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1、8-1 位移法求解位移法求解 第八章第八章 柱体的自由扭转问题柱体的自由扭转问题8-2 按应力函数求解按应力函数求解 8-3 薄膜比拟薄膜比拟8-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例 8-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转 2/17/20232/17/20231 1 在在第第五五章章的的最最后后我我们们以以圆圆柱柱形形杆杆的的扭扭转转问问题题为为例例来来说说明明空空间间三三维维问问题题的的求求解解过过程程。（无体力）（无体力）对于圆杆扭转：（扭矩对于圆杆扭转：（扭矩Mz=MT）应力：应力：x=y=z=xy=0 ，位移分量：位移分量：u=-Kyz,v=Kxz,w=0,K为单
2、位长扭转角。为单位长扭转角。2/17/20232/17/20232 2 对于一般等截面杆扭转对于一般等截面杆扭转w 0 称为自由称为自由扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参考圆杆扭转解进行假设考圆杆扭转解进行假设半逆解。半逆解。8-1 位移法求解位移法求解 对于一般等截面杆对于一般等截面杆自由自由扭转，可设位移分量：扭转，可设位移分量：u=-Kyz,v=Kxz,（u、v与园杆扭转一致）与园杆扭转一致）w=K(x,y)w不能为零不能为零,为为x,y函数。而函数。而(x,y)称为称为 扭曲函数。扭曲函数。2/17/20232/17/20233 38-1 位移
3、法求解位移法求解 无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。未知量为：未知量为：K和和(x,y)。（工程）应变分量：（工程）应变分量：u=-Kyz,v=Kxz,w=K(x,y)2/17/20232/17/20234 48-1 位移法求解位移法求解应力分量：应力分量：x=y=z=xy=0，所有物理量均由所有物理量均由K和和(x,y)表示。表示。2/17/20232/17/20235 58-1 位移法求解位移法求解 按按位位移移法法求求解解，基基本本方方程程为为平平衡衡微微分分方方程程（三个）。（三个）。或或 2 2 =0=0 两两个个平平衡衡微微分分方方程程自自然然
4、满满足足，而而第第三三个个方方程程为：为：2/17/20232/17/20236 68-1 位移法求解位移法求解基基本本方方程程仅仅为为一一个个，求求解解(x,y)的的方方程程。由由基本方程可见基本方程可见(x,y)为一个调合函数。为一个调合函数。同同时时在在基基本本方方程程中中不不出出现现K。K的的确确定定当当然然也也应应通过边界条件来确定。通过边界条件来确定。扭扭曲曲函函数数(x,y)除除了了满满足足 2 2 =0,0,还还需需要满足边界条件，要满足边界条件，2/17/20232/17/20237 78-1 位移法求解位移法求解首先考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界）首先考察扭杆侧边的边界
5、条件：（主要边界）在侧边上方向余弦在侧边上方向余弦 (l,m,n)=()=(l,m,0)面力：面力：满足满足 xyozMMT TMMT T2/17/20232/17/20238 88-1 位移法求解位移法求解 yxonMT-dxdy 上式也可以用上式也可以用 边界条件用边界条件用(x,y)的偏微分表示。的偏微分表示。由于由于 则则 代入侧面边界条件代入侧面边界条件 2/17/20232/17/20239 98-1 位移法求解位移法求解在扭杆端面（如在扭杆端面（如z=0):法线的方向余弦法线的方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)=(0,0,-1)杆端截面法线方向面力杆端截面法线方向面力 ，
6、满足；，满足；合力为零合力为零合力矩为合力矩为xyozMMT TMMT T而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣维南原理，维南原理，在在,x,y方向面力分量不清楚方向面力分量不清楚,但要求但要求 2/17/20232/17/202310108-1 位移法求解位移法求解上式也可以表示为上式也可以表示为可以证明当扭曲函数可以证明当扭曲函数(x,y)在主在主要边界上力边界条件满足时，要边界上力边界条件满足时，则则 和和 自然满足。见以下：自然满足。见以下：2/17/20232/17/202311118-1 位移法求解位移法求解利用格利用格林公式林公式 2 2
