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1、3.1 叠加定理叠加定理（superposition theorem）独立电源代表外界对电路的输入，统称激励；电路在激励作用下产生的电流和电压称为响应。由独立源和线性元件组成的电路称为线性电路。叠加定理的内容是：在任何由线性电阻、线性受控源及独立电源组成的电路中，多个激励共同作用时，在任一支路中产生的响应，等于各激励单独作用时在该支路所产生响应的代数和。例3-1 图3-1(a)所示电路，其中R1=3、R2=5、Us=12V、Is=8A，试用叠加定理求电流I和电压U。解：（1）画出各独立电源作用时的电路模型。图3-1(b)是为电压源单独作用时的电路，电流源置为零（即将含电流源的支路开路）；图3-
2、1(c)为电流源单独作用时的电路，置电压源为零（即将电压源短路）。（2）求出各独立源单独作用时的响应分量。对于图(b)电路，由于电流源支路开路，R1与R2为串联电阻，所以 对于图(c)电路，电压源支路短路后，R1与R2为并联电阻，故有(3)由叠加定理求得各独立电源共同作用时的电路响应，即为各响应分量的代数和。I=I-I”=1.5-5=-3.5A （I与I参考方向一致，而I”则相反）U=U+U”=7.5+15=22.5V (U、U”与U的参考方向均一致)使用叠加定理分析电路时，应注意以下几点：（1）叠加定理仅适用于计算线性电路中的电流或电压，而不能用来计算功率，因为功率与独立电源之间不是线性关系
3、。（2）各独立电源单独作用时，其余独立源均置为零（电压源用短路代替，电流源用开路代替）。（3）响应分量叠加是代数量叠加，当分量与总量的参考方向一致时，取“+”号；与参考方向相反时，取“-”号。（4）如果只有一个激励作用于线性电路，那么激励增大K倍时，其响应也增大K倍，即电路的响应与激励成正比。这一特性称为线性电路的齐次性或比例性。例3-2 图3-2所示线性无源网络N，已知当Us=1V，Is=2A时，U=-1V；当Us=2V，Is=-1A时，U=5.5V。试求Us=-1V，Is=-2A时，电阻R上的电压。解：根据叠加定理和线性电路的齐次性，电压U可表示为 U=U+U”=K1Us+K2Is 代入已
4、知数据，可得到 求解后得 K1=2 K2=-1.5因此，当Us=-1V，Is=-2A时，电阻R上输出电压为 例3-3 求图3-3(a)电路中R4的电压U。解：用叠加定理求解。先计算Us单独作用时在R4产生的电压U，此时应认为电流源为零值，即Is=0，这就相当于把电流源用开路代替，得电路如图（b）。显然，R2和R4组成一个分压器，根据分压关系，可得 再计算电流源单独作用时R4的电压U”，此时电压源Us应以短路代替。经过整理，电路可画如图4-4（c）。显然，R2和R4组成一个分流器，根据分流关系，可得 故因此，3.2 置换定理（置换定理（substitution theorem）在任意的线性或非线
5、性网络中，若某一支路的电压和电流为Uk和Ik，则不论该支路是由什么元件组成的，总可以用下列的任何一个元件去置换，即：（1）电压值为Uk的独立电压源；（2）电流值为Ik的独立电流源；（3）电阻值为Uk/Ik的电阻元件。这时，对整个网络的各个电压、电流不发生影响。下面我们通过具体的例子来说明这个定理的正确性。图3-4(a)所示电路中的电压、电流已在第二章例2-7中求得，它们是：U1=14.286V、I1=1.143A、I2=-0.4286A、I3=0.7143A。现在，为了表明置换定理得正确性，将含有20电阻的支路换为一个电流源，这个电流源的电流值为0.7143A，即原支路的电流值(I3)，如图3
6、-4(b)所示。对于置换后的电路我们进行计算可知，置换对电路中的各电压、电流并无影响。对于图4-3(b)电路，可以列出节点方程 解得 U1=14.286V进一步可算得 I1=1.143A I2=-0.4286A由此可知各电压和电流并未发生变化。这就说明电流为Ik的支路可以用一个电流值为Ik的电流源去置换，对网络不会产生影响。现在来论证这一定理。设U1、U2、Ub和I1、I2、Ib为某一给定网络中已知的各支路电压和支路电流。如所已知，它们必须满足基尔霍夫定律方程和支路伏安的关系。考虑网络中第k个支路为一电流源所置换的情况，该电流源的电流值为Ik。由于原网络和置换后的网络几何结构仍然相同，因此基尔
7、霍夫定律方程仍然相同。除了第k条支路以外，所有支路的伏安关系也未改变。在置换后的网络中，第k个支路为一电流源，其唯一的约束关系就是支路电流应等于电流源的电流值，而该电流值已选定为Ik，电压则可为任意值。因此，原网络中的各支路电压、电流满足置换后网络的所有条件，因而这些电压、电流也就是置换后网络的解答。也即，置换前后网络各电压、电流是一致的。显然，上述的证明对线性网络和非线性网络都是适用的。其它两种置换情况的证明与此类似。3.3 戴维南定理（Thevenins theorem）戴维南定理：对于线性有源二端网络，均可等效为一个电压源与电阻串联的电路。如图3-5(a)、(b)所示，图中N为线性有源二
