危险截面的中性轴上2023/2/1667PAB弯曲变形的度量弯曲变形的度量1.挠曲线：变形后梁的轴线。挠曲线：变形后梁的轴线。2.挠度（挠度（deflection）y：横截面形心沿垂直于轴线方向横截面形心沿垂直于轴线方向 的位移。向的位移。向上上为正。为正。x3.转角转角(slope/angle of rotation)：横截面绕中性轴转过：横截面绕中性轴转过的角度，即的角度，即 y 轴与挠曲线法线的夹角，或轴与挠曲线法线的夹角，或 x 轴与挠曲线切
44、线的夹角。轴与挠曲线切线的夹角。逆时针逆时针方向为正。方向为正。挠曲线挠曲线xy9.2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程2023/2/1668C、D 积分常数积分常数(integral constant)由由边界条件边界条件(boundary condition)和和连续性条件连续性条件(continuous condition)确定确定挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程:Angle of rotation equation 转角方程转角方程deflection curve equation挠曲线方程挠曲线方程9.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形Determine defor
45、mation of beam applying integral method2023/2/1669边界条件边界条件 固定端：固定端：y 0；0；铰支座：铰支座：y 0；连续性条件连续性条件 挠曲线为一条连续光滑的曲线，即在挠曲线的挠曲线为一条连续光滑的曲线，即在挠曲线的任意点上，有任意点上，有唯一唯一确定的挠度和转角。确定的挠度和转角。boundary conditioncontinuous condition如：在集中力、集中力偶以及分布荷载间断如：在集中力、集中力偶以及分布荷载间断处，两侧的挠度、转角对应相等：处，两侧的挠度、转角对应相等：y1=y2，1=22023/2/1670 Pri
46、nciple of superposition叠加原理：叠加原理：当梁上同当梁上同时时作用几个作用几个载载荷荷时时，梁的某一参量（反力、内力、，梁的某一参量（反力、内力、应应力、力、变变形）等于每形）等于每个个载载荷荷单单独作用独作用时时所引起的所引起的该该参量的代数和。参量的代数和。method of superposition叠加法：叠加法：应用叠加原理计算梁的某应用叠加原理计算梁的某一参量的方法。一参量的方法。前提条件：前提条件：小变形，材料服从虎克定律。小变形，材料服从虎克定律。9.4用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形Determine deformation of beam app
47、lying the method of superposition2023/2/1671 Example:given:Pql,EI，please determine yc and A.+ycqycp（1）载荷分解：）载荷分解：（2）分别计算：）分别计算：（3）叠加：）叠加：2023/2/1672 刚度条件（刚度设计准则，刚度条件（刚度设计准则，criterion for stiffness design)：作用：作用：2 设计截面设计截面1 刚度校核刚度校核3 确定许可载荷确定许可载荷 y和和 分别是许用挠度和许用转角。分别是许用挠度和许用转角。9.5梁的刚度计算及提高梁的刚度的措施梁的刚度计
48、算及提高梁的刚度的措施梁的刚度计算梁的刚度计算2023/2/167374平面应力状态小结：求任一斜截面应力求任一斜截面应力求主应力求主应力 nyssxtxyyx ts75求主平面方位求主平面方位主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。画主单元体画主单元体0主单元体如图所示主单元体如图所示76求极限切应力求极限切应力最大和最小切应力：相互垂直面上的应力关系相互垂直面上的应力关系77例：已知单元体上应力如图，求斜截面上的应力、主应力、主例：已知单元体上应力如图，求斜截面上的应力、主应力、主平面方位及画主单元体。（应力单位为平面方位及画主单元体。（应力单位为MPaMPa）78画出主单元体画出
49、主单元体79Applying superposition(叠加）叠加）method,we can get the following Generalized hooks law（广（广义义胡克定律）胡克定律）:主应力主应力 -主应变关系主应变关系80 x xy yz z x xy z y对于非主单元体对于非主单元体(non-principle element)，各个面上既有正应力又有切应，各个面上既有正应力又有切应力，但在弹性范围内和小变形的情况下，线应变只与正应力有关，与切力，但在弹性范围内和小变形的情况下，线应变只与正应力有关，与切应力无关；切应变只与切应力有关，而与正应力无关。应力无关；
50、切应变只与切应力有关，而与正应力无关。81Uniform strength condition:Strength theory强度理论强度理论Type of failure破坏形式破坏形式Reason of failure破坏原因破坏原因Correspondence stress相当应力相当应力First strength theory/maximum tensile stress theoryBrittle failure脆性断裂脆性断裂Second strength theory/maximum tensile strain theoryBrittle failure脆性断裂脆性断裂Thi