7、 =0=0 2/17/20232/17/202312128-1 位移法求解位移法求解 而第三个方程为：而第三个方程为：扭矩扭矩MT与与K 和和(x,y)的关系。的关系。小结：小结：用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数(x,y)和单位扭转角和单位扭转角K。2/17/20232/17/20231313 2 2 =0=0 在在V V上上 在杆侧边上在杆侧边上由由求求(x,y)8-1 位移法求解位移法求解当当(x,y)确定后，利用杆端面条件确定后，利用杆端面条件求求K 令令 扭转刚度扭转刚度 当当(x,y)和和K均找到后，则扭杆的位移、均找到后，则扭杆的位移、应
8、力均可求出。应力均可求出。2/17/20232/17/20231414作业：作业：证明扭曲函数证明扭曲函数 能用来求椭圆截能用来求椭圆截面杆面杆 的扭转问题，其中的扭转问题，其中a和和 b 为为椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为 2/17/20232/17/202315158-2 按应力函数求解按应力函数求解 按按位位移移法法求求解解扭扭转转问问题题要要求求在在V V内内求求解解调调和和方方程程 2 =0,其边界条件其边界条件 (x,y)的的微微分分形形式式）但但能能满满足足边边界界条条件件调调合合函函数数 (x,y)是是不不易易找找到到的的。下下面面讨讨论论按按应应
9、力力法法求求解解等等截截面面杆杆扭扭转转问问题题基基本本方方程程以以及及应应力力函数法求解等截面杆扭转问题的作法。函数法求解等截面杆扭转问题的作法。2/17/20232/17/202316168-2 按应力函数求解按应力函数求解2.1 2.1 按应力法求解方程按应力法求解方程 同圆杆扭转类似，设同圆杆扭转类似，设 x=y=z=xy=0仅存在仅存在 zx(x,y)=xz 和和 zy(x,y)=yz两两个个应应力力分分量量，将将应应力力分分量量代代入入应应力力法法的的基本方程九个（三个平衡和六个相容方程）基本方程九个（三个平衡和六个相容方程）2/17/20232/17/202317178-2 按应
10、力函数求解按应力函数求解三个平衡方程三个平衡方程：前两式自然满足，剩下一个控制方程前两式自然满足，剩下一个控制方程 无体力相容方程为：无体力相容方程为：由于设由于设 x=y=z=0，=0 2/17/20232/17/202318188-2 按应力函数求解按应力函数求解则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个控制方程控制方程 2 2 zx=0=0 和和 2 2 zy=0=0按应力法求解按应力法求解基本方程为三个基本方程为三个 2zx=0 2zy=02/17/20232/17/202319198-2 按应力函数求解按应力函数求解边界条件：边界条件：在侧边：方向余
11、弦在侧边：方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0)面力：面力：；前两个方程满足；前两个方程满足；第三个力边界条件：第三个力边界条件：l zx+m zy=0 在端面：方向余弦在端面：方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)面力：面力：满足。满足。2/17/20232/17/202320208-2 按应力函数求解按应力函数求解在在 x,y 方向面力应用圣维南原理方向面力应用圣维南原理2/17/20232/17/202321218-2 按应力函数求解按应力函数求解2.2 2.2 按应力函数按应力函数(x,y)求解求解 设应力分量与应力函数的关系为设应力分量与应力函数的关系为 则应力法第一个基本方程
12、（平衡微分方程）自则应力法第一个基本方程（平衡微分方程）自然满足。然满足。2/17/20232/17/202322228-2 按应力函数求解按应力函数求解常数常数C C是什么？是什么？C C 和位移法公式中的和位移法公式中的系数有什么关系系数有什么关系?将上式代入应力法的其它两个基本方程，得将上式代入应力法的其它两个基本方程，得 2 =C（泊（泊松方程）松方程）由应力函数法和位移法可知由应力函数法和位移法可知 2/17/20232/17/202323238-2 按应力函数求解按应力函数求解 将应力函数将应力函数 代入杆侧边的边界条件代入杆侧边的边界条件 l zx+m zy=0 2/17/202
13、32/17/202324248-2 按应力函数求解按应力函数求解而而 代入边界条件，得代入边界条件，得 则应力函数在扭杆侧边应该为常数则应力函数在扭杆侧边应该为常数:s=C1 yxonMT-dxdyl zx+m zy=0 2/17/20232/17/202325258-2 按应力函数求解按应力函数求解对于单连域：可取对于单连域：可取 s=0 x yS1S0S2对于复连域：可取一条边界线对于复连域：可取一条边界线上上 s为零，而其它边界为零，而其它边界 s为非为非零常数：零常数：s0=0,si=Ci 0,i=1,2,3再将再将(x,y)代入端面上的边界条件：代入端面上的边界条件：方向余弦方向余弦
