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1、第四章第四章 空间力系空间力系4-1 4-1 空间汇交力系空间汇交力系4-2 4-2 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩 4-3 4-3 空间力偶空间力偶 4-4 4-4 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主主矢和主矩矩 4-5 4-5 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程 4-6 4-6 重心重心 4-1 4-1 空间汇交力系空间汇交力系平平面面汇汇交交力力系系合合成成的的力力多多边边形形法法则则对对空空间间汇汇交交力力系系是否适用？是否适用？对空间多个汇交力是否好用？对空间多个汇交力是否好用？用解析法用解析法1.1.直接（一次）投影法直接（一次）投影法
2、一、力在直角坐标轴上的投影一、力在直角坐标轴上的投影已知力已知力F与正交坐标系与正交坐标系0 xyz三轴间的夹角三轴间的夹角2.2.间接（二次）投影法间接（二次）投影法例例4-14-1径向力径向力轴向力轴向力圆周力圆周力二、空间汇交力系的合力与平衡条件二、空间汇交力系的合力与平衡条件1.1.空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力等于各分力的等于各分力的矢量和矢量和，合力的作用线通过汇交点。，合力的作用线通过汇交点。2.2.空间汇交力系平衡的充分必要条件空间汇交力系平衡的充分必要条件(4-(4-7)7)该力系的合力等于零，即该力系的合力等于零，即空间汇交力系平衡的充要条件：空间汇交力系平衡的充要条
3、件：该力系中所有各力在该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。解：画受解：画受力图如图力图如图一、空间力对点的矩一、空间力对点的矩1.1.空间力对点的矩以矢量表示空间力对点的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢42 42 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩平面力对点之矩（平面力对点之矩（代数量代数量）：力矩）：力矩的大小、转向；的大小、转向；空间力对点之矩（空间力对点之矩（矢量矢量）：力矩的）：力矩的大小、转向、力矩作用面的方位；大小、转向、力矩作用面的方位；方位不同，作用效果也不同。方位不同，作用效果也不同。矢量的模矢量的模 ；矢量的方位
4、矢量的方位与力矩作用面的法线方向相同；与力矩作用面的法线方向相同；矢量的指向矢量的指向按右手螺旋法则确定。按右手螺旋法则确定。这三个因素用力矩矢这三个因素用力矩矢 描述。描述。空间力对点的矩矢空间力对点的矩矢过矩心过矩心O O的的定位矢量定位矢量2.2.空间力对点之矩的矢积表示式和解析表示式空间力对点之矩的矢积表示式和解析表示式（48）空间力对点的矩矢等于矩心空间力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力到该力作用点的矢径与该力的矢量积的矢量积。又又（4-94-9）力对点之矩矢的解析表示式）力对点之矩矢的解析表示式力对点力对点O O之矩矢之矩矢 在三个坐标轴上的投影为在三个坐标轴上的投影为（
5、41111）1.1.定义定义力对轴的矩是力使刚体绕该力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个轴转动效果的度量，是一个代数量代数量，其绝对值等于，其绝对值等于该力该力在垂直于该轴平面上的投影在垂直于该轴平面上的投影对轴与该平面交点之矩。对轴与该平面交点之矩。2.2.符号规定符号规定从从z z轴正端轴正端看，若力的这个投影使物体绕该轴看，若力的这个投影使物体绕该轴逆时针逆时针转动转动，则取正号，反之取负号。也可按，则取正号，反之取负号。也可按右手螺旋法则右手螺旋法则确定其正负号。确定其正负号。二、力对轴的矩二、力对轴的矩代数量代数量转化为平面力对点之矩转化为平面力对点之矩3.3.力对轴之矩
6、等于零的情况力对轴之矩等于零的情况力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零力对该轴的矩为零.（41111）.力对轴之矩的解析表示式力对轴之矩的解析表示式已知：已知：求：求：解：把力解：把力 分解如图分解如图例例4-4-4 4 三、力对点的矩矢与力对过该点的轴的矩的关系三、力对点的矩矢与力对过该点的轴的矩的关系 比较（比较（4-104-10）、（）、（4-124-12）式可得）式可得即力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于即力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。力对该轴的矩。44-3-3 空间力偶空间力偶一、力