8、端网络，R为求解支路。等效电压源Uoc数值等于有源二端网络N的端口开路电压。串联电阻Ro等于N内部所有独立电源置零时网络两端之间的等效电阻，如图3-5(c)、(d)所示。例3-4 求图3-6(a)电路中二极管的电流。在图3-6(a)电路中除二极管支路以外，电路的其余部分如图3-7(a)所示，其等效电路可求得如下：把二极管支路与这等效电路接上后，即得图3-6(b)。可知二极管阴极电位比阳极电位高2.4V，因此二极管不导通，I=0。例3-5 用戴维南定理求图3-8(a)电路中的电流I。解：（1）求开路电压Uoc。自a、b处断开RL支路，设出Uoc参考方向，如图3-8(b)所示，应用叠加定理求得有源
9、二端网络的开路电压(2)求等效电阻Ro。将图(b)中的电压源短路，电流源开路，得如图(c)所示电路，其等效电阻（3）画出戴维南等效电路，接入RL支路，如图3-8(d)所示，于是求得 例3-6 试说明：若含源二端网络的开路电压为Uoc，短路电流为Isc，则戴维南等效电路的串联电阻为 解：已知一个含源二端网络N可以用一个电压源Uoc串联电阻Ro的等效电路来代替。因此，原网络N的短路电流Isc应等于这个等效电路的短路电流，而这个等效电路的短路电流显然为Uoc/Ro，故得 见图3-9（b）。由上式可得3.4 诺顿诺顿定理定理（Nortons theorem）诺顿定理:一个含源二端网络N也可以简化为一电
10、流源并联电阻等效电路。这个电流源的电流等于该网络N的短路电流Isc，并联电阻Ro等于该网络中所有独立电源为零值时所得网络N0的等效电阻Rab 例3-7 用诺顿定理求图3-11电路中流过4电阻的电流I。解：把原电路除4电阻以外的部分（即图3-11中a-b右边部分）简化为诺顿等效电路。（1）将拟化简的二端网络短路，如图3-12（a）所示，求短路电流Isc。根据叠加定理可得（2）将二端网络中的电源置零（即此电路中电压源短路），如图3-12(b)所示，求等效电阻Ro，可得（3）求得诺顿等效电路后，将4电阻接上，得图3-12(c)，由此可得 在学习叠加定理的时候曾经指出，叠加定理适合由独立源和线性元件组
11、成的线性电路，而戴维南定理是由叠加定理推导而来的，因此，原则上戴维南定理是对含有独立电源和线性元件的电路而言的。在运用戴维南定理分析含受控源的电路，在求等效电阻Ro时，必须计其受控源的作用，特别要注意不能像处理独立源那样把受控源也用短路或开路代替，否则将导致错误结果。所以对于含受控源的二端网络可用如下方法求出等效电阻：在无（独立）源二端网络两端施加电压U，如图3-13所示，计算端钮上的电流I，则 3.5 应用戴维南定理分析受控源电路 例3-8 求图3-14所示电路的戴维南等效电路。解：先求开路电压Uoc，参见图3-14，此时I为零，电流控制电流源CCCS的电流0.5I也为零，相当于开路。各电阻
12、上也无电压，故得 Uoc=Uab=10V由于这个电流中包含有CCCS，其电流为0.5I。图中的I方向必须标出，因为作为受控源，电流0.5I所示的方向取决于控制量I的方向，没有I的方向，也就谈不上CCCS电流的方向。下面求ab端的等效电阻，为此将原电路中的独立电压源用短路代替，根据图3-13所示的方法，在ab端施加电压U如图3-15(a)所示，得出I，从而求得ab端的等效电阻。为了算出I，可把受控电流源变换为等效受控电压源，如图3-15(b)所示。由基尔霍夫电压定律得 2000I-U-500I=0即 1500I=U 所以 故原电路的等效电路由10V的电压源与1500电阻串联组成。例3-9 求含受
13、控源电路的等效电路时，其内阻Ro也可根据端钮上的开路电压Uoc及短路电流Isc求得。试用此方法求上例电路的等效电源内阻。解：在上例中已根据原电路求得 Uoc=10V再把原电路ab端短路，如图3-16(a)所示。注意一切电源均应保留（为什么？）。设短路电流的方向如图中所示，则CCCS电流为0.5Isc，且其方向应与图3-15(a)中的方向相反（为什么？）。经过电源等效变换得图3-16(b)，由此可得-10+2000Isc-500Isc=0即 1500Isc=10 因此 例3-10 求图3-17(a)电路中流过R2的电流 解：电源U2对电路两处供电，可以用两个电源来代替，如图3-17(b)所示。图
14、中ab左边的电路是拟简化的电路，这部分中ab左边的部分又是在逐步简化过程中可以先简化的部分。对这部分来说 其等效电路如图3-17(c)中ab左边所示。现在来简化ab左边的整个部分，其开路电压 Uoc=-rmIc1+R3Ic1Ic1是ab开路时Ic之值，其值为 故得 下面计算ab端的短路电流Isc。在短路时，R3的电压与受控源的电压相等，可表示为rmIc2，Ic2是ab短路时Ic之值。又流过R3的电流为(Ic2-Isc)，因此 rmIc2=R3(Ic2-Isc)现在的问题是要把Ic2求出来，Isc即可解决。看到Ro两端的电压为(Uoc-rmIc2)，它应等于RoIc2，故得 RoIc2=Uoc-rmIc2由此得 因此，算得 因此，等效电路的电阻Ro可以算得 最后求流过R2的电流I2应为