14、 (l,m,n)=(0,0,-1)，面力：面力：满足。满足。2/17/20232/17/202326268-2 按应力函数求解按应力函数求解在在x,y方向面力应用圣维南原理方向面力应用圣维南原理第一、二方程恒满足。第一、二方程恒满足。第一个方程第一个方程 第二个方程第二个方程 2/17/20232/17/202327278-2 按应力函数求解按应力函数求解在在x,y方向面力应用圣维南原理方向面力应用圣维南原理第三个方程第三个方程 yxoMTXY2/17/20232/17/202328288-2 按应力函数求解按应力函数求解当为单连域时：在当为单连域时：在s上上 s=0当为多连域时：当为多连域时
15、：s0=0,si=Ci 0,i=1,2,32/17/20232/17/202329298-2 按应力函数求解按应力函数求解(Ai为为si围成的面积。围成的面积。)2/17/20232/17/202330308-2 按应力函数求解按应力函数求解总结：总结：按应力函数按应力函数(x,y)求解求解,(x,y)须满足须满足 2 =-2KG=C，且且(x,y)与与MT 之间满足之间满足（单连域）（单连域）（多连域）（多连域）2/17/20232/17/202331318-2 按应力函数求解按应力函数求解在柱体侧边在柱体侧边 s=0 （单连域）（单连域）si=Ci （多连域）（多连域）当当 k k 和和
16、(x,y)由由上上述述方方程程确确定定后后，可可求求出出 zx、zy以及应变和位移。以及应变和位移。2/17/20232/17/202332328-3 薄膜比拟薄膜比拟 对于截面形状比较复杂的柱体，不管采用位对于截面形状比较复杂的柱体，不管采用位移法还是应力法求解扭转问题解答（解析解）是移法还是应力法求解扭转问题解答（解析解）是很困难的，而普朗特（很困难的，而普朗特（ProndtlProndtl）在）在19031903年提出了年提出了薄膜比拟，它利用薄膜在均匀压力下的垂度与等薄膜比拟，它利用薄膜在均匀压力下的垂度与等截面直杆扭转问题中的应力函数在数学上的相似截面直杆扭转问题中的应力函数在数学上
17、的相似性，用薄膜来比拟扭杆，它可以帮助我们寻找扭性，用薄膜来比拟扭杆，它可以帮助我们寻找扭转问题的解答转问题的解答,尤其是对截面较复杂的扭转可以避尤其是对截面较复杂的扭转可以避开数学上的困难，而采用实际薄膜比拟实验测定，开数学上的困难，而采用实际薄膜比拟实验测定，形象的获得一些有价值的解。形象的获得一些有价值的解。2/17/20232/17/202333338-3 薄膜比拟薄膜比拟xyooxzq TTTTTTdydx 一均匀薄膜形状同扭杆一均匀薄膜形状同扭杆截面，周边固定，并使薄膜截面，周边固定，并使薄膜受均匀微小压力受均匀微小压力q q作用，薄膜作用，薄膜将微微凸起，而形成曲面将微微凸起，而
18、形成曲面 z=z(x,y)，薄膜仅承受张力（拉力）薄膜仅承受张力（拉力）T。下面来寻求薄膜垂度下面来寻求薄膜垂度z=z(x,y)所应满足所应满足的方程和边界条件。的方程和边界条件。2/17/20232/17/202334348-3 薄膜比拟薄膜比拟xyooxzq TTTTTTdydx 寻求寻求z=z(x,y)应满足的应满足的方程，即求解方程是由薄方程，即求解方程是由薄膜微元膜微元dxdy的的z方向的平衡方向的平衡条件来确定条件来确定(F Fz z=0=0)。2/17/20232/17/202335358-3 薄膜比拟薄膜比拟xyooxzq TTTTTTdydx整理后，得整理后，得 或或 z(x
19、,y)所应满足的方程。所应满足的方程。2/17/20232/17/202336368-3 薄膜比拟薄膜比拟xyooxzq TTTTTTdydx与扭转问题应力函数与扭转问题应力函数(x,y)所应满足方程和所应满足方程和边界条件相比（边界条件相比（2 =-2KG ，s=0），），与与z之间存在比拟关系之间存在比拟关系:薄膜垂度薄膜垂度z=z(x,y)所应满所应满足的边界条件：足的边界条件：zs=0（单连域）。（单连域）。2/17/20232/17/202337378-3 薄膜比拟薄膜比拟薄膜垂度薄膜垂度z(x,y)可由实验测定，再根据上再可由实验测定，再根据上再根据上式可确定根据上式可确定 的分布