7、偶矩以矢量表示一、力偶矩以矢量表示,力偶矩矢力偶矩矢图中两力偶对刚体的转动效应是否相同？图中两力偶对刚体的转动效应是否相同？第三个要素：力偶作用面的方位。第三个要素：力偶作用面的方位。空间力偶对刚体的作用效应，用空间力偶对刚体的作用效应，用力偶矩矢力偶矩矢度量，用力偶度量，用力偶中的两个力对空间某点之矩的矢量和来度量。中的两个力对空间某点之矩的矢量和来度量。或或力偶对空间任一点的矩矢与矩心无关，力偶矩矢是力偶对空间任一点的矩矢与矩心无关，力偶矩矢是自由矢量自由矢量。以以 或或 表示。表示。空间力偶对刚体的作用效应取决于三个要素空间力偶对刚体的作用效应取决于三个要素（1 1）矢量的模，即力偶矩大
8、小；）矢量的模，即力偶矩大小；（3 3）矢量的指向与力偶的转向服从右手螺旋法则矢量的指向与力偶的转向服从右手螺旋法则。（2 2）矢量的方位与力偶作用面相垂直矢量的方位与力偶作用面相垂直；二、力偶的性质二、力偶的性质力偶矩矢力偶矩矢2.2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。而改变。1.1.力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零,力偶力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。3.3.只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面
9、内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变的长短，对刚体的作用效果不变.=4.4.只只要要保保持持力力偶偶矩矩矢矢不不变变，力力偶偶可可从从其其所所在在平平面面移移至至另另一一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.=滑移矢量滑移矢量 定位矢量定位矢量 自由矢量自由矢量作用在同一刚体上的两个空间力偶，作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其如果其力偶矩矢力偶矩矢相等，则它们彼此相等，则它们彼此等效。等效。力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）（搬来搬
10、去，滑来滑去）三、三、空间力偶等效定理空间力偶等效定理四、空间力偶系的合成与平衡条件四、空间力偶系的合成与平衡条件=如同右图如同右图任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢等于各分力偶矩矢的矢量和矢量和。1.1.空间力偶系的合成空间力偶系的合成合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的解析表达式合力偶矩矢的解析表达式其中：其中：即合力偶矩矢在即合力偶矩矢在x、y、z轴上的投影等于各分力偶轴上的投影等于各分力偶矩矢在相应轴上投影的代数和。矩矢在相应轴上投影的代数和。例例4-4-5 5 已知：在工件
11、四个面上同时钻已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔个孔，每个孔所受切削力偶矩均为所受切削力偶矩均为8080Nm.解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点A A.求：工件所受合力偶矩在求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影轴上的投影 .列力偶平衡方程列力偶平衡方程有有即空间力偶系平衡的充分必要条件为：即空间力偶系平衡的充分必要条件为：该力偶系中所该力偶系中所有各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于有各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。零。空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等于零，合力偶矩矢等于零，即即2.2.
12、空间力偶系的平衡空间力偶系的平衡可简写为可简写为:解：取整体，受力图如图解：取整体，受力图如图b b所示所示.解得解得由力偶系平衡方程由力偶系平衡方程44-4-4 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主主矢和主矩矩一、空间任意力系向一点的简化一、空间任意力系向一点的简化一空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系一空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系.其中，各其中，各 ，各各称为空间力偶系的称为空间力偶系的主矩主矩称为力系的称为力系的主矢主矢空间力偶系合力偶的矩矢空间力偶系合力偶的矩矢空间汇交力系合力的力矢空间汇交力系合力的力矢由力矩的解析表达式，有由力矩的解析
