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1、 理论物理导论理论物理导论 拉格朗日用全新方法来处理力学问题，无拉格朗日用全新方法来处理力学问题，无论问题多么复杂，均把矢量变为标量，扩大了论问题多么复杂，均把矢量变为标量，扩大了坐标的概念，引入广义坐标，便于研究受约束坐标的概念，引入广义坐标，便于研究受约束质点组的力学问题。质点组的力学问题。分析力学讨论习题课分析力学讨论习题课 拉格朗日方程 理论物理导论理论物理导论例例1 求质点在重力场中的动力学方程求质点在重力场中的动力学方程广义坐标为x,y.z S= 理论物理导论理论物理导论代入 理论物理导论理论物理导论例例2求质点在单摆中的动力学方程求质点在单摆中的动力学方程广义坐标为S=1 理论物
2、理导论理论物理导论代入 动力学方程 理论物理导论理论物理导论例例3如图所示，滑轮组悬挂三个重物，质量分别为如图所示，滑轮组悬挂三个重物，质量分别为m1、m2和和m3，试分别求出这三个重物加速度的大小。滑轮及绳子，试分别求出这三个重物加速度的大小。滑轮及绳子的质量可忽略不计。的质量可忽略不计。分析：分析：利用拉格朗日方程组可求解利用拉格朗日方程组可求解关键是找出广义坐标，因三个重物，关键是找出广义坐标，因三个重物，二个滑轮，在同一平面作一维运动，二个滑轮，在同一平面作一维运动，需需5 5个参量描述，又个参量描述，又A固定和两个绳长固定和两个绳长一定的约束，故只需一定的约束，故只需2 2个独立坐标
3、个独立坐标q1，q2 理论物理导论理论物理导论解：解：建立如图所示的一维坐标系建立如图所示的一维坐标系Ox三重物分别对应的坐标为三重物分别对应的坐标为x1，x2，x3设滑轮设滑轮A、B半周长分别为半周长分别为s1和和s2由图中几何关系有：由图中几何关系有：滑轮滑轮A、B上的绳长分别为上的绳长分别为l1和和l2重物重物速度速度 理论物理导论理论物理导论不计滑轮和绳的质量，那么体系的动能为：不计滑轮和绳的质量，那么体系的动能为：体系的势能为：体系的势能为：理论物理导论理论物理导论体系的拉格朗日函数为：体系的拉格朗日函数为：代入拉格朗日方程组有：代入拉格朗日方程组有：化简为：化简为：理论物理导论理论
4、物理导论解得：解得：所以各重物的加速度为：所以各重物的加速度为：理论物理导论理论物理导论在给定瞬时在给定瞬时t，质点为约束所允许的，质点为约束所允许的可能发生的无限小位移可能发生的无限小位移u虚位移的发生不需要时间虚位移的发生不需要时间u虚位移的个数有无穷多个虚位移的个数有无穷多个u虚位移虚位移垂直于约束曲面在该点的法线，垂直于约束曲面在该点的法线，位于约束曲面的切平面，不破坏约束位于约束曲面的切平面，不破坏约束不耗时不耗时实位移实位移dt(0)时间内，质点发生的真实位移时间内，质点发生的真实位移耗时耗时虚位移虚位移虚功原理（虚位移原理）虚功原理（虚位移原理）理论物理导论理论物理导论几何约束几
5、何约束运动约束运动约束(微分约束微分约束)稳定约束稳定约束不稳定约束不稳定约束不可解约束不可解约束(双侧双侧(面面)约束约束)可解约束可解约束(单侧单侧(面面)约束约束)完整约束完整约束不完整约束不完整约束可积分成几何约束可积分成几何约束不可积分成几何约束不可积分成几何约束约束分类约束分类 理论物理导论理论物理导论定义定义设想虚位移设想虚位移 等时变分算子；等时变分算子；d 微分算子微分算子发生在虚拟时间发生在虚拟时间 t(=0)内内为为 t(=0)内内满足变分约束方程的矢径的变分满足变分约束方程的矢径的变分数学处理上，数学处理上，设函数设函数在在稳定约束情况下，实位移是无数虚位移之中的一个稳
