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1、 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院河海大学理学院第九节 二元函数的Taylor公式 高等数学（下）高等数学（下）一元函数的泰勒公式：一元函数的泰勒公式：问题：问题：能否用多元多项式来逼近一个给定的能否用多元多项式来逼近一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小呢多元函数，并能具体地估算出误差的大小呢？一、二元函数的泰勒公式 高等数学（下）高等数学（下）k kk k 高等数学（下）高等数学（下）其中记号其中记号 一般地一般地,记号记号 高等数学（下）高等数学（下）上式称为上式称为二元函数的拉格朗日中值公式二元函数的拉格朗日中值公式.高等数学（下）高等数学（下）在在 0，1 上，由上
2、，由 Langrage 中值定理，中值定理，存在存在（0，1），使得），使得 证证引入函数引入函数显然显然 高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）其中其中 高等数学（下）高等数学（下）例例1 1解解 高等数学（下）高等数学（下）例例解解 高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）其中其中 高等数学（下）高等数学（下）例例2 2解解 高等数学（下）高等数学（下）例例2 2解解 高等数学（下）高等数学（下）二、极值充分条件的证明利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2 高等数学（下）高等数学（下）证证依二元函数的泰勒公式，依二元
3、函数的泰勒公式，高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）注注:高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）及及 高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）考察函数考察函数及及 高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）高等数学（下）k kk k 高等数学（下）高等数学（下）证证引入函数引入函数显然显然由由 的定义及多元复合函数的求导法则的定义及多元复合函数的求导法则,可得可得 高等数学（下）高等数学（下）由归纳假设，得由归纳假设，得由归纳假设，得由归纳假设，得 高等数学（下）高等数学（下）利用一元函数的麦克劳林公式，得利用一元函数的麦克劳林公式，得 高等数学（下）高等数学（下）其中其中