13、表达式，有由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有对对 ，轴的矩。轴的矩。主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关。主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关。结论：空间任意力系向一点结论：空间任意力系向一点O O简化，可得一力和一力简化，可得一力和一力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心线通过简化中心O O；这个力偶的矩矢等于该力系对简这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。化中心的主矩。式中，各式中，各 分别表示各力分别表示各力有效推进力有效推进力飞机向前飞行飞机向前飞行有效升力有效升力飞
14、机上升飞机上升侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x x轴滚转轴滚转偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头二、空间任意力系的简化结果分析（最后结果）二、空间任意力系的简化结果分析（最后结果）1.1.合力偶合力偶当当 时，最后结果为一个合力偶。时，最后结果为一个合力偶。此时主矩与简化中心的位置无关。此时主矩与简化中心的位置无关。2.2.合力合力当当 时，最后结果为一个合力时，最后结果为一个合力.合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心.当当 时，时，最后结果为一合力最后结果为一合力.合力作用线距简化中心的距离为合力作用线距简化中心的距离为左螺旋左螺旋
15、右螺旋右螺旋3.3.力螺旋力螺旋当当 时时简化结果为一力螺旋，力螺旋简化结果为一力螺旋，力螺旋中心轴中心轴过简化中心。过简化中心。由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。用面。简化结果也为一力螺旋，力螺旋中心轴距简化中心的距离简化结果也为一力螺旋，力螺旋中心轴距简化中心的距离为为4.4.平衡平衡当当 成角成角 且且 既不平行也不垂直时既不平行也不垂直时当当 时，空间力系为平衡力系。时，空间力系为平衡力系。44-5-5 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件：空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢和对
16、任该力系的主矢和对任一点的主矩都等于零一点的主矩都等于零.一、空间任意力系的平衡方程一、空间任意力系的平衡方程 6 6个个空间任意力系平衡的充要条件：空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程 3 3个个其它：空间汇交力系、平面任意力系其它：空间汇交力系、平面任意力系二、空间约束类型举例二、空间约束类型举例 P93P93表表3-13-1区分以下符号：区分以下符号：三
17、、空间力系平衡问题的求解三、空间力系平衡问题的求解选好研究对象与建立合适的坐标系选好研究对象与建立合适的坐标系是顺利求解的两是顺利求解的两个重要环节。个重要环节。1.空间力系平衡问题的解题步骤（补充）空间力系平衡问题的解题步骤（补充）(1)(1)明确已知条件（已知力、几何方位明确已知条件（已知力、几何方位）与求解内容；与求解内容；(2)(2)选取研究对象，正确作出受力分析图选取研究对象，正确作出受力分析图(受力图宜受力图宜尽量画在原图上，以便表现力的空间几何关系尽量画在原图上，以便表现力的空间几何关系)；(3)(3)建立合适的坐标系，建立合适的坐标系，力投影轴要尽可能与多数未知力力投影轴要尽可
18、能与多数未知力垂直，取矩轴应尽量与未知力的共面垂直，取矩轴应尽量与未知力的共面（平行或相交）；（平行或相交）；(4)(4)列平衡方程求解，列平衡方程求解，正确而熟练地计算力在轴上的投正确而熟练地计算力在轴上的投影和各力对轴之矩是关键影和各力对轴之矩是关键，列平衡方程时要有明确的，列平衡方程时要有明确的目的性；目的性；(5)(5)求解平衡方程，必要时讨论或说明所得结果。求解平衡方程，必要时讨论或说明所得结果。例例4-74-7已知：已知：P=8kN,各尺寸如图各尺寸如图求：求：A、B、C 处约束力处约束力解：研究对象：小车解：研究对象：小车受力：受力：列平衡方程列平衡方程结果：结果：2.算例分析算
19、例分析例例4-84-8已知：已知：各尺寸如图各尺寸如图求：求：及及A、B处约束力处约束力曲轴受力：曲轴受力：解：以整个轴为研究对象，解：以整个轴为研究对象，列平衡方程列平衡方程结果：结果：例例4-94-9已知：已知：各尺寸如图各尺寸如图（2）A、B处约束力处约束力（3）O 处约束力处约束力求求:解：研究对象解：研究对象1 1主轴、卡盘、齿轮及工件系统，主轴、卡盘、齿轮及工件系统，受力图如图受力图如图结果：结果：研究对象研究对象2 2：工件，受力图如图：工件，受力图如图列平衡方程列平衡方程结果：结果：例例4-104-10已知：已知：F、P及各尺寸及各尺寸求：求：各杆内力各杆内力解：取长方刚板为研