6、定约束情况下，实位移是无数虚位移之中的一个在在不稳定约束情况下，实位移则不一定是虚位移之中的一个不稳定约束情况下，实位移则不一定是虚位移之中的一个 理论物理导论理论物理导论实功实功作用在质点上的力在作用在质点上的力在dt时间内，在实位移上做的功时间内，在实位移上做的功设质点受到主动力设质点受到主动力和约束力和约束力，发生了位移，发生了位移虚功虚功作用在质点上的力在任意时刻的虚位移上做的功作用在质点上的力在任意时刻的虚位移上做的功 理论物理导论理论物理导论理想约束理想约束所作的虚功之和为零所作的虚功之和为零力学体系下，诸约束力力学体系下，诸约束力在任意虚位移在任意虚位移中，中，的约束的约束如光滑
7、面如光滑面,光滑曲线光滑曲线,光滑铰链等光滑铰链等,但但如刚性杆、不可伸长的绳等如刚性杆、不可伸长的绳等 理论物理导论理论物理导论虚功原理（虚位移原理）虚功原理（虚位移原理）n个质点的力学体系，每个质点都处于个质点的力学体系，每个质点都处于平衡平衡状态，状态，对力学体系有：对力学体系有：理想约束条件下理想约束条件下，有：，有：虚功原理虚功原理则：则：理论物理导论理论物理导论虚功原理与平衡态下牛顿第二定律虚功原理与平衡态下牛顿第二定律虚功原理是考虑了虚功原理是考虑了理想约束理想约束条件下的结果条件下的结果力系平衡时的虚功力系平衡时的虚功力系平衡时的方程力系平衡时的方程是等价的是等价的动力学力系非
8、平衡时的方程动力学力系非平衡时的方程动力学力系平衡时的方程动力学力系平衡时的方程 理论物理导论理论物理导论达朗伯达朗伯-拉格朗日原理拉格朗日原理设质点系的质点Pi受主动力Fi的作用，质点系的约束都是理想、双面约束，可能运动ri=ri(t)是真实运动的充分必要条件是：动力学普遍方程动力学普遍方程 理论物理导论理论物理导论牛顿定律和达朗伯-拉格朗日原理是等价的，但它们的思路是不同的。牛顿定律牛顿定律牛顿定律牛顿定律将约束用反力来代替，直接给出各质点真实运动和主动力、约束反力的关系达朗伯达朗伯达朗伯达朗伯-拉格朗日原理拉格朗日原理拉格朗日原理拉格朗日原理先考虑约束对运动的限制，在约束允许的可能运动中
9、找出真实运动。动力学普遍方程动力学普遍方程 理论物理导论理论物理导论牛顿定律牛顿定律对理想约束对理想约束 理论物理导论理论物理导论由理想约束的定义和达朗伯-拉格朗日原理：用约束反力代替约束后，质点系就变成了自由质点系，所有虚位移都是相互独立的，故 理论物理导论理论物理导论1.确定研究对象：整体确定研究对象：整体2.受力分析：画出作功的主动力受力分析：画出作功的主动力3.运动分析：分析加速度运动分析：分析加速度4.给出虚位移，找出它们之间的关系给出虚位移，找出它们之间的关系几何法：根据约束的几何关系，直接几何法：根据约束的几何关系，直接找出各点虚位移之间的关系找出各点虚位移之间的关系解析法：对约
10、束方程进行变分，即可解析法：对约束方程进行变分，即可求得各点虚位移之间的关系求得各点虚位移之间的关系5.列出动力学方程，并求解列出动力学方程，并求解达朗伯原理解题步骤 理论物理导论理论物理导论建立如图所示系统的运动微分方程。例1 理论物理导论理论物理导论解法1 理论物理导论理论物理导论解法2 理论物理导论理论物理导论TT请比较用牛顿定律、达朗贝尔请比较用牛顿定律、达朗贝尔-拉格朗日原拉格朗日原理和拉格朗日方程解题的优缺点。理和拉格朗日方程解题的优缺点。运动分析运动分析受力分析受力分析列写运动微分方程列写运动微分方程解法3 牛顿定律 理论物理导论理论物理导论建立如图所示单摆的运动微分方程。建立如图所示单摆的运动微分方程。例2 理论物理导论理论物理导论an解1：理论物理导论理论物理导论分析力学的优点分析力学的优点1.消去“理想约束”，减少方程组中未知量的个数；2.理论完整，涉及范围广，内容丰富；3.学习分析力学不仅是为了提高和深化力学知识，也是为后续课程学习的的需要。哈密顿正则方程和正则变换在统计物理中有重要应用，泊松括号的概念在量子力学中非常重要。理论物理导论理论物理导论分析力学的缺点分析力学的缺点 数学推理多，容易使人忽略力学的物理实质，因此用数学来解决问题时要注意物理意义，数学毕竟是一种工具，归根结蒂要用物理知识来判断。自己推导弹簧振子的动力学方程式（分析力学方法）