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1、二二 项项 式式 定定 理理【复习引入：复习引入：】复习回顾：提问初中学过的完全平方公式是什么？提问初中学过的完全平方公式是什么？你能写出你能写出 ，思路一：思路一：思路一：思路一：提问：(1)、以 为例，展开式中各项字母的形式是什 么？展开式项的次数是什么？有几项？(2)、展开式中各项的系数与 展开式中各项的系数有没有关系？(3)、你能猜想 展开式的形式吗？观察下列几个等式：（）、展开式中各项是 的形式，可按a（或b）的降幂排成：1 1 1 2 1 1 3 3 11 4 6 4 1 （）、展开式中各项系数的规律：将 中 展开式的系数列成表如下：发现：发现每行两端都是，后一行其它各数是上一行肩
2、上二数之和。再从一个数等于另二数之和联想到结合数及其性质：，于是各项系数可写成表中形式：由此猜想 展开式的各项系数：思路二：思路二：思路二：思路二：观察下式：由多项式乘法知，其展开式的每一项是由由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个括个括号各取一项相乘而得，故每一项都是号各取一项相乘而得，故每一项都是 形形式，即式，即 .各项系数是由相同的项合各项系数是由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，故并而成的，有几项其系数就是几，故 含含 的的项项只只能能由由每每个个括括号号取取a不不取取b（或或说说取取0个个b）而得，即而得，即 ，系数为；，系数为；含含 的的项项只只能能由由3个个括括号号取取
3、a，余余下下的的1个个括括号号取取b而而得，即得，即 ，系数为；，系数为；含含 的的项项只只能能由由2个个括括号号取取a，余余下下的的2个个括括号号取取b而而得，即得，即 ，系数为；，系数为；含含 的的项项只只能能由由1个个括括号号取取a，余余下下的的3个个括括号号取取b而而得，即得，即 ，系数为；，系数为；含含 的的项项只只能能由由4个个括括号号都都取取b而而得得，即即 ，系系数数为；为；从而可得：提问：的展开式怎么写呢？可以对可以对b分类：分类：不取不取b，得，得取取1个个b，得，得取取2个个b，得，得取取k个个b，得，得取取n-1个个b，得，得取取n个个b，得，得 将这n+1个式子相加，
4、可得二项式定理 完善结论：把上述探索得到的结果叫做二项把上述探索得到的结果叫做二项式定理，右边的多项式，共有式定理，右边的多项式，共有n+1项，其中各项系数项，其中各项系数 叫做二项式系数，其通项公式为：叫做二项式系数，其通项公式为：.说明：（1）、猜猜证证法法是是数数学学中中常常用用方方法法，本本定定理理是是由由不不完完全全归归纳纳法法得得出出，需需加加以以证证明明。其其证证明明因因目目前前知知识识所所限限，留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。（2）、二二项项式式定定理理是是个个恒恒等等式式，定定理理中中字字母母a、b可可表表示数或式，其中
5、示数或式，其中 .（3）、展展开开式式共共有有n+1项项，各各项项次次数数为为n，它它是是按按字字母母a降幂，降幂，b升幂排列。升幂排列。（4）、通通项项公公式式表表示示的的是是第第r+1项项，不不是是第第r项项，且且a、b位置不能对换。位置不能对换。（5）、二项式系数为）、二项式系数为 ，注意与项的系数的区别。，注意与项的系数的区别。例如：例如：的第三项是的第三项是 ，其二项式，其二项式系数为：系数为：，第三项的系数为：，第三项的系数为：。应用解析：例：（例：（1）、展开）、展开 （2）、求）、求 展开式的第展开式的第3项项（学生练习（学生练习:）（3）、求）、求 展开式的第展开式的第3项项
6、 应用解析：例例（4）、的的展展开开式式中中，项项的系数是多少？的系数是多少？小结 思路一：思路一：由特殊的二项式由特殊的二项式来分析猜想一般来分析猜想一般的的 展开式展开式 思路二：思路二：根据多项式乘法、根据多项式乘法、结合组合知识，通结合组合知识，通过猜想归纳得到过猜想归纳得到 二项式定理：二项式定理：及通项公式：及通项公式：注意事项（a）、注注意意观观察察、分分析析、猜猜想想、归归纳纳（证证明明）的的数数学方法。学方法。（b）、二二项项式式定定理理是是个个恒恒等等式式，定定理理中中字字母母a、b可可表示数或式，其中表示数或式，其中 .（c）、展展开开式式共共有有n+1项项，各各项项次次数数为为n，它它是是按按字字母母a降幂，降幂，b升幂排列。升幂排列。（d）、通通项项公公式式表表示示的的是是第第r+1项项，不不是是第第r项项，且且a、b位置不能对换。位置不能对换。（e）、二项式系数为）、二项式系数为 ，注意与项的系数的区别。，注意与项的系数的区别。谢 谢言锡金融理财