20、究对象，各杆均为二力杆，设均受拉力。解：取长方刚板为研究对象，各杆均为二力杆，设均受拉力。受力图如图，受力图如图，列平衡方程列平衡方程44-6-6 重重 心心一、平行力系中心一、平行力系中心平行力系合力通过的一个点平行力系合力通过的一个点 结论：平行力系合力作用点的位置仅与结论：平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大各平行力的大小小和和作用点的位置有关作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。称，而与各平行力的方向无关。称该点为此平行力系的中心。该点为此平行力系的中心。由合力矩定理可确定合力作用点由合力矩定理可确定合力作用点C：由合力矩定理由合力矩定理设力作用线方向的单位矢量为设力作用线方向
21、的单位矢量为 ，合力作用点坐标公式：合力作用点坐标公式：投影坐标公式：投影坐标公式：点点C C为此平行力系的中心。为此平行力系的中心。二、重心及其坐标计算公式二、重心及其坐标计算公式1.1.重心：物体各部分所受重力的合力的作用点。重心：物体各部分所受重力的合力的作用点。2.2.重心坐标计算公式：重心坐标计算公式：设物体由若干部分组成，其第设物体由若干部分组成，其第i部分重部分重为为Pi，重心，重心 ，则由平行力，则由平行力系中心的计算公式，重心坐标的公式系中心的计算公式，重心坐标的公式为为（429429）计算重心坐标的公式计算重心坐标的公式对均质物体对均质物体对均质等厚板状物体对均质等厚板状物
22、体均质物体的均质物体的重心就是其几何中心，即形心。重心就是其几何中心，即形心。（429429）三、确定物体重心的方法三、确定物体重心的方法1.1.对称法（图解法）对称法（图解法）适用于：适用于：几何形状简单的均质物体。几何形状简单的均质物体。对于均质物体，若在几何形体上具有对称面、对称轴对于均质物体，若在几何形体上具有对称面、对称轴或对称点，则物体的重心或形心必在此对称面、对称或对称点，则物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称点上。轴或对称点上。(补充补充)形心迹线形心迹线各小部分形心的连线。各小部分形心的连线。任两条形心迹线的交点就是重心或形心。任两条形心迹线的交点就是重心或形心。两个对
23、称面两个对称面重心或形心在二者交线上。重心或形心在二者交线上。两根对称轴两根对称轴重心或形心在二者交点上。重心或形心在二者交点上。对称点对称点重心或形心在该点上。重心或形心在该点上。在不对称图形上找对称因素在不对称图形上找对称因素2.2.查表法查表法表表32 P10032 P1003.3.组合法组合法 （1 1）分割法分割法适用于：适用于：由几个简单形状物体组合而成的均质物体，由几个简单形状物体组合而成的均质物体，各组成部分的重心已知或易于求得。各组成部分的重心已知或易于求得。（2 2）负面积法（负体积法）负面积法（负体积法）适用于：带有适用于：带有空穴或孔空穴或孔的均质物体，可应用与分割法的
24、均质物体，可应用与分割法相同的公式求得，切去部分的面积或体积应相同的公式求得，切去部分的面积或体积应取负值取负值。例例4-124-12求：其重心坐标。求：其重心坐标。已知：均质等厚已知：均质等厚Z Z字型薄板尺寸如图所示字型薄板尺寸如图所示.解解:厚度方向重心坐标已确定，厚度方向重心坐标已确定，只求重心的只求重心的x,y坐标即可坐标即可.例例4-134-13求：其重心坐标求：其重心坐标.而而小半圆（半径为小半圆（半径为 ）面积为）面积为 ,小圆（半径为小圆（半径为 ）面积为）面积为 ，为负值。，为负值。解：用负面积法，解：用负面积法，设大半圆面积为设大半圆面积为为三部分组成，为三部分组成，已知
25、：等厚均质偏心块的已知：等厚均质偏心块的得得由对称性，有由对称性，有4.4.实验法实验法（1 1）悬挂法悬挂法图图a a中左右两部分的重量是否一定相等？中左右两部分的重量是否一定相等？（2 2）称重法称重法则则先测量先测量 P、l、r，设汽车左右设汽车左右对称，重心在对称面内，对称，重心在对称面内，需求需求 和和 。后轮抬高后轮抬高H后，相后，相同方法求得同方法求得整理后，得整理后，得由图中几何关系由图中几何关系本章基本要求本章基本要求1 1.熟悉空间汇交力系、力偶系的合成结果。熟悉空间汇交力系、力偶系的合成结果。2 2.掌握力对点的矩的计算，熟练掌握力在坐标轴上掌握力对点的矩的计算，熟练掌握力在坐标轴上的投影和力对轴的矩的计算的投影和力对轴的矩的计算。3.3.熟悉空间任意力系简化的中间结果与最后结果，熟悉空间任意力系简化的中间结果与最后结果，会计算主矢和主矩。会计算主矢和主矩。4.4.能熟练应用空间任意力系的平衡方程求解物体能熟练应用空间任意力系的平衡方程求解物体(主主要是单个物体要是单个物体)的平衡问题。的平衡问题。5.5.掌握计算物体重心的方法。掌握计算物体重心的方法。思考题思考题习题练习习题练习课后练习：课后练习：3-93-9、3-103-10、3-113-11、3-133-13、3-143-14、3-203-20、3-243-24