20、规律。的分布规律。在应力函在应力函数解扭转问题时，考虑边界条件还有数解扭转问题时，考虑边界条件还有由此式确定比例系数（单连域）（单连域）扭矩扭矩MT与薄膜垂度所围成体积的两倍之间与薄膜垂度所围成体积的两倍之间也同样存在一致的比拟关系。也同样存在一致的比拟关系。2/17/20232/17/202338388-3 薄膜比拟薄膜比拟对于多连域，对于多连域，在孔边上应为常数，所以在在孔边上应为常数，所以在薄膜比拟试验中，开孔区应用平行于薄膜比拟试验中，开孔区应用平行于x-y平平面的无重刚性平板来代替。面的无重刚性平板来代替。扭杆剪应力：扭杆剪应力：剪剪应应力力分分量量的的大大小小与与该该薄薄膜膜垂垂度
21、度上上对对应应点点沿沿垂垂直直方方向向的的斜率成正比斜率成正比2/17/20232/17/202339398-3 薄膜比拟薄膜比拟 yxsnzyzx扭转截面上任意点总剪应力扭转截面上任意点总剪应力（应力矢量（应力矢量t）数值和方向确定数值和方向确定:任意点总剪应力数值任意点总剪应力数值可利用薄膜等高线，平行于可利用薄膜等高线，平行于x-y面的平面与薄面的平面与薄膜相截可获得一系列闭合曲线膜相截可获得一系列闭合曲线薄膜等高线。薄膜等高线。2/17/20232/17/202340408-3 薄膜比拟薄膜比拟在等高线上任意点应力可沿在等高线上任意点应力可沿x,y方向分解，也可沿方向分解，也可沿n,s
22、方方向分解。根据剪应力分量与向分解。根据剪应力分量与薄膜垂度沿垂直方向斜率成比例薄膜垂度沿垂直方向斜率成比例:在等高线上在等高线上 ,所以在等高线上所以在等高线上 yxsnzyzx2/17/20232/17/202341418-3 薄膜比拟薄膜比拟任意点总剪力任意点总剪力（等高线切方向）与垂度等高线的垂直方向斜（等高线切方向）与垂度等高线的垂直方向斜 率成正比。薄膜等高线为扭杆横截面上的剪率成正比。薄膜等高线为扭杆横截面上的剪 应力线。应力线。发生在薄膜具有最陡斜率的点处，一般在杆发生在薄膜具有最陡斜率的点处，一般在杆边界上。边界上。yxsnzyzx截面上的最大剪应力截面上的最大剪应力 2/1
23、7/20232/17/202342428-3 薄膜比拟薄膜比拟总结薄膜比拟与杆扭转各物理量之关系总结薄膜比拟与杆扭转各物理量之关系 柱扭转柱扭转(x,y)2GK Mz zx,zy（等高（等高线方向）线方向）薄膜比薄膜比拟拟z(x,y)q/T 2V,2/17/20232/17/202343438-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例ba yx 采采用用应应力力函函数数解解法法求求扭扭转转问问题题,应力函数应力函数(x,y)在域内满足方程在域内满足方程 2 =-2KG （1 1）例题例题1.椭圆截面杆的扭转。椭圆截面杆的扭转。在边界上满足方程在边界上满足方程 s=0（2）以及以
24、及 （3 3）2/17/20232/17/202344448-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例由于椭圆杆截面方程为由于椭圆杆截面方程为 因此，可设应力函数因此，可设应力函数(x,y)为为则则(x,y)自然满足方程自然满足方程 s=0。ba yx2/17/20232/17/202345458-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例代回代回 (x,y)再代回（再代回（3 3）式）式 注意注意，将将(x,y)代入基本方程代入基本方程 2 2 =-2KG-2KG ，得得 2/17/20232/17/202346468-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转
25、按应力函数举例再代回（再代回（3 3）式）式 注意注意 得得 2/17/20232/17/202347478-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例应力分量应力分量 各点总剪应力：各点总剪应力：最大剪应力在柱截面边界上（最大剪应力在柱截面边界上（）：）：设设a b，当，当 y=b 时时 为最大。为最大。2/17/20232/17/202348488-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例应变应变:x=y=z=xy=0，位移：当不考虑刚体位移时位移：当不考虑刚体位移时 椭圆杆扭转时，杆纵椭圆杆扭转时，杆纵向发生位移。向发生位移。2/17/20232/17/20
26、2349498-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例例题例题2.等边三角形截面（高为等边三角形截面（高为a）受扭矩）受扭矩Mz 作用，求截面剪应力。作用，求截面剪应力。x-a=0ax y解：对于单连域，应力函数解：对于单连域，应力函数 s=0，考虑此原因，设考虑此原因，设 时同椭圆杆扭转一样，取时同椭圆杆扭转一样，取 三角形截面杆的边界方程为三角形截面杆的边界方程为 的因子。的因子。2/17/20232/17/202350508-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例 设设 则则 (x,y)自然满足方程自然满足方程 s=0。2 =-2KG 得得 4ma=-
