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1、第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限 第一章 1.1.4 反函数与复合函数反函数与复合函数1.1.3函数的几种特性函数的几种特性1.1.1 区间和邻域区间和邻域第1节机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.1 函数1.1.2 函数的概念函数的概念1.1.5 初等函数初等函数1.1.1 区间和邻域区间和邻域机动 目录 上页 下页 返回 结束 开区间开区间：设设 和和都是实数，都是实数，且且则数集则数集称为开区间，记为称为开区间，记为即即和和称为开称为开区间的端点。区间的端点。闭区间：闭区间：数集数集称为闭区间，即称为闭区间，即类似地有类似地
2、有称为半开半闭区间。称为半开半闭区间。无限区间点的 邻域邻域去心 邻域邻域其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.左左 邻域邻域:右右 邻域邻域:定义域1.1.2 函数的概念函数的概念定义定义.设数集则称映射为定义在D 上的函数,记为 f(D)称为值域 函数图形函数图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值 域机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.已知函数求 及解解:函数无定义并写出定义域及值域
3、 .定义域 值 域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习 习题1.1 题1：（3）、（6）1.1.3.函数的几种特性函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性有界性使称 使称 说明说明:还可定义有上界、有下界、无界(2)单调性单调性为有界函数.在 I 上有界.使若对任意正数 M,均存在 则称 f(x)无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界当时,称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数;单调减函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)奇偶性奇偶性且有若则称 f(x)为偶函数;若则称 f(x)为奇函数.说明说明:若在 x=0 有定义,为奇函数奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦
4、记机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如,奇函数双曲正弦 记再如,奇函数双曲正切 记机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习 1.1 题5.(4)周期性周期性且则称为周期函数,若称 l 为周期(一般指最小正周期).周期为 周期为注注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.4.反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减)(减).1)yf(x)单调递增且也单调递增 性质:2)函数
5、与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数(2)复合函数 则设有函数链称为由,确定的复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合映射的特例 u 称为中间变量.注意:构成复合函数的条件 不可少.例如例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:1.1.5.初等函数初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一
6、个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P7 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例:符号函数当 x 0当 x=0当 x 0取整函数当机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求的反函数及其定义域.解解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构 作业 习题1.1P7 1(2),(5);P8 3;7(4);8 2.函数的定义及函数的二要素第二节 目录 上页 下页 返回 结束