27、2KG,将将(x,y)代入基本方程代入基本方程 x-a=0ax y2/17/20232/17/202351518-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例利用利用 或或 得得 ，则，则 2/17/20232/17/202352528-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例应力分量为应力分量为 截面上最大剪应力：截面上最大剪应力：2/17/20232/17/20235353 y=-b/2 y=b/2 x=a/2 x x=-a/2 y8-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例例题例题3.矩形截面杆的扭转。矩形截面杆的扭转。矩形截面矩形截面(a b
28、)受扭矩受扭矩Mz作用，应力函数中要求作用，应力函数中要求 s=0 如果假设应力函数为如果假设应力函数为 满足满足 s=0，但，但 2 2 =-2kG-2kG 不能满足。不能满足。2/17/20232/17/202354548-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例 所所以以直直接接采采用用上上述述 s=0 的的假假设设式式不不能能作作为扭转的应力函数为扭转的应力函数.x yab 利用薄膜比拟，来判断狭矩形截面的应利用薄膜比拟，来判断狭矩形截面的应力函数特点。力函数特点。对对于于矩矩形形截截面面杆杆扭扭转转首首先先考考虑虑 a b时时的的情况情况,情况情况1 1:2/17/2
29、0232/17/202355558-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例同同样样形形状状薄薄膜膜周周边边固固定定受受均均匀匀压压力力作作用用时时，薄薄膜垂度变化如图，膜垂度变化如图，ozz yxx yab可见垂度曲面沿可见垂度曲面沿x方向很长一段为柱方向很长一段为柱面，在此段面，在此段 ，只只是是在在狭狭矩矩形形截截面面两两端端部部 ，但但区区域域很小，近似法忽略两端影响很小，近似法忽略两端影响.2/17/20232/17/202356568-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例=(y)这这样样狭狭矩矩形形界界面面扭扭转转应力函数应力函数 也认为也认为
30、应满足基本方程为应满足基本方程为（1）ozz yx2/17/20232/17/202357578-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例 s=0 （2）（3）x yab2/17/20232/17/202358588-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例由式（由式（1）积两次分，得）积两次分，得 将上式代入式（将上式代入式（2），得），得 C1=0,C2=GKb2/4=-GK(y2-b2/4)则则2/17/20232/17/202359598-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例最后将最后将 代入式（代入式（3），得），得 =-GK(y2
31、-b2/4)2/17/20232/17/202360608-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例解得解得 则则 应力分量应力分量截面上最大剪应力（截面上最大剪应力（y=b/2）：x yab2/17/20232/17/202361618-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例原因是忽略了原因是忽略了 zy（近似的），如不忽略（近似的），如不忽略 zy（很小），但力臂大，产生另一半（很小），但力臂大，产生另一半 Mz/2，按近似计算，偏于保守。实际上按近似计算，偏于保守。实际上x yab将应力分量对截面形心取矩，得将应力分量对截面形心取矩，得2/17/2023
32、2/17/202362628-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例情况情况2：一般矩形截面扭矩（：一般矩形截面扭矩（a b 且且a b）:a/2 a/2b/2b/2x y按应力函数求解，按应力函数求解，则则(x,y)应满足应满足 2 =-2KG b/2=0,，a/2=0 (x,y)和和 K为待定。为待定。2/17/20232/17/202363638-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例1.将将求求解解(x,y)的的问问题题转转化化为为求求解解一一个个调调和和函函数数F(x,y)的问题的问题.考考虑虑在在狭狭矩矩形形截截面面的的应应力力函函数数为为 1=
33、-GK(y2-b2/4)能能满满足足 2 2 1 =-2KG=-2KG 和和 1y=b/2 b/2=0 0 条条件件，选一般矩形截面的选一般矩形截面的 (x,y):=1+F(x,y)=-GK(y2-b2/4)+F(x,y)a/2 a/2b/2b/2x y2/17/20232/17/202364648-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例由于由于(x,y)满足满足 2 2 =-2KG=-2KG，s=0,.因此因此 F(x,y)需要满足需要满足 2 2F=0=0 Fy=b/2=0,F x=a/2 =GK(y2-b2/4)=-GK(y2-b2/4)+F(x,y)2/17/2023
34、2/17/202365658-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例2.根据根据F(x,y)为调合函数以及满足对称边界条为调合函数以及满足对称边界条 件，件，F(x,y)亦采用级数形式的分离变量函数。亦采用级数形式的分离变量函数。即：即：Am为待定系数。为待定系数。2/17/20232/17/202366668-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例3、利用边界条件、利用边界条件 F a/2=GK(y2-b2/4)将将GK(y2-b2/4)展开为展开为 cos(m y/b)的级数，的级数，可将可将 Am 用用 GK 表示。表示。2/17/20232/17/2
35、02367678-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例4.最最后后利利用用 ，将将GK用用Mz 表示，并可确定应力分量表示，并可确定应力分量 zx,zy。具体过程参看徐芝纶（上册）具体过程参看徐芝纶（上册）P.330333。2/17/20232/17/202368688-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转 薄壁杆件在工程中经常碰见，它们可分薄壁杆件在工程中经常碰见，它们可分为开口薄壁和闭口薄壁杆件。下面分别讨论为开口薄壁和闭口薄壁杆件。下面分别讨论它们的计算方法。它们的计算方法。5.1开口薄壁杆件的自由扭转开口薄壁杆件的自由扭转开口薄壁杆为单连域，其截面可由曲边等宽开口薄
36、壁杆为单连域，其截面可由曲边等宽狭长矩形截面或由几个直边等宽狭长矩形截狭长矩形截面或由几个直边等宽狭长矩形截面组成。面组成。2/17/20232/17/202369698-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转 对于曲边狭长形截面可近似以等宽的直边对于曲边狭长形截面可近似以等宽的直边狭长截面代替进行计算。狭长截面代替进行计算。从薄膜比拟看两者围成的体积和最大斜率从薄膜比拟看两者围成的体积和最大斜率不会有多大差别，当两者受相同扭矩时，两个不会有多大差别，当两者受相同扭矩时，两个柱体的柱体的K 和剪应力没有多大差别。和剪应力没有多大差别。baMbax yM2/17/20232/17/20237070
37、8-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转baMbax yM直边狭长截面剪应力计算式直边狭长截面剪应力计算式2/17/20232/17/202371718-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转 对于由几个（若干个）同样材料的狭矩对于由几个（若干个）同样材料的狭矩形截面组成的薄壁杆形截面组成的薄壁杆,其中第其中第 i个狭矩形截面个狭矩形截面长长ai，宽，宽bi，则它应承受扭转为：，则它应承受扭转为：MM3总的扭转为：总的扭转为：MM3M2M1M2M12/17/20232/17/202372728-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转则则 代回代回 Mi 表达式表达式 第第 i 个狭矩形截面上的最大
38、剪应力为个狭矩形截面上的最大剪应力为2/17/20232/17/202373738-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转5.2闭口薄壁杆扭转闭口薄壁杆扭转 闭口薄壁杆为多连域，按应力函数求解时闭口薄壁杆为多连域，按应力函数求解时 基本方程：基本方程：2 2 =-2KG=-2KGs0=0,si=Ci 0,i=1,2 Ai为为si围成的面积。围成的面积。2/17/20232/17/202374748-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转对于二连域薄壁扭转杆（一个孔洞）：对于二连域薄壁扭转杆（一个孔洞）：2 2 =-2kG=-2kG s0=0,s1=C1 S0s yxS12/17/20232/17/
39、202375758-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转S0sx yS1对于薄膜比拟，在外对于薄膜比拟，在外边固定，而内周用无边固定，而内周用无重刚性平板重刚性平板薄膜垂度方程薄膜垂度方程 2z=-q/T zs0=0,zs1=h hqTTxz使薄膜受均匀压力使薄膜受均匀压力q后，后，在在S0上：上：z=0,在在S1上：上：z=h.2/17/20232/17/202376768-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转对于闭口薄壁杆已知：对于闭口薄壁杆已知：Mz,，s（壁厚变化）（壁厚变化）.求任一点剪应力求任一点剪应力 s s和和k k:而而 S0s yxS1S0sx yS1hqTTxz2/17/
40、20232/17/202377778-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转而而 则则 剪应力计算公式剪应力计算公式 S0sx yS1hqTTxz 2/17/20232/17/202378788-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转由由 ，得到，得到 根据薄膜垂直方向的平衡，得根据薄膜垂直方向的平衡，得 S0sx yS1hqTTxz2/17/20232/17/202379798-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转剪应力环流定理剪应力环流定理 S0s yxS12/17/20232/17/202380808-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转剪应力环流定理剪应力环流定理 剪应力环流定理：在柱体扭
41、转时，横截面剪应力环流定理：在柱体扭转时，横截面内的任意一条封闭曲线上，应力环流等于这曲内的任意一条封闭曲线上，应力环流等于这曲线所围成的面积线所围成的面积 乘以乘以2GK2GK.2/17/20232/17/202381818-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转剪应力环流定理剪应力环流定理 利用格林公式利用格林公式 2/17/20232/17/202382828-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转例例：已已知知 ABC：长长为为 s1，壁壁厚厚 1;CDA：长长为为 S2，壁壁厚厚 2;CEA：长为：长为 S3，壁厚，壁厚 3。受扭矩受扭矩 Mz。求。求 1，2，3和和K。123ABA1A
42、2CDEh2h1 1qTTT解：由未知量只需建立解：由未知量只需建立 有关它们的四个方程。有关它们的四个方程。由薄膜比拟：由薄膜比拟：2/17/20232/17/202383838-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转可得可得 或或 （1）剪力总流量为分流之和剪力总流量为分流之和123ABA1A2CDEh2h1 1qTTT2/17/20232/17/202384848-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转利用剪应力环流定理利用剪应力环流定理（2）（3）由由 得得 123ABA1A2CDE2/17/20232/17/202385858-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转将将 代入上式，得代入上式，得（4）（1）（3）（2）2/17/20232/17/202386868-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转由由(1)、(2)、(3)、(4)式式联联立立求求解解，得得其中其中 2/17/20232